二次函数动点问题典型例题.docx
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二次函数动点问题典型例题
二次函数动点问题典型例题
等腰三角形问题
1.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=
,且经过点A(2,1),点P是抛物线上的动点,P的横坐标为m(0<m<2),过点P作PB⊥x轴,垂足为B,PB交OA于点C,点O关于直线PB的对称点为D,连接CD,AD,过点A作AE⊥x轴,垂足为E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)填空:
①用含m的式子表示点C,D的坐标:
C( , ),D( , );
②当m= 时,△ACD的周长最小;
(3)若△ACD为等腰三角形,求出所有符合条件的点P的坐标.
面积最大
1.如图,抛物线y=﹣
x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?
如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?
求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
2.已知:
如图,直线y=3x+3与x轴交于C点,与y轴交于A点,B点在x轴上,△OAB是等腰直角三角形.
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)若直线CD∥AB交抛物线于D点,求D点的坐标;
(3)若P点是抛物线上的动点,且在第一象限,那么△PAB是否有最大面积?
若有,求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.
3.(2015•黔西南州)(第26题)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′.抛物线y=﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点.
(1)求A、A′、C三点的坐标;
(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积;
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点,问点M在何处时,△AMA′的面积最大?
最大面积是多少?
并写出此时M的坐标.
最短路径
1.(2014绵阳)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点M(﹣2,
),顶点坐标为N(﹣1,
),且与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线对称轴上的动点,当△PBC为等腰三角形时,求点P的坐标;
(3)在直线AC上是否存在一点Q,使△QBM的周长最小?
若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.
2.(2014•泸州)如图,已知一次函数y1=
x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B(0,1)和点C,且图象C′过点A(2﹣
,0).
(1)求二次函数的最大值;
(2)设使y2>y1成立的x取值的所有整数和为s,若s是关于x的方程
=0的根,求a的值;
(3)若点F、G在图象C′上,长度为
的线段DE在线段BC上移动,EF与DG始终平行于y轴,当四边形DEFG的面积最大时,在x轴上求点P,使PD+PE最小,求出点P的坐标.
平行四边形
1.(2015•贵州省贵阳,第24题9分)如图,经过点C(0,﹣4)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A(﹣2,0),B两点.
(1)a > 0,b2﹣4ac > 0(填“>”或“<”);
(2)若该抛物线关于直线x=2对称,求抛物线的函数表达式;
(3)在
(2)的条件下,连接AC,E是抛物线上一动点,过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点所组成的四边形是平行四边形?
若存在,求出满足条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由.
2.(14分)(2015•葫芦岛)(第26题)如图,直线y=﹣
x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+
x+c经过B、C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,点E是直线BC上方抛物线上的一动点,当△BEC面积最大时,请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值?
(3)在
(2)的结论下,过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
3.(2015•辽宁抚顺)(第26题,14分))已知,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示,A点坐标为(﹣6,0),B点坐标为(4,0),点D为BC的中点,点E为线段AB上一动点,连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①,将△BDE以DE为轴翻
折,点B的对称点为点G,当点G恰好落在抛物线的对称轴上时,求G点的坐标;
(3)如图②,当点E在线段AB上运动时,抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F,使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
4.(2015•梧州,第26题12分)如图,抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点,其中B(4,0)、C(﹣2,0),连接AB、AC,在第一象限内的抛物线上有一动点D,过D作DE⊥x轴,垂足为E,交AB于点F.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称,以G为圆心,GD为半径作圆,当⊙G与其中一条坐标轴相切时,求G点的横坐标;
(3)过D点作直线DH∥AC交AB于H,当△DHF的面积最大时,在抛物线和直线AB上分别取M、N两点,并使D、H、M、N四点组成平行四边形,请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标.
5.(2015•甘南州第28题12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣
x2+bx+c,经过A(0,﹣4),B(x1,0),C(x2,0)三点,且|x2﹣x1|=5.
(1)求b,c的值;
(2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形;
(3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形?
若存在,求出点P的坐标,并判断这个菱形是否为正方形?
若不存在,请说明理由.
角度问题
1.(2015•宁德第24题14分)已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,O是坐标原点,点A的坐标是(﹣1,0),点C的坐标是(0,﹣3).
(
1)求抛物线的函数表达式;
(2)求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数;
(3)P为线段BC上一点,连接AC,AP,若∠ACB=∠PAB,求点P的坐标.
函数应用
1.(2015•广东茂名23,8分)某公司生产的某种产品每件成本为40元,经市场调查整理出如下信息:
①该产品90天内日销售量(m件)与时间(第x天)满足一次函数关系,部分数据如下表:
时间(第x天)13610…
日销售量(m件)198194188180…
②该产品90天内每天的销售价格与时间(第x天)的关系如下表:
时间(第x天)1≤x<5050≤x≤90
销售价格(元/件)x+60100
(1)求m关于x的一次函数表达式;
(2)设销售该产品每天利润为y元,请写出y关于x的函数表达式,并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大?
最大利润是多少?
【提示:
每天销售利润=日销售量×(每件销售价格﹣每件成本)】
(3)在该产品销售的过程中,共有多少天销售利润不低于5400元,请直接写出结果.
相似三角形
1.(2015•辽宁铁岭)(第26题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+
与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点.与y轴交于点C,点D与点C关于抛物线的对称轴对称.
(1)求抛物线的解析式,并直接写出点D的坐标;
(2)如图1,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动,到达点B时停止运动.以AP为边作等边△APQ(点Q在x轴上方),设点P在运动过程中,△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S,点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式;
(3)如图2,连接AC,在第二象限内存在点M,使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似.请直接写出所有符合条件的点M坐标.
解析式的应用
1.(2015•天津,第25题10分)(2015•天津)已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数).
(Ⅰ)当b=2,c=﹣3时,求二次函数的最小值;
(Ⅱ)当c=5时,若在函数值y=l的怙况下,只有一个自变量x的值与其对应,求此时二次函数的解析式;
(Ⅲ)当c=b2时,若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为21,求此时二次函数的解析式.
综合练习
1.(2015•辽宁阜新)(第18题,12分)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在抛物线上,且S△AOP=4SBOC,求点P的坐标;
(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值.
2.(2015•黑龙江省大庆,第28题9分)已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C,与x轴正半轴的交点为A,且tan∠ACO=
(1)求二次函数的解析式;
(2)P为二次函数图象的顶点,Q为其对称轴上的一点,QC平分∠PQO,求Q点坐标;
(3)是否存在实数x1、x2(x1<x2),当x1≤x≤x2时,y的取值范围为
≤y≤
?
若存在,直接写在x1,x2的值;若不存在,说明理由.
3.(2015•北海,第26题14分)如图1所示,已知抛物线y=﹣x2+4x+5的顶点为D,与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,E为对称轴上的一点,连接CE,将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后,点C的对应点C′恰好落在y轴上.
(1)直接写出D点和E点的坐标;
(2)点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点,点H是抛物线上C与F之间的一个动点,若过点H作直线HG与y轴平行,且与直线C′E交于点G,设点H的横坐标为m(0<m<4),那么当m为何值时,S△HGF:
S△BGF=5:
6?
(3)图2所示的抛物线是由y=﹣x2+4x+5向右平移1个单位后得到的,点T(5,y)在抛物线上,点P是抛物线上O与T之间的任意一点,在线段OT上是否存在一点Q,使△PQT是等腰直角三角形?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.