北师大版七年下册数学第5章整合提升密码.docx

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北师大版七年下册数学第5章整合提升密码

专训1　分类思想在等腰三角形中的应用

名师点金：

分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：

先分类，再画图，后计算．

当顶角或底角不确定时，分类讨论

1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为（　　）

A．40°　　B．100°　　C．40°或70°　　D．40°或100°

2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为（　　）

A．45°　　B．75°　　C．45°或75°　　D．65°

当底和腰不确定时，分类讨论

3．（2015·荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（　　）

A．8或10　　　B．8　　　C．10　　　D．6或12

4．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．

5．若x，y满足|x－4|＋（y－8）2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．

当高的位置不确定时，分类讨论

6．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．【导学号：

********】

由腰的垂直平分线引起的分类讨论

7．在△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．

由腰上的中线引起的分类讨论

8．等腰三角形ABC的底边BC长为5cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3cm的两部分．求腰长．

点的位置不确定引起的分类讨论

（第9题）

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）

A．7个　　　B．6个　　　C．5个　　　D．4个

专训2　三角形中的四种常见说理类型

名师点金：

学习了全等三角形及等腰三角形的性质后，与此相关的几何题的类型非常丰富，常见的类型有：

说明相等关系，位置关系，线段的和差关系，倍分关系等．

说明相等关系

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF，试说明：

DE＝DF.

（第1题）

说明位置关系

说明平行关系

2．如图，已知△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边长作等边三角形PCE.试说明：

AE∥BC.

（第2题）

说明垂直关系

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点，试说明：

DG⊥EF.

（第3题）

说明倍分关系

说明角的倍分关系

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D.猜想∠DBC与∠A的数量关系，并说明理由．

（第4题）

说明线段的倍分关系

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE，试说明：

AH＝2BD.

（第5题）

说明和、差关系

6．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，试说明：

AB＋BD＝AC.

（第6题）

专训3　全章热门考点整合应用

名师点金：

本章内容在各类考试及中考中一直占有重要的地位，属必考内容，考查形式多以选择、填空形式出现，其考查的主要内容有轴对称和轴对称图形的识别及其性质，最短距离，与翻折有关的计算等，其考点可概括为：

两个概念，五个性质，两个应用，两种思想．

两个概念

轴对称

1．观察图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？

如果是，请画出其对称轴．

（第1题）

轴对称图形

2．（2015·重庆）下列图形是轴对称图形的是（　　）

五个性质

轴对称性质

3．如图，将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若△AFD的周长为24cm，△ECF的周长为8cm，求四边形纸片ABCD的周长．

（第3题）

等腰三角形的性质

（第4题）

4．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是（　　）

A．100°　　　　B．80°

C．70°D．50°

等边三角形的性质

5．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，试说明：

BD＋CD＝AD.

（第5题）

线段垂直平分线的性质

6．如图，P为△ABC的边BC垂直平分线上的一点，且∠PBC＝∠A，BP，CP的延长线分别交AC，AB于点D，E.试说明：

BE＝CD.

（第6题）

角平分线的性质

7．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M，试说明：

AD垂直平分EF.

（第7题）

两个应用

线段垂直平分线的应用

8．如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中确定学校的位置．

（第8题）

最短与最长路径的应用

9．如图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大，并说明理由．

（第9题）

两种思想

方程思想

10．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分别作等边三角形ADB和等边三角形ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数．

（第10题）

分类思想

11．在等腰三角形ABC中，∠A比∠B的2倍少50°，求∠B.

1．D　2.C　3.C　4.23或25　5.20

6．解：

设AB＝AC，BD⊥AC于D点；

（1）高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部，如图①，因为∠DBC＝25°，

所以∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°.

所以∠ABC＝∠C＝65°，∠A＝180°－2×65°＝50°.

（第6题）

（2）当高与另一腰的夹角为25°时，

如图②，高在△ABC的内部时，

当∠ABD＝25°时，∠A＝90°－∠ABD＝65°，

所以∠C＝∠ABC＝（180°－∠A）÷2＝57.5°；

如图③，高在△ABC的外部时，∠ABD＝25°，

所以∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，

所以∠BAC＝180°－65°＝115°，

所以∠ABC＝∠C＝（180°－115°）÷2＝32.5°，

故三角形各内角的度数为：

65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.

点拨：

由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内和在三角形外．

7．解：

此题分两种情况：

（1）如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°.

因为AB＝AC，所以∠B＝（180°－50°）÷2＝65°.

（2）如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，

所以∠BAC＝130°.

因为AB＝AC，所以∠B＝（180°－130°）÷2＝25°.

