届高三数学一轮复习第四章三角函数与三角形46.docx

届高三数学一轮复习第四章三角函数与三角形46.docx

《届高三数学一轮复习第四章三角函数与三角形46.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高三数学一轮复习第四章三角函数与三角形46.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

届高三数学一轮复习第四章三角函数与三角形46

第4章第6节

一、选择题

1．（2010·聊城市、银川模拟）在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2A－sin2C＝（sinA－sinB）sinB，则角C等于（　　）

A.B.

C.D.

[答案]　B

[解析]　由正弦定理得a2－c2＝（a－b）·b，

由余弦定理得cosC＝＝，

∵0

2．（文）（2010·泰安模拟）在△ABC中，若A＝60°，BC＝4，AC＝4，则角B的大小为（　　）

A．30°B．45°

C．135°D．45°或135°

[答案]　B

[解析]　∵AC·sin60°＝4×＝2<4<4，故△ABC只有一解，由正弦定理得，＝，

∴sinB＝，∵4<4，∴B

（理）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，A＝，a＝，b＝1，则c＝（　　）

A．1B．2

C.－1D.

[答案]　B

[解析]　∵bsinA＝<1<，∴本题只有一解．

∵a＝，b＝1，A＝，

∴根据余弦定理，cosA＝＝＝，

解之得，c＝2或－1，

∵c>0，∴c＝2.故选B.

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＝2，b＝2，且三角形有两解，则角A的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

[答案]　A

[解析]　由条件知bsinA

∵a

[点评]　如图，AC＝2，以C为圆心2为半径作⊙C，则⊙C上任一点（⊙C与直线AC交点除外）可为点B构成△ABC，当AB与⊙C相切时，AB＝2，∠BAC＝，当AB与⊙C相交时，∠BAC<，因为三角形有两解，所以直线AB与⊙C应相交，∴0<∠BAC<.

4．（2010·湖南理）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.若∠C＝120°，c＝a，则（　　）

A．a＞bB．a＜b

C．a＝bD．a与b的大小关系不能确定

[答案]　A

[解析]　∵∠C＝120°，c＝a，c2＝a2＋b2－2abcosC

∴a2－b2＝ab，

又∵a>0，b>0，∴a－b＝>0，所以a>b.

5．（文）（2010·天津理）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝（　　）

A．30°B．60°

C．120°D．150°

[答案]　A

[解析]　由余弦定理得：

cosA＝，

∵sinC＝2sinB，∴c＝2b，∴c2＝2bc，

又∵b2－a2＝－bc，∴cosA＝，

又A∈（0°，180°），∴A＝30°，故选A.

（理）（2010·山东济南）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2＋c2－b2）tanB＝ac，则角B的值为（　　）

A.B.

C.或D.或

[答案]　D

[解析]　由（a2＋c2－b2）tanB＝ac得，·tanB＝，再由余弦定理cosB＝得，2cosB·tanB＝，即sinB＝，∴角B的值为或，故应选D.

6．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为（　　）

A．1＋B．3＋

C.D．2＋

[答案]　C

[解析]　acsinB＝，∴ac＝2，

又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，b＝.

7．（2010·厦门市检测）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC等于（　　）

A.B.

C.D．2

[答案]　C

[解析]　∵A、B、C成等差数列，∴B＝60°，

∵＝，∴sinA＝＝＝，

∴A＝30°或A＝150°（舍去），∴C＝90°，

∴S△ABC＝ab＝.

8．（2010·山师大附中模考）在△ABC中，cos2＝（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形B．正三角形

C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形

[答案]　A

[解析]　∵cos2＝，∴＝，

∴sinCcosB＝sinA，

∴sinCcosB＝sin（B＋C），∴sinBcosC＝0，

∵0

9．（2010·四川双流县质检）在△ABC中，tanA＝，cosB＝，若最长边为1，则最短边的长为（　　）

A.B.

C.D.

[答案]　D

[解析]　由tanA>0，cosB>0知A、B均为锐角，

∵tanA＝<1，∴0，

∴0

由cosB＝知，tanB＝，∴B

由条件知，sinA＝，cosA＝，sinB＝，

∴sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB

＝×＋×＝，

由正弦定理＝知，＝，∴b＝.

10．（2010·山东烟台）已知非零向量，和满足·＝0，且＝，则△ABC为（　　）

A．等边三角形

B．等腰非直角三角形

C．直角非等腰三角形

D．等腰直角三角形

[答案]　D

[解析]　∵＝cos∠ACB＝，

∴∠ACB＝45°，

又∵·＝0，

∴∠A＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，故选D.

二、填空题

11．（文）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________．

①a＝1，b＝，B＝45°；

②a＝，b＝，A＝30°；

③a＝6，b＝20，A＝30°；

④a＝5，B＝60°，C＝45°.

