整式的乘除与因式分解教材解读.docx

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整式的乘除与因式分解教材解读

整式的乘除与因式分解教材解读

人教版八年级数学上册第十五章

“整式的乘除与因式分解”教材解读

合阳县甘井镇中学

雷艳敏

2012年12月

学中应该注意本章知识之间的这种逻辑关系，使学生能从整体上把握本章知识。

1.现行人教版与北师大版的对比：

人教版的编写特点：

章节明了、条理清晰、内容严谨、循序渐;

北师大版的编写特点：

问题导入、注重探究、注重应用、跳跃性大。

2.现行人教版与新人教版的对比：

现行版第十五章整式的乘除与因式分解

15.1整式的乘法

15.2乘法公式

阅读与思考杨辉三角

15.3整式的除法

15.4因式分解

观察与猜想x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解；

数学活动

小结

复习题15

新人教版第十五章整式的乘除与因式分解

15.1整式的加减（新增）（新课程目标要求：

理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法的运算）

15.2整式的乘法

15.3乘法公式

15.4整式的除法

15.5因式分解

数学活动

小结

〈二〉.本章教材内容结构：

⑴本章主要分为整式的乘除、因式分解两大部分；

⑵其中整式的乘除分为：

整式的乘法、整式的除法，因式分解有：

提公因式法、公式法、x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解；

⑶整式的乘法包含幂的运算性质、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，（其中单项式乘以单项式是整式乘法的重点）整式的除法包含同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式，因式分解中的公式法包含平方差公式、完全平方公式。

⑷幂的运算性质又包含同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方（幂的运算是整式乘法的基础），多项式乘以多项式又包含平方差公式、完全平方公式，同底数幂的除法延伸拓展得到0指数幂的定义。

另外，整式的乘法与因式分解是相反方向的变形，多项式乘法中的平方差公式、完全平方公式与因式分解中平方差公式、完全平方公式就是相反方向的变形。

〈三〉.知识的立体整合：

整式的乘除运算是对前面所学数的运算的延伸拓展，因此学习本章要加强对数的运算的回顾与复习，要注意整式的乘除运算与数的运算联系与区别；如幂的运算性质的推导都要用到乘方运算的意义，单项式乘以多项式的法则实质就是乘法分配律等，数的运算到式的运算是学生思维的一次飞跃，是从具体到抽象、特殊到一般。

