八上数学整式的乘除与因式分解教案.docx
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八上数学整式的乘除与因式分解教案
课题:
15.1.1同底数幂的乘法
一、教学目标
1.经历同底数幂乘法法则的形成过程,会进行同底数幂的乘法运算.
2.培养归纳概括能力.
二、教学重点和难点
1.重点:
同底数幂的乘法运算.
2.难点:
归纳概括同底数幂的乘法法则.
三、教学过程
1、说出下列各式分别表示什么运算
(2x2-3x)+5x;(两个整式相加)
(2x2-3x)-5x;(两个整式相减)
(2x2-3x)×5x;(两个整式相乘)
(2x2-3x)÷5x(两个整式相除)
在初一的时候,我们已经学过整式的加减,第十五章要学整式的乘除.
2、出示下图
23:
2的3次方的意思是3个2相乘
a4:
a的4次方的意思是4个a相乘
即a4=a·a·a·a.
填空:
(1)24=×××;
(2)103=××;
(3)3×3×3×3×3=3();(4)a·a·a·a·a·a=a().
填空:
(1)68的底数是,指数是,幂是;
(2)86的底数是,指数是,幂是;
(3)x4的底数是,指数是,幂是;
(4)x的底数是,指数是,幂是.
3、思考
(1)25与22这两个幂有什么共同点?
(2)如何计算25×22?
2的5次方与2的2次方是同底数幂.
25=2×2×2×2×2,22=2×2.于是
25×22=(2×2×2×2×2)×(2×2)
=2×2×2×2×2×2×2=27=25+2.
(3)如何计算a3·a2?
a的3次方与a的2次方是同底数幂.
a3=a×a×a,a2=a×a.于是
a3×a2=(a×a×a)×(a×a)
=a×a×a×a×a=a5=a3+2.
(4)观察25×22=25+2.a3×a2=a3+2.你发现了
什么?
4、同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
公式表示.am·an=am+n。
(m,n都是正整数).
5、例计算:
(课本第142页)
(1)x2·x5;
(2)a·a6;
(3)2×24×23;
(4)xm·x3m+1.
6、练习
直接写出结果:
(1)65×64=;
(2)103×102=
(3)a7·a6=;(4)x3·x=
(5)an·an+1=;(6)x5-m·xm=
(7)x3·x7·x2=;(8)2m·2·22m-1=
填空:
(1)b5·b()=b8;;
(2)y()·y3=y6;
(3)10×10()=106;(4)5()×58=59.
判断正误:
对的画“√”,错的画“×”.
(1)b5·b5=2b5;()
(2)b5+b5=b10;()
(3)b5·b5=b25;()
(4)b·b5=b5;()
(5)b5·b5=b10.()
填空:
某台电子计算机每秒可进行1014次运算,它工作103秒进行次运算.
7、小结布置作业(作业:
P142练习)
本节课我们学习了同底数幂的乘法法则。
“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”。
即,am·an=am+n。
(m,n都是整数)
课题:
15.1.2幂的乘方
一、教学目标
1.经历幂的乘方法则的形成过程,会进行幂的乘方运算.
2.培养归纳概括能力和运算能力.
二、教学重点和难点
1.重点:
幂的乘方运算.
2.难点:
归纳概括幂的乘方法则.
三、教学过程
1、巩固旧知
填空:
同底数幂相乘,底数,指数,即am·an=(m,n都是整数).
判断正误:
对的画“√”,错的画“×”.
(1)53+53=56;()
(2)a3·a4=a12;()
(3)b5·b5=2b5;()
(4)c·c3=c3;()
(5)m3·n2=m5.()
直接写出结果:
(1)33×35=
(2)105×106=
(3)x2·x4=
(4)y2·y=
(5)am·a2=
(6)2n-1×2n+1=
(7)42×42×42=
(8)a3·a3·a3·a3=
2、我们已经知道,32是一个幂,那么(32)3这个式子表示这个幂的3次方,也就是幂的乘方.一般地,把(am)n叫做“幂的乘方”
3、由于32表示2个3相乘,那么(32)3这个式子表示3个32相乘。
(32)3=32×32×32=32+2+2=36,又32×3=36,
所以(32)3=32×3。
同理,(a3)4表示4个a3相乘。
(a3)4=a3·a3·a3·a3=a3+3+3+3=a12,又a3×4=a12,
所以(a3)4=a3×4。
通过对(32)3=32×3,(a3)4=a3×4的观察,
请猜想(am)n=。
4、幂的乘方,底数不变,指数相乘。
公式表示:
(am)n=amn.(m,n都是整数)
5、例1计算:
(1)(103)5;
(2)(a4)4;
(3)(am)2;
(4)-(x4)3.
