北师大版七年级下册数学整合提升密码.docx

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北师大版七年级下册数学整合提升密码

专训1　整体思想在整式乘除运算中的应用

名师点金：

解决某些数学问题时，把一组数或一个式子看作一个整体进行处理，不仅可以简化解题过程，而且还能拓宽思路，培养创新意识，体现了数学中的一种重要思想——整体思想．这一思想在整式的乘法运算中体现明显，在解题中应用较多，要引起重视．

幂的运算中的整体思想

1．已知2x＋3y－3＝0，求3·9x·27y的值．

乘法公式运算中的整体思想

化烦为简整体代入．

2．已知a＝

x－20，b＝

x－18，c＝

x－16，

求式子a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值．

变形后整体代入．

3．已知x＋y＝4，xy＝1，求式子（x2＋1）（y2＋1）的值．

4．已知a－b＝b－c＝

，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．

5．已知a2＋a－1＝0，求a3＋2a2＋2016的值．

6．已知（2016－a）（2018－a）＝2017，求（2016－a）2＋（2018－a）2的值．

多项式乘法运算中的整体思想

数字中的换元．

7．若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，试比较M与N的大小．

多项式中的换元

8．计算：

（a1＋a2＋…＋an－1）（a2＋a3＋…＋an－1＋an）－（a2＋a3＋…＋an－1）（a1＋a2＋…＋an）（n≥3，且n为正整数）．

专训2　全章热门考点整合应用

名师点金：

本章的主要内容有幂的运算，整式的乘除法，乘法公式等．在考试中，它常与数的运算、式子的化简、几何等知识综合在一起考查，题型有选择题、填空题、解答题，在今后的中考中，对本章知识的考查仍将以基础题为主．本章考点可概括为：

两个运算，两个公式，一个技巧，三种思想．

两个运算

幂的运算法则及其逆用

1．

（1）（中考·资阳）（－a2b）2＝________；

（2）42016×（－0.25）2017＝________；

（3）（π－3）0＝________；

（4）（－3）2016＋（－3）2017＝________．

2．

（1）计算：

（－0.125）2017×82018；

（2）已知10x＝5，10y＝6，求103x＋2y的值．

3．已知x＋y＝a，试求（x＋y）3（2x＋2y）3（3x＋3y）3的值．

整式的运算

4．计算：

（1）（2a＋5b）（a－3b）；

（2）（－7x2－8y2）（－x2＋3y2）；

（3）（3x－2y）（y－3x）－（2x－y）（3x＋y）．

5．计算：

5ab2－

.

两个公式

平方差公式

6．（x－1）（x＋1）（x2＋1）－（x4＋1）的值是（　　）

A．－2x2　　　B．0　　　C．－2　　　D．－1

7．试说明

＋（2n－4）（2n＋4）的值和n无关．

8．求2（3＋1）（32＋1）（34＋1）·…·（364＋1）＋1的个位数字．

完全平方公式

9．计算：

（1）（3a＋b－2）（3a－b＋2）；

（2）（2015·重庆）2（a＋1）2＋（a＋1）（1－2a）．

一个技巧——巧用乘法公式

10．已知m，n满足（m＋n）2＝169，（m－n）2＝9，求m2＋n2－mn的值．

三种思想

整体思想

11．

（1）已知2m－1＝2，求3＋4m的值；

（2）已知x－y＝7，xy＝10，求x2＋y2的值．

转化思想

12．计算：

（1）（2x－1）（4x2＋2x＋1）；

（2）（x＋y＋z）2.

方程思想

13．若2×8m×16m＝229，则m的值是（　　）

A．3B．4C．5D．6

14．已知px2－60x＋25＝（qx－5）2，求p，q的值．

答案

1．解：

3·9x·27y＝3·（32）x·（33）y＝3·32x·33y＝31＋2x＋3y.

因为2x＋3y－3＝0，所以2x＋3y＝3，

所以原式＝31＋3＝34＝81.

点拨：

本题运用了整体思想和转化思想．

2．解：

由a＝

x－20，b＝

x－18，c＝

x－16，可得a－b＝－2，b－c＝－2，c－a＝4.从而a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝

[（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2]＝

×[（－2）2＋（－2）2＋42]＝

×24＝12.

3．解：

（x2＋1）（y2＋1）＝x2y2＋x2＋y2＋1＝（xy）2＋（x＋y）2－2xy＋1.把x＋y＝4，xy＝1整体代入得12＋42－2×1＋1＝16，即（x2＋1）（y2＋1）＝16.

4．解：

由a－b＝b－c＝

，可以得到a－c＝

.由（a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2＝2（a2＋b2＋c2）－2（ab＋bc＋ac），得到ab＋bc＋ca＝（a2＋b2＋c2）－

[（a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2]．将a2＋b2＋c2，a－b，b－c及a－c的值整体代入，可得ab＋bc＋ca＝1－

×[（

）2＋

＋

]＝1－

×

＝－

.

5．解：

因为a2＋a－1＝0①，

所以将等式两边都乘a，可得a3＋a2－a＝0②.

将①②相加得a3＋2a2－1＝0，即a3＋2a2＝1.

所以a3＋2a2＋2016＝1＋2016＝2017.