整式的乘除与因式分解是数与代数的核心与基础，是学生学习代数的关键，如七上整式的加减，八下分式的约分、通分及分式的计算、九上一元二次方程解法中的：

配方法、因式分解法就是本章知识的直接应用，甚至高中阶段的指数、对数及一元二次不等式等内容无不与本章知识有密切的联系。

三．说建议

〈一〉教学建议：

1．重视运算性质、公式的发生和归纳过程的教学。

本章整式乘法、除法运算性质、乘法公式的得出过程，教科书是从某些具体的数与式的计算，归纳得到运算法则，是一个由特殊到一般，从具体到抽象的归纳过程。

在性质和公式的教学中，要重视上述归纳过程的教学，使学生在这个过程中理解和掌握性质与公式。

另外，教科书在得到某些运算法则的过程中，在逻辑上看也并不具备严密性，在教学中则应该考虑学生思维能力发展的年龄特点，把握好逻辑的适度严密性。

教学模式

为了调动学生的积极性，充分体现课堂教学的主体性，我采用我们学校提出的“六环节自主课堂”进行教学，以学生为主体，教师为主导。

引导学生运用观察、分析、概括和交流的方法学习这部分内容。

实践证明，这样的课堂更能体现学生的主体性，也更符合课程标准的理念。

（一）创设引课：

教师通过设疑、猜想或情景引入问题。

揭示课题，使学生明白要探究的内容。

（二）自主探究：

学生在“导学提纲”的引领下，循序渐进地进行自主学习或探究。

教师指导并组织学生进行活动。

（三）学生交流：

学生分组或全班交流自己的学习探究所得，有理有据地回答提纲提出的探究内容，谈出自己的学习困惑所在。

教师理顺并帮肋学生进行交流。

（四）教师解惑：

教师根据学生交流情况重点讲解学生的疑难问题，消除学生的思维障碍，纠正学生存在的问题。

（五）组织小结：

教师引导学生总结所学内容，板书知识结构。

（六）课堂练习：

通过练习巩固知识，深化思维。

2．重视发挥学生的主观能动性

充分信任学生，努力发挥他们的主观能动性，让他们通过观察、思考、探究、讨论、归纳，主动地进行学习。

勤于思考，善于思考，是学好数学的先决条件。

3．抓住教学重点和关键，突破教学难点

①本章的教学重点之一是整式的乘除，包括乘法公式。

②在整式的乘除中，单项式的乘除是关键。

③乘法公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生不易掌握，运用时容易混淆，因此乘法公式的灵活运用是本部分的难点。

在教学中要引导学生分析公式的结构特征，并在练习中与所运用公式的结构特征联系起来，对所发生的错误多做具体分析，以加深学生对公式结构特征的理解。

④添括号时，括号内符号的确定是本部分的一个难点。

添上括号后括号内的多项式与括号前面的符号看成统一体。

遇到括号前是“—”号时，学生容易漏掉括号内一部分项的变号。

添括号和去括号是互逆的过程，可以相互检验。

⑤因式分解一直是初中数学教学的一个难点，原因在于分解因式的方法很多，变化技巧较高，且没有一种一般有效的方法。

教学中要注意把握教学要求，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。

在本章中，提公因式法和公式法分解因式，教学中则应让学生牢固地掌握。

4．选学内容---有关知识的拓展与延伸

开阔学生视野，拓展学生知识面。

（1）“阅读与思考”

（杨辉三角）---增强数学修养培养爱国情怀

（2）“观察与猜想”

（十字相乘法）-有利于理解必修内容（小组合作探究完成）

5、熟练并灵活掌握本章的法则和公式的措施

①随着循序渐进的教学，在比较中加强理解。

②数形结合，有助于法则和公式的理解。

③重视法则和公式的逆应用和扩展应用。

④充分利用转化的思想方法。

⑤要有整体观察和思考的意识。

6.本章每小节应注意的问题

第一小节

易错点：

单项式乘以多项式时：

⑴符号错误；⑵漏项或漏乘；⑶相乘后，不合并同类项，即运算不彻底。

易混点：

将幂的运算法则记混，将指数相加，指数相乘与整式加减法混淆。

易漏点：

多项式乘以单项式时出现漏乘现象的错误。

第二小节

易错点：

弄错“2倍之积项”的符号，尤其当两数都是负数时已出现符号错误。

易漏点：

⑴在写平方差时，容易只把字母平方，漏掉系数平方；

⑵在写完全平方式时，易漏掉“2倍之积项”，漏掉乘积中的因数“2”，

第三小节

⑴对

=1（a≠0）的运用过程中，漏掉对a≠0的讨论

⑵单项式除以单项式时，漏掉符号；

⑶多项式除以单项式时，漏项。

第四小节

⑴分解因式不彻底，半途而废；

⑵提公因式时，易出现符号错误；

⑶分解因式过程中出现“走回头路”现象。

7.技巧点拨

技巧平台1：

{1}运用同底数幂的乘法运算性质时要注意以下三点：

一是要明确只有同底数幂相乘时，才能使用这一运算性质；2是相乘时底数没有发生变化，只有指数发生变化；三是指数的和作为结果中幂的指数。

{2}幂的混合运算应注意三点：

一是要牢记幂的运算性质，相关知识不要混淆；二是要注意运算顺序,，即先乘方，再乘除，最后加减；三是符号不要出错

技巧平台2：

平方差公式：

两个2项式相乘，并且这两个2项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，其结果是这两项的平方差。

完全平方公式：

完全相同的两个2项式相乘，写成幂的形式，其结果为三项，可用口诀记忆：

前平方来，后平方，乘积2倍在中央。

（1）在应用平方差公式和完全平方公式时要注意两个公式中条件的特点，平方差公式是：

两个2项式相乘，并且这两个2项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，其结果是这两项的平方差；完全平方公式是：

完全相同的两个2项式相乘，写成幂的形式，其结果为三项式.