6、练习:
(1)(102)3=
(2)(y6)2=
(3)-(x3)5=
(4)(an)6=
(5)a2·a3=
(6)(xn)4=
(7)xn+xn=
(8)(a2)3=
(5)xn·x4=
(10)a3+a3=
7、例2计算
(1)(x2)8·(x3)4;
解:
=x2×8·x3×4
=x16·x12
=x16+12
=x28
(2)(y3)4+(y2)6;
解:
=y3×4+y2×6
=y12+y12
=2y12
8、练习,计算:
(1)(x2)3·(x3)2=
=
=
=
(2)(a2)8-(a4)4=
=
=
9、小结布置作业(作业:
P143练习)
本节课我们学习了幂的乘方法则。
“幂的乘方,底数不变,指数相乘”。
即,(am)n=amn.(m,n都是整数)
四、板书设计
15.1.2幂的乘方
(32)3=……=36例1例2
(a3)4=……=a12
幂的乘方……
(am)n=amn(m,n都是正整数)
课题:
15.1.3积的乘方
一、教学目标
1.经历积的乘方法则的形成过程,会进行积的乘方运算.
2.培养归纳概括能力和运算能力.
二、教学重点和难点
1.重点:
积的乘方运算.
2.难点:
归纳概括积的乘方法则.
三、教学过程
1、巩固旧知
填空:
同底数幂相乘,底数不变,指数
幂的乘方,底数不变,指数.
判断正误:
对的画“√”,错的画“×”.
(1)(a3)3=a6;()
(2)x3+x3=x6;()
(3)x3·x4=x12;()
(4)(x4)2=x8;()
(5)a6·a4=a10;()
(6)a5+a5=2a5.()
直接写出结果:
(1)7×76=
(2)(33)5=
(3)y2+y2=
(4)t2·t6=
(5)-(a4)6=(6)(x2)5·x4=
2、我们已经知道,ab表示a与b的积,那么(ab)3表示a与b积的3次方,也就是积的乘方.一般地,把(ab)n叫做“积的乘方”。
3、由于ab=a·b,(ab)3表示3个ab相乘.
所以(ab)3=(ab)·(ab)·(ab)…乘方的意义
=a·b·a·b·a·b…乘法的意义
=(a·a·a)·(b·b·b)
…乘法交换律、结合律
=a3b3…乘方的意义
同理(ab)4=(ab)·(ab)·(ab)·(ab)
=a·b·a·b·a·b·a·b
=(a·a·a·a)·(b·b·b·b)
=a4b4
通过对(ab)3=a3b3,(ab)4=a4b4的观察请猜想(ab)n
4、积的乘方等于每个因式分别乘方的积.
公式表示:
(ab)n=anbn
5、例计算:
(1)(2a)3
解:
=23·a3
=8a3
(2)(-5b)3
解:
=(-5)3·b3
=-125b3
(3)(xy2)2
解:
=x2·(y2)2
=x2·y4
=x2y4
(4)(-2x3)4
解:
=(-2)4·(x3)4
=16·x12
=16x12
6、练习
计算:
(1)(3x)2=
(2)(-2y)3=
(3)(2ab)3=
(4)(-xy)4=
计算:
(1)(bc3)2=
(2)(2x2)3=
(3)(-2a2b)3=
(4)(-3x2y3)2=
判断正误:
对的画“√”,错的画“×”.
(1)b3·b3=2b3;()
(2)x4·x4=x16;()
(3)(a5)2=a7;()
(4)(a3)2·a4=a9;()
(5)(ab2)3=ab6;()
(6)(-2a)2=-4a2.()
7、小结布置作业(P144练习,P148习题2.)
本节课我们学习了积的乘方法则。
“积的乘方等于每个因式分别乘方的积”。
四、板书设计
15.1.3积的乘方
(ab)2=……=a2b2例
(ab)3=……=a3b3
(ab)4=a4b4
(ab)5=a5b5
(ab)n=anbn
积的乘方等于……
课题:
15.1.4整式的乘法(第1课时)
一、教学目标
1.经历单项式乘单项式法则形成的过程,会进行单项式乘单项式的运算.
