整理线性计算方法.docx
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整理线性计算方法
第八章线性相关
前面着重于描述某一变量的统计特征
或比较该变量的组间差别
两个随机变量之间的关系：
如体重与肺活量、
年龄与血压
是否存在线性联系？
正向还是负向？
联系的程度？
线性相关（linearcorrelation）：
线性联系？
方向？
程度？
8.1线性相关概念
1．独立随机的双变量正态分布样本
讨论两个变量X和Y的相关性。
样本：
独立的、成对的观察值（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
例8.1为讨论父子身高间的线性相关程度，南方某地在应届中学毕业生花名册中随机抽取20名男生，分别测量他们和他们的父亲的身高（cm），得样本资料如表8.1所示。
表8.120对父子的身高（cm）数据
编号
12345678910
父高X
150153155158161164165167168169
子高Y
159157163166169170169167169170
编号
11121314151617181920
父高X
170171172174175177178181183185
子高Y
173170170176178174173178176180
问如何保证这是一份可供讨论线性相关的合格样本?
解
（1）随机抽取；
（2）互相独立？
2．散点图（scatterplot）
座标轴：
分别表示两个变量；n个点：
构成一幅散点图（图8.1）
图8.2典型散点图
图（a）和（c），正相关（positivecorrelation）
图（b）和（d），负相关（negativecorrelation）
图（e）、（f）、（g），Y和X无关联
图（h），可能存在曲线型联系。
通常所说的相关就是线性相关，（e）到（h）均属不相关
对于不相关的情形，宜进一步澄清是否为曲线关系
8.2相关系数
Pearson积矩相关系数（product-momentcorrelationcoefficient）
对双变量正态分布变量X和Y
（8.1）
总体相关系数，记为ρ
ρ＝0，X和Y无线性相关或零相关（nullcorrelaton）
ρ>0,正相关
ρ<0,负相关
ρ＝1或-1,完全相关（罕见！
）。
样本相关系数,记为r
对于n对随机样本，X和Y的样本协方差：
（8.2）
lxy：
X与Y的离均差乘积和
若所有离均差乘积平均后接近零，则表明部份个体的X和Y同方向，部份个体的X和Y反方向，总的说来，诸个体各循其道，杂乱无章
相反，若离均差乘积平均后为正，且距零较远，则表明多数个体的X和Y同方向，即正相关；
若离均差乘积平均后为负，且距零较远，则表明多数个体的X和Y反方向，即负相关。
协方差的大小与X，Y的取值单位有关，不同问题中的协方差不可比较。
相关系数：
X和Y分别标准化之后的协方差。
数值介于-1和+1之间,且没有单位
（8.3）
lxx:
X的离均差平方和lyy:
Y的离均差平方和
例8.2试计算例8.1中父高X和子高Y的样本相关系数（假定系独立随机双正态样本）。
解
＝3376，
＝3407，n=20
＝571728，
＝581081，
＝576161
由（8.3）式得到，
8.3相关系数的统计推断
样本相关系数r只是总体相关系数ρ的一个估计值。
样本相关系数也存在变异性。
得到线性相关的描述统计量r之后，还有必要对其所来自的总体进行统计推断。
1．相关系数的假设检验
H0:
ρ＝0
直接查r界值表
或t检验：
v=n-2（8.4）
（8.5）
Sr:
样本相关系数r的标准差（也称标准误）。
例8.3继例8.2中算得r＝0.9296后，试检验相关是否具有统计学意义。
解
（1）直接查r界值表
可得到r0.001，18=0.679，|r|＞r0.001，18，P＜0.001，
（2）t检验
H0：
ρ＝0，H1：
ρ≠0，α=0.05。
查t分布表，得到t0.001，18＝3.922。
显然｜tr｜＞3.922，P＜0.001。
故拒绝H0，接受H1，可以认为父子身高之间存在正相关关系。
与查表结论相同。
2．相关系数的区间估计
（1）对样本相关系数r作变换
或
（8.6）
（tanh为双曲正切函数，tanh-1为反双曲正切函数）
（2）按正态近似原理，得到
的1－α置信区间
）（8.7a）
缩写为
（8.7b）
（3）上下限作反变换r=tanhz即可得到总体相关系数