（2）再添加括号时要注意括号前是负号的情况，此时括到括号里的各项一定要变号。

技巧平台3：

掌握好同底数幂的除法与单项式除以单项式的法则，学会用乘法进行验证计算结果的正确性。

运用单项式除以单项式的法则运算分三步；一是把系数相除，所得的结果作为商的系数；二是把同底数幂相除，所得的结果作为商的因式；三是把只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式

多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式来运算即可。

进行混合运算时，要明确运算顺序。

即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号，先算括号里面的，对于同级运算，要按照从左到右的顺序进行。

技巧平台4：

学习本节知识，要对比整式乘法运算进行，掌握两者之间的区别与联系，才能更好地掌握因式分解的实质，在学习本节时，要运用比较，类比的学习方法记忆，理解因式分解，要多加练习以达到熟练掌握知识的目的。

因式分解的步骤：

一提（提公因式），二套（套公式，主要是平方差公式和完全平方公式），即先看有没有公因式可提，有公因式就先提公因式，然后再套用公式来分解因式。

另外，分解因式一定要彻底。

8.中考命题方向

（1）.本节知识比较单一，在中考中常以选择题或填空题的形式出现，考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的运算法则的应用及逆运用法则化简求值，题目通常较为简单，属于基础题型。

（2）.平方差公式是中考命题中比较重要的考点之一，单独命题的题型多为选择题，填空题和简单的计算题，这一知识点也常融入其他知识综合命题；完全平方公式在中考时占有很重要的地位，它在数的运算，代数式的化简，方程，函数等方面都有及其广泛的应用。

（3）.整式除法即同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式在中考中出现的频率较高，题型多见选择题和填空题，有时也会出现化简求值题，因此运算必须熟练。

（4）.本节在中考中主要考察因式分解的概念及利用提公因式法，公式法分解因式，是中考命题中的必考内容之一。

单独命题时题型以选择题，解答题为主。

有时以填空题的形式出现，难度一般不大，只要抓住公式的特点，一般不会失分。

〈二〉评价建议

1．注意把握教学要求

　　根据课程标准，本章要求学生会进行简单的整式乘法（其中的多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）运算和除法运算。

会推导平方差公式和完全平方公式，并了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算。

会用提公因式法和公式法进行因式分解（指数是正整数）；

2、让学生经历数学知识的形成过程：

在完全平方公式的证明过程中，可以从数、形两个方面加以推到说明。

这样既加深学生对公式的理解，又可让学生体会成功的愉悦；3、注重分析思路，让学生学会思考问题；4、关注学生的学习兴趣和参与程度。

〈三〉课程资源开发建议

1.教材资源：

a.教材的充分利用。

我们可以对教材的思考、探究、归纳等栏目，数学活动，选学栏目进行改编和深挖掘（例如：

课程标准中专门把课本173页数学活动1作为例28和例50进行说明，可以让学生感悟有些问题是可以通过一般性的证明来验证自己所发现的规律，感悟数学的严谨性，增加学习数学的兴趣）；让学生一题多变，一题多问，一题多解的变式练习，这样就可以起到事半功倍的效果。

b.教学光盘。

c.不同版本教材相互整合。

2.课外资源：

a.报刊、杂志。

b.纠错本。

c.整理数学课堂笔记。

d.班班通（直观方便）。

e.数学课外活动兴趣小组。

f.各类教具。

最后，我认为作为一名教师，不但要学习教育教学理论，还是要加强深入学习和研究，另外，还要老老实实研究教材，研究教法，研究学法，在课程改革中，我们只有不断领悟课程改革的实质，理解实验教材的特点，研究好教材，才有可能搞好教学工作。

各位领导、各位老师，不足之处，敬请批评指正！

谢谢！