2.培养归纳概括能力和运算能力.
二、教学重点和难点
1.重点:
单项式乘单项式.
2.难点:
归纳概括单项式乘单项式的法则.
三、教学过程
1、巩固旧知
直接写出结果:
(1)(-3x)2=
(2)(-b2)3=
(3)a3·a=(4)(y2)2·y3=
填空:
(1)像3a,xy2这样,数字和字母乘积的式子叫做式;
(2)像2x-3,x+5y2这样,几个单项式的和叫做式;
(3)单项式与多项式统称式.
判断正误:
对的画“√”,错的画“×”.
(1)-4x是单项式;()
(2)-4x+1是单项式;()
(3)2xy2是多项式;()
(4)x2-2x+1是多项式;()
(5)单项式-3ab的系数是-3;()
(6)单项式a2b的系数是0.()
2、我们已经知道,整式包括单项式和多项式.所以整式的乘法可以分为三种.
(1)单项式乘单项式
(2)单项式乘多项
(3)多项式乘多项式
3、在3x2·4xy中,3x2是一个单项式,4xy也是一个单项式,这两个单项式怎么乘呢?
利用乘法交换律和结合律,我们可以把系数3和系数4写在一起乘,把x2和x写在一起乘,y照抄,这样就得到。
3x2·4xy=(3×4)·(x2·x)·y
=(3×4)·(x2·x)·y
=12·x3·y
=12x3y
在-2ac5·6bc2中,-2ac5是一个单项式,6bc2也是一个单项式,这两个单项式又怎么乘呢?
(让学生充分思考、讨论)
利用乘法交换律和结合律,我们可以把系数-2和6写在一起乘,把c5和c2写在一起乘,a、b照抄,这样就得到。
-2ac5·6bc2=(-2×6)·a·b·(c5·c2)
=(-2×6)·a·b·(c5·c2)).
=-12abc7.
从这两个例子,你能概括出单项式乘单项式的法则吗?
(让学生发表看法)
4、单项式与单项式相乘,系数相乘,相同字母相乘,剩下的照抄.
5、例计算:
(先让生尝试,再边讲边板演)
(1)(-5a2b)(-3a);
解:
=[-5×(-3)]·(a2·a)·b
=15a3b
(2)(2x3)(-5xy3).
解:
=[2×(-5)]·(x3·x)·y3
=-10x4y3
6、练习
计算:
(1)3x2·5x3=
(2)4y·(-2xy2)=
(3)(2m2n)·(mn)=
(4)(-a2b)·(5b2)=
计算:
(1)(3x2y)3·(-4x)=
(2)(-2a)3·(-3a)2=
判断正误:
对的画“√”,错的画“×”.
(1)3a3·2a2=6a6;()
(2)2x2·3x2=6x4;()
(3)3x2·4x2=12x2;()
(4)5y3·3y5=15y15.()
填空:
光的速度约为3×105千米/秒,太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒,地球与太阳的距离约为千米.
7、小结布置作业(P149习题3.)
(1)整式乘法分为单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式。
(2)本节课我们学习了整式乘法的一种——单项式乘单项式。
单项式与单项式相乘,系数相乘,相同字母相乘,剩下的照抄.
课题:
15.1.4整式的乘法(第2课时)
一、教学目标
1.知道单项式乘多项式的法则,会运用法则进行单项式乘多项式的运算.
2.培养运算能力,渗透转化思想.
二、教学重点和难点
1.重点:
单项式乘多项式.
2.难点:
单项式乘多项式法则的运用.
三、教学过程
1、巩固旧知
直接写出结果:
(1)4a2·2a=
(2)x·(-5)=
(3)(2xy)·(-3x)=(4)(ab2)·(-6b)=
(5)(2x)·(
x)=
(6)(
ab)·(2a)=
填空:
几个式的和叫做多项式,其中,每个式叫做多项式的项.
填空:
(1)多项式3x+4y有2项,
它们是、;
(2)多项式2x-3有2项,
它们是、;
(3)多项式
ab2-2ab有2项,
它们是、;
(4)多项式2x2-3x+4有3项,
它们是、、.