6．解：

（2016－a）2＋（2018－a）2＝[（2016－a）－（2018－a）]2＋2（2016－a）（2018－a）＝（－2）2＋2×2017＝4＋4034＝4038.

点拨：

本题运用乘法公式的变形x2＋y2＝（x－y）2＋2xy，结合整体思想求解，使计算简便．

7.解：

设123456788＝a，则123456789＝a＋1，123456786＝a－2，123456787＝a－1.从而M＝（a＋1）（a－2）＝a2－a－2，N＝a（a－1）＝a2－a.所以M－N＝（a2－a－2）－（a2－a）＝－2＜0，所以M＜N.

8．解：

设a2＋a3＋…＋an－1＝M，则原式＝（a1＋M）（M＋an）－M（a1＋M＋an）＝a1M＋a1an＋M2＋anM－a1M－M2－anM＝a1an.

点拨：

本题如果按正常展开的方式来运算显然是很复杂的．这一类带“…”的题中，往往蕴藏着重要的技巧，而发现技巧的关键是观察．因此，在解决这类问题时，不要忙于解答，而要冷静观察，寻找解决问题的突破口．比如这一题，在观察时能发现a2＋a3＋…＋an－1这个式子在每一个因式中都存在．因此，可以考虑将这个式子作为一个整体，设为M，问题就简化了，体现了整体思想的运用．

1．

（1）a4b2　

（2）－0.25　（3）1　（4）－2×32016

2．解：

（1）原式＝（－0.125）2017×82017×8

＝（－0.125×8）2017×8

＝－8.

（2）103x＋2y＝103x·102y＝（10x）3·（10y）2＝53×62＝4500.

3．解：

（x＋y）3（2x＋2y）3（3x＋3y）3

＝（x＋y）3·[2（x＋y）]3·[3（x＋y）]3

＝（x＋y）3·8（x＋y）3·27（x＋y）3

＝216（x＋y）9

＝216a9.

4．解：

（1）原式＝2a2－6ab＋5ab－15b2

＝2a2－ab－15b2.

（2）原式＝7x4－21x2y2＋8x2y2－24y4

＝7x4－13x2y2－24y4.

（3）原式＝（－9x2＋9xy－2y2）－（6x2－xy－y2）

＝－15x2＋10xy－y2.

5．解：

5ab2－

＝5ab2－

＝5ab2－

＝5ab2－[2a2b－（－10a＋2b）]

＝5ab2－（2a2b＋10a－2b）

＝5ab2－2a2b－10a＋2b.

点拨：

去括号时要确定各项的符号，对于较复杂的运算一般先确定运算顺序，再按顺序进行运算．

6．C

7．解：

＋（2n－4）（2n＋4）

＝

－（2n）2＋（2n）2－16

＝

m6－4n2＋4n2－16

＝

m6－16.

故原式的值和n无关．

8．解：

原式＝（3－1）（3＋1）（32＋1）（34＋1）·…·（364＋1）＋1

＝（32－1）（32＋1）（34＋1）·…·（364＋1）＋1

＝3128－1＋1

＝3128.

因为3128＝（34）32＝8132，

所以个位数字为1.

9．解：

（1）（3a＋b－2）（3a－b＋2）

＝[3a＋（b－2）][3a－（b－2）]

＝（3a）2－（b－2）2

＝9a2－b2＋4b－4.

（2）原式＝2（a2＋2a＋1）＋（a－2a2＋1－2a）

＝2a2＋4a＋2＋a－2a2＋1－2a

＝3a＋3.

10．解：

因为（m＋n）2＋（m－n）2＝m2＋2mn＋n2＋m2－2mn＋n2＝2（m2＋n2），

所以2（m2＋n2）＝169＋9＝178，所以m2＋n2＝89.

因为（m＋n）2－（m－n）2＝m2＋2mn＋n2－m2＋2mn－n2＝4mn，

所以4mn＝169－9＝160，所以mn＝40.

所以m2＋n2－mn＝89－40＝49.

11．解：

（1）因为2m－1＝2，所以2m＝3.

所以3＋4m＝3＋（22）m＝3＋（2m）2＝3＋32＝12.

（2）因为x2＋y2＝（x－y）2＋2xy，x－y＝7，xy＝10，

所以原式＝72＋2×10＝69.

点拨：

本题运用了整体思想，将2m，x－y，xy整体代入求出式子的值．

12．解：

（1）（2x－1）（4x2＋2x＋1）＝（2x－1）·4x2＋（2x－1）·2x＋（2x－1）·1＝8x3－4x2＋4x2－2x＋2x－1＝8x3－1.

（2）（x＋y＋z）2＝[（x＋y）＋z]2＝（x＋y）2＋2z（x＋y）＋z2＝x2＋2xy＋y2＋2xz＋2yz＋z2.

13．B

14．解：

（qx－5）2＝（qx）2－2·5·（qx）＋25＝q2x2－10qx＋25.因为px2－60x＋25＝（qx－5）2，所以px2－60x＋25＝q2x2－10qx＋25，所以p＝q2，－60＝－10q，解得q＝6，p＝36.

点拨：

若两个多项式相等，则对应项的系数相等．