的1-
置信区间。
例8.4例8.2中样本相关系数r＝0.9296，求总体相关系数ρ的95%置信区间。
解z=tanh-10.9296=1.6554
的95%置信区间为
1.6554
（1.1800，2.1308）
将其上下限作反变换，得到总体相关系数
的95%置信区间为（0.8275，0.9722）
8.4等级相关
有时，原始数据并不服从正态分布或其总体分布未知;数据中有“超限值”存在;数据本身就是等级资料
此时采用等级相关（rankcorrelation）或秩相关—非参数统计方法。
1．Spearman等级相关
（1）将n对观察值Xi和Yi分别由小到大编秩（数值相同时取平均秩次），以pi表示Xi的秩次；qi表示Yi的秩次
（2）di=pi－qi
（3）
（8.8）
假设检验H0：
ρs＝0,H1：
ρs≠0
●当样本例数n较小时，可用查表法（rs界值表）
●如n>20，也可将rs直接代替式（8.4）和（8.5）中的r作t检验或查r界值表。
例8.5肝癌病因研究，调查了10个乡肝癌死亡率（1/10万）与某种食物中黄曲霉毒素相对含量（以最高含量为10）,试作等级相关分析。
解表8.2等级相关系数计算表
编号
（1）
黄曲霉毒素
肺癌死亡率
X（相对含量）
（2）
秩次p
（3）
Y（1/10万）
（4）
秩次q
（5）
d
（6）=（3）-（5）
d2
（7）=（6）2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.7
1.0
1.7
3.7
4.0
5.1
5.5
5.7
5.9
10.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
21.5
18.9
14.4
46.5
27.3
64.6
46.3
34.2
77.6
55.1
3
2
1
7
4
9
6
5
10
8
-2
0
2
-3
1
第五章 环境影响评价与安全预评价-3
1
为了有别于传统的忽视环境价值的理论和方法，环境经济学家把环境的价值称为总经济价值（TEV），包括环境的使用价值和非使用价值两个部分。
3
-1
3.划分评价单元2
2.辨识与分析危险、有害因素4
（三）安全评价的内容和分类0
（二）建设项目环境影响评价的工作等级4
9
1
1.准备阶段9
综合性规划
（1）土地利用的有关规划；1
（三）安全评价的内容和分类9
1
2.辨识与分析危险、有害因素4
合计
42
第⑶、⑸栏，若有观察值相同，则取平均秩次。
第⑹、⑺栏,求每对秩次的差值d、d2和Σd2
按式（8.8）计算统计量rs
本例n＝10，查rs界值表，得0.02>P>0.01，按
＝0.05水准拒绝Ho，可以认为黄曲霉毒素与肝癌死亡率间存在正相关。
2.相同秩次较多时rs的计算
当
和
中存在相同秩次时，（8.8）式不再适用,应利用秩次
和
直接计算积矩相关系数。
当
中不存在相同秩次以及
中也不存在相同秩次时，这样算得的
和利用（8.8）式计算的结果完全一致。
3.r与rs的区别与联系
区别：
积矩相关要求数据服从双变量正态分布，属于参数统计量；
等级相关并不要求正态分布，属于非参数统计量。
8.5线性相关分析的注意事项
1.散点图的重要性
并非任何有联系的两个变量都属线性联系。
如果从散点图可初步看出变量分布非正态，则应考虑作等级相关而不宜作积矩相关。
当散点图中出现异常点（outlier）时要慎重处理。
必要时可通过等级相关来减小异常点的不良影响
2.变量取值非随机时莫作相关
例如，为研究药物的剂量-反应关系，人们选定n种剂量，观察每种剂量下动物的反应；
又如，摸索化学反应的适宜条件，人们选定几种温度，观察各温度下生成物的数量。
此时得到的数据就不是随机样本，即使按样本相关系数的公式计算，所得结果并不接近总体相关系数，而可能因人为选定变量值的范围不同而不同。
3.对相关的解释
一定要结合专业背景，切不可把任意两个变量拉在一起盲目下结论。
例如，某人喜得贵子，庭前种一小树，每月测子高与树高，计算发现子高与树高间的相关有统计意义，难道两者真有内在联系？
统计学上的关联性，不一定是因果联系。
样本足够大时绝对值较小的样本相关系数也易于得到较小的P值，有统计学意义并不一定反映相关就很密切.
4.慎重合并分层资料
图8.3慎用相关的情形（a）异常值（b）、（c）、（d）分层资料
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