[答案]　①④

[解析]　①一解，asinB＝<1<，有一解．

②两解，b·sinA＝<<，有两解；

③无解，b·sinA＝10>6，无解．

④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．

（理）在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c的取值范围是________．

[答案]　

[解析]　边c最长时：

cosC＝＝>0，

∴c2<5.∴0

边b最长时：

cosB＝＝>0，

∴c2>3.∴c>.

综上，

12．（2010·上海模拟）在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（－1,0），C（1,0），顶点B在椭圆＋＝1上，则的值为________．

[答案]　2

[解析]　由题意知△ABC中，AC＝2，BA＋BC＝4，

由正弦定理得＝＝2.

13．（文）（2010·沈阳模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若b2＋c2＝a2＋bc，且·＝4，则△ABC的面积等于________．

[答案]　2

[解析]　∵b2＋c2＝a2＋bc，∴cosA＝＝，

∵·＝4，∴b·c·cosA＝4，∴bc＝8，

∴S＝AC·ABsinA＝×bc·sinA＝2.

（理）（2010·北京延庆县模考）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝c＝2b且sinB＝，当△ABC的面积为时，b＝________.

[答案]　2

[解析]　∵a＋c＝2b，∴a2＋c2＋2ac＝4b2

（1）

∵S△ABC＝acsinB＝ac＝，∴ac＝

（2）

∵sinB＝，∴cosB＝（由a＋c＝2b知B为锐角），

∴＝，∴a2＋c2＝＋b2（3）

由

（1）、

（2）、（3）解得b＝2.

14．（2010·合肥市质检）在△ABC中，＝，则角B＝________.

[答案]　

[解析]　依题意得sin2A－sin2B＝sin（A＋B）（sinA－sinC）＝sinAsinC－sin2C，

由正弦定理知：

a2－b2＝ac－c2，

∴a2＋c2－b2＝ac，

由余弦定理知：

cosB＝＝，

∴B＝.

三、解答题

15．（文）（2010·广州六中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos＝，·＝3.

（1）求△ABC的面积；

（2）若b＋c＝6，求a的值．

[解析]　

（1）∵cos＝，

∴cosA＝2cos2－1＝，sinA＝.

又由·＝3得，bccosA＝3，∴bc＝5，

∴S△ABC＝bcsinA＝2.

（2）∵bc＝5，又b＋c＝6，∴b＝5，c＝1或b＝1，c＝5，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，∴a＝2.

（理）（2010·山东滨州）已知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，向量m＝（sinA，sinB），n＝（cosB，cosA），且m·n＝sin2C.

（1）求角C的大小；

（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且·（－）＝18，求边c的长．

[解析]　

（1）m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin（A＋B）．

在△ABC中，由于sin（A＋B）＝sinC.

∴m·n＝sinC.

又∵m·n＝sin2C，

∴sin2C＝sinC，∴2sinCcosC＝sinC.

又sinC≠0，所以cosC＝.而0

（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列得，

2sinC＝sinA＋sinB，

由正弦定理得，2c＝a＋b.

∵·（－）＝18，∴·＝18.

即abcosC＝18，由

（1）知，cosC＝，所以ab＝36.

由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC

＝（a＋b）2－3ab.

∴c2＝4c2－3×36，∴c2＝36.

∴c＝6.

16．（文）在△ABC中，已知AB＝，BC＝2.

（1）若cosB＝－，求sinC的值；

（2）求角C的取值范围．

[解析]　

（1）在△ABC中，由余弦定理知，

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB

＝3＋4－2×2×＝9.

所以AC＝3.

又因为sinB＝＝＝，

由正弦定理得＝.

所以sinC＝sinB＝.

（2）在△ABC中，由余弦定理得，

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，

∴3＝AC2＋4－4AC·cosC，

即AC2－4cosC·AC＋1＝0.

由题意知，关于AC的一元二次方程应该有解，

令Δ＝（4cosC）2－4≥0，得cosC≥，或cosC≤－（舍去，因为AB

所以，0

[点评]　1.本题也可用图示法，如图：

A为⊙B上不在直线BC上的任一点，由于r＝AB＝，故当CA与⊙B相切时∠C最大为，故C∈.

2．高考命题大题的第一题一般比较容易入手，大多在三角函数的图象与性质、正余弦定理、平面向量等内容上命制，这一部分要狠抓基本原理、公式、基本方法的落实．

（理）（2010·东北师大附中、辽宁省实验中学联考）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosC＋c＝b.

（1）求角A的大小；

（2）若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围．

[解析]　

（1）由acosC＋c＝b得

sinAcosC＋sinC＝sinB

又sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC

∴sinC＝cosAsinC，

∵sinC≠0，∴cosA＝，

又∵0

（2）解法1：

由正弦定理得：

b＝＝sinB，c＝sinC

l＝a＋b＋c＝1＋（sinB＋sinC）

＝1＋（sinB＋sin（A＋B））

＝1＋2＝1＋2sin

∵A＝，∴B∈，∴B