2、我们已经知道,整式的乘法可以分为单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式.上节课我们学习了单项式乘单项式,本节课我们将学习单项式乘多项式.
3、m(a+b+c)=ma+mb+mc,这是我们学过的分配率。
在这个式子中,m是一个单项式,a+b+c是一个多项式,实际上是一个单项式乘多项式。
可见,单项式乘多项式直接应用分配律m(a+b+c)=ma+mb+mc计算。
4、单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
5、例1计算:
(1)(-4x2)·(3x+1)
解:
=(-4x2)·3x+(-4x2)·1
=(-4
3)·(x2·x)+(-4
1)·x2
=-12x3-4x2
(2)(
ab2-2ab)·
ab
解:
=(
ab2·
ab)+(-2ab·
ab)
=(
)·(a·a)·(b2·b)+
(-2
)·(a·a)·(b·b)
=
a2b3-a2b2
6、练习,计算:
(1)3a(5a-b)=
(2)(x-3y)(-6x)=
(3)-2x(x2-x+1)=
7、例2化简
x(x+3)-2x(x-1).(生尝试,再讲解)
解:
=x2+3x-(2x2-2x)
=x2+3x-2x2+2x
=(x2-2x2)+(3x+2x)
=-x2+5x2
8、练习,化简:
(1)-3x(x+2)+2x(x+1)=
(2)x(x-1)-3x(2x-5)=
9、小结布置作业(P149习题4,P146练习2)
本节课我们学习了单项式乘多项式。
“单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加”。
单项式乘多项式的根据是“乘法分配律”。
单项式乘多项式的关键是“把单项式乘多项式转化为单项式乘单项式”。
四、板书设计
15.1.4整式的乘法(单项式乘多项式)
m(a+b+c)=ma+mb+mc例1单项式与多项式相乘……例2
课题:
15.1.4整式的乘法(第3课时)
一、教学目标
1.知道多项式乘多项式的法则,会运用法则进行多项式乘多项式的运算.
2.培养运算能力,渗透转化思想.
二、教学重点和难点
1.重点:
多项式乘多项式.
2.难点:
多项式乘多项式法则的运用.
三、教学过程
1、巩固旧知
填空:
(1)单项式与单项式相乘,相乘,相同相乘,剩下的照抄;
(2)单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的,再把所得的积相加.
直接写出结果:
(1)(5x3)·(2x2y)=
(2)(-3ab)·(-4b2)=
(3)(xy)·(-2xy3)=(4)(2×103)·(8×108)=
计算:
(1)5x(2x2-3x+4)=
(2)-6a(a-3b)=
2、我们讲过,整式的乘法可分为三种。
(1)单项式乘单项式
(2)单项式乘多项式
(3)多项式乘多项式
前面我们学习了单项式乘单项式、单项式乘多项式,这节课我们学习多项式乘多项式.
3、在(a+b)(m+n)中,a+b是一个多项式,m+n也是一个多项式,这两个多项式相乘,怎么乘呢?
(生尝试,师巡视)
在(a+b)(m+n)中,我们可以先把m+n看成是一个单项式,利用单项式乘多项式的法则来乘,能得到a(m+n)+b(m+n),再利用单项式乘多项式法则,得到am+an+bm+bn。
即,(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
4、多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.即
5、例1计算:
(1)(3x+1)(x+2)
解:
=3x2+7x+2
(2)(3x+y)(x-2y).(学生先尝试)
解:
=(3x)·x+(3x)·(-2y)+y·x+y·(-2y)
=3x2-6xy+xy-2y2
=3x2-5xy-2y2
6、练习,填空:
(1)(2x+1)(x+3)
=+++
=
=;
(2)(m+2n)(m-3n)
=+++
=
=.
7、例2计算:
(课本148页)
(1)(x-8y)(x-y)
解:
=x2-xy-8xy+8y2
=x2-9xy+8y2
(2)(x+y)(x2-xy+y2).(先让学生尝试)
解:
=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3
=x3+y3
说明:
多项式乘以多项式,实际上就是“去括号、合并同类项”。
第一步运用法则,第二步单项式乘单项式,第三步合并同类项.在这三步中,运用法则这一步写起来比较麻烦,为了减少麻烦,我们可以把第一步第二步合成一步.