故∠B的大小为65°或25°.

（第7题）

8．分析：

由于题目中没有指明是“（AB＋AD）－（BC＋CD）”为3cm，还是“（BC＋CD）－（AB＋AD）”为3cm，因此必须分两种情况讨论．

解：

因为BD为AC边上的中线，所以AD＝CD.

（1）当（AB＋AD）－（BC＋CD）＝3cm时，AB－BC＝3cm，

因为BC＝5cm，所以AB＝5＋3＝8（cm）．

（2）当（BC＋CD）－（AB＋AD）＝3cm时，

BC－AB＝3cm，

因为BC＝5cm，所以AB＝5－3＝2（cm）；

但是当AB＝2cm时，三边长为2cm，2cm，5cm.

而2＋2＜5，不合题意，舍去．故腰长为8cm.

9．B

1．解：

如图，连接AD.

因为AB＝AC，D是BC的中点，

所以∠EAD＝∠FAD.

又因为AE＝AF，AD＝AD，

所以△AED≌△AFD（SAS）．

所以DE＝DF.

（第1题）

2．解：

因为△ABC，△PCE均为等边三角形，

所以BC＝AC，PC＝EC，∠ACB＝∠ABC＝∠PCE＝60°.

所以∠ACB－∠ACP＝∠PCE－∠ACP，

即∠BCP＝∠ACE.

所以△CBP≌△CAE（SAS）．

所以∠CAE＝∠CBP＝60°.

所以∠CAE＝∠ACB.所以AE∥BC.

3．解：

如图，连接ED，FD.因为AB＝AC，

所以∠B＝∠C.

在△BDE和△CFD中，

所以△BDE≌△CFD（SAS）．

所以DE＝DF.

又因为G是EF的中点，

所以DG⊥EF.

　（第3题）

　　（第4题）

4．解：

∠DBC＝∠A.

理由如下：

方法一：

因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C，

所以∠C＝（180°－∠A）．

因为BD⊥AC，

所以∠DBC＝90°－∠C

＝90°－（180°－∠A）

＝90°－90°＋∠A

＝∠A.

方法二：

如图，过点A作AE⊥BC于点E，则∠EAC＋∠C＝90°.

因为AB＝AC，

所以∠BAE＝∠EAC＝∠BAC.

因为BD⊥AC，所以∠DBC＋∠C＝90°，

所以∠DBC＝∠EAC＝∠BAC.

5．解：

因为AD，BE是△ABC的高，

所以∠ADB＝∠AEB＝90°.

又因为∠BHD＝∠AHE，

所以∠EBC＝∠EAH.

在△BCE和△AHE中，

所以△BCE≌△AHE（ASA）．

所以BC＝AH.

又因为AB＝AC，AD⊥BC，

所以BC＝2BD.所以AH＝2BD.

（第6题）

6．解：

如图，延长CB至E，使BE＝BA，则∠BAE＝∠E.

所以∠ABC＝180°－∠ABE＝∠E＋∠BAE＝2∠E.

又因为∠ABC＝2∠C，所以∠E＝∠C.所以AE＝AC.

因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC.

因为∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，

所以∠BAE＝∠C.

又因为∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，

∠EDA＝180°－∠ADC＝∠C＋∠DAC，

所以∠EAD＝∠EDA.所以AE＝DE.

所以AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.

1．解：

题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④中的左右两个图形不成轴对称．题图①②③中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示．

（第1题）

点拨：

判断两个图形是否成轴对称，关键是理解、应用两个图形成轴对称的定义，即看两个图形能否沿一条直线折叠后重合．若重合，则两个图形关于这条直线成轴对称，否则不成轴对称．

2．A

3．解：

由题意可知，△ABE和△AFE关于直线AE成轴对称，所以AB＝AF，BE＝FE.

因为△AFD的周长为24cm，△ECF的周长为8cm，

即AD＋DF＋AF＝24cm，FC＋CE＋FE＝8cm，

所以四边形纸片ABCD的周长为AD＋DC＋BC＋AB＝AD＋DF＋FC＋CE＋BE＋AB＝（AD＋DF＋AF）＋（FC＋CE＋FE）＝24＋8＝32（cm）．

4．A　点拨：

（方法一）因为DA＝DB，

所以∠DBA＝∠DAB＝20°.因为DA＝DC，所以∠DCA＝∠DAC＝30°.

在△ABC中，有∠DBC＋∠DCB＝180°－2×20°－2×30°＝80°.所以∠BDC＝180°－（∠DBC＋∠DCB）＝180°－80°＝100°.

（方法二）