8、练习,计算:
(1)(x+3)(2x+5)
(2)(a+3b)(a-3b)
==
==
(3)(2x2-1)(x-4)(4)(a-1)(a-1)
==
==
9、小结布置作业
本节课我们学习了多项式乘多项式。
“多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加”。
即(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)
=am+an+bm+bn实质是“去括号、合并同类项”。
课题:
15.1.4整式的乘法(第4课时)
一、教学目标
1.会比较熟练地进行多项式乘多项式的运算.
2.会进行简单的整式加减乘混合运算.
3.培养运算能力.
二、教学重点和难点
1.重点:
进行多项式乘多项式的运算.
2.难点:
整式混合运算.
三、教学过程
1、巩固旧知
口答:
(1)2x·3y;
(2)(-x)·3x;(3)(-3y)·(-5x);(4)y·2y;(5)(-2)·2x;(6)(3y)·4;
(7)2x·4x2;(8)2x·(-2xy);(9)(-y)·(4x2);(10)(-3y)·2xy;(11)y2·2x;(12)(-y)·y2.
直接写出结果:
(1)2x(x2+2)=
(2)(-b)·(-5b+3)=
(3)(4y2-3y)·2y=
(4)(3-a)(-2a)=
计算:
(1)(2x+3)(x+3)
=
=
(2)(x-2)(x+5)
=
=
(2)(-x+4y)(x+4y)
=
=
(4)(2a+b)(2a-b)
=
=
(5)(3a+b)2
=(3a+b)(3a+b)
=
=
(6)(3a-b)2
=(3a-b)(3a-b)
=
=
2、例1计算:
(先让生尝试,再讲解)
5x(2x+1)-(2x+3)(x-5).
解:
5x(2x+1)-(2x+3)(x-5)
=10x2+5x-(2x2-10x+3x-15)
=10x2+5x-(2x2-7x-15)
=10x2+5x-2x2+7x+15
=8x2+12x+15
3、练习,计算:
(x+3)(2x-5)-(x-1)(x-2)
解:
原式=
=
=
=
4、例2求值:
(先让生尝试,再讲解)
(2x+3)2-(x-1)(4x-5),其中x=100.
解:
(2x+3)2-(x-1)(4x-5)
=(2x+3)(2x+3)-(4x2-5x-4x+5)
=(4x2+6x+6x+9)-(4x2-9x+5)
=4x2+6x+6x+9-4x2+9x-5
=21x+4
当x=100,原式=21x+4=21×100+4=2104.
5、练习,求值:
(2x+1)(2x-3)-(2x-3)2,其中
解:
原式=
=
=
=
当x=时
原式=
6、小结布置作业(P149习题6.7.)
(1)在进行整式加、减、乘的混合运算时,先根据“单项式乘以单项式、单项式乘以多项式,多项式乘以多项式的法则”计算乘法;再根据“合并同类项”的法则“计算加减法。
(2)求整式的值时,先进行整式的计算,化简后再把字母的取值代入化简的式子中。
课题:
15.2.1平方差公式
一、教学目标
1.经历发现平方差公式的过程,会运用平方差公式进行计算.
2.培养概括能力,发展符号感.
二、教学重点和难点
1.重点:
运用平方差公式进行计算.
2.难点:
先交换项的位置,再运用平方差公式.
三、教学过程
1.计算:
(1)(x+3)(x-3)=
(2)(m+2)(m-2)=
(3)(2x+1)(2x-1)=
2、我们知道,整式的乘法有三种,即:
单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式.在这几种整式乘法中,多项式乘多项式比较麻烦,那么我们自然会想到多项式乘多项式有没有简单一点的方法?
3、(出示下面的板书)
(x+3)(x-3)=x2-9
(m+2)(m-2)=m2-4
(2x+1)(2x-1)=4x2-1
观察、归纳:
从这些等式我们发现了一个规律:
(a+b)(a-b)=a2-b2。
即“两个数的和乘以这两个数的差,等于这两个数的平方差.”
4、我们把(a+b)(a-b)=a2-b2这个公式叫做平方差公式.
有了平方差公式,以后再碰到两个数的和乘以这两个数的差这样的多项式乘多项式,我们就不需要一项一项乘了,只要用平方差公式就行了.
5、例运用平方差公式计算:
(1)(3x+2)(3x-2);
(2)(-x-2y)(-x+2y);
(3)(b+2a)(2a-b);
(4)(x-4)(-x-4).
解:
(1)
(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4
(a+b)(a-