讲义整式的乘除与因式分解.docx

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讲义整式的乘除与因式分解

2012年中考数学一轮复习讲义

15整式的乘际与因式分解

小结1概述

主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解．这些内容建立在已经学过的有理数运算，列简单代数式、－元－次方程与不等式，整式的加减的基础上，是以后学习根式和分式的运算等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科不可缺少的数学工具，它在整个数学知识体系中起着承前启后的作用．在初中数学中占有重要地位，是中考必考内容．

小结2学习重难点

【重点】幂的运算法则，整式乘除法则，乘法公式以及因式分解的概念及方法．

【难点】灵活运用公式进行乘法运算以及进行因式分解，添括号时括号中符号的处理．

小结3学法指导

1．注意前后知识之间的联系，注意类比思想方法在本节学习中的应用．

2．重视运算性质和公式的发生和归纳过程．

3．适时利用转化思想，注意数学知识之间的内在联系．

4．充分发挥主观能动性，提高创新精神和自学意识．

知识网络结构图

专题总结及应用

专题1幂的运算法则及其逆运用

【专题解读】同底数幂的乘法、除法、积的乘方、幂的乘方，它们都是整式运算的基础，作用非常大，在整个代数运算中起着奠基作用，幂的运算法则及其逆运用以及零指数幂都是中考必考内容．

　例1计算2x3·（－3x）２＝．

分析本题是积的乘方与单项式乘法的综合运算，紧扣运算法则，即可求出．2x3·（－3x）2＝2x3·9x2＝18x5．故填18x5．

例2计算[a4（a4－4a）－（－3a5）2÷（a2）3]÷（－2a2）2．

分析本题综合考查幂的四种运算法则，以及单项式乘以多项式、多项式除以单项式的法则．

解：

[a4（a4－4a）－（－3a5）2÷（a2）3]÷（－2a2）2

＝（a8－4a5－9a10÷a6）÷4a4

＝（a8－4a5－9a4）÷4a4

＝

a4－a－

．

专题2　整式的混合运算

【专题解读】幂的运算与整式的加减乘除混合运算是本章的核心内容，也是整个代数计算的重点．在进行混合运算时要注意：

（1）确定运算顺序，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的或去括号；

（2）计算要仔细认真，步步有依据，特别是要注意符号．

例3计算[（a－2b）（2a－b）－（2a＋b）2＋（a＋b）（a－b）－（3a）2]÷（－2a）．

分析本题考查整式的混合运算．

解：

原式＝（2a2－ab－4ab＋2b2－4a2－4ab－b2＋a2－b2－9a2）÷（－2a）

＝（－10a2－9ab）÷（－2a）

＝5a＋

b．

【解题策略】本题综合考查了多项式乘以多项式、乘法公式、积的乘方、多项式除以单项式以及合并同类项，在计算的过程中，要注意符号问题及运算法则的应用．

专题3因式分解

【专题解读】因式分解是整式乘法的逆运算，有两种基本方法：

提公因式法和公式法．一般步骤是先提公因式，再用公式，最后检查是否分解彻底．

　例4　分解因式．

（1）m3－m；

（2）（x＋2）（x＋3）＋x2－4．

分析

（1）是二项式，提取公因式m后，可以用平方差公式继续分解．

（2）中把x2－4先分解，然后再与（x＋2）（x＋3）一起提取公因式．

解：

（1）m3－m＝m（m2－1）＝m（m＋1）（m－1）．

（2）（x＋2）（x＋3）＋x2－4＝（x＋2）（x＋3）＋（x＋2）（x－2）＝（x＋2）[（x＋3）＋（x－2）］

＝（x＋2）（2x＋1）．

【解题策略】因式分解是十分灵活的题目，选用什么方法要结合题目特点，灵活选用．

二、思想方法专题

专题4转化思想

【专题解读】转化思想是数学中的重要思想．利用这一思想，可以将复杂化为简单，将未知化为已知．整式的乘除法法则中多次用到转化思想．

例5分解因式a2－2ab＋b2－c2．

分析本题表面上无法直接用提取公因式法或公式法分解．如果添加括号，将代数式进行恒等变形，就可以转化为能用公式法分解的多项式．

解：

a2－2ab＋b2－c2＝（a2－2ab＋b2）－c2

　　＝（a－b）2－c2

　　＝（a－b＋c）（a－b－c）．

专题5整体思想

【专题解读】整体思想是数学中常用的数学思想方法，利用此思想方法可以不求出每个字母的值而求出代数式的值，达到简化计算的目的，事半功倍．

例6

（1）已知x＋y＝7，xy＝12，求（x－y）2；

（2）已知a＋b＝8，a－b＝2，求ab的值．

分析此题可充分利用公式的变形，并采取整体代入的方法求值．

解：

（1）∵x＋y＝7，∴x2＋2xy＋y2＝49．

∴x2＋y2＝49－2xy＝49－2×12＝25，

　　（x－y）2＝x2－2xy＋y2＝（x2＋y2）－2xy＝25－2×12＝1．

（2）∵a＋b＝8，∴a2＋2ab＋b2＝64．①

∵a－b＝2，∴a2－2ab＋b2＝4．②

①－②，得4ab＝60，∴ab＝15．

【解题策略】

（1）中把x2＋y2以及xy当成了整体．

（2）中把ab看做是一个整体．用整体代入法的前提是将已知的代数式和所求的代数式进行恒等变形，将其中的某些代数式化成数字，达到化简、求值的目的．

2011中考真题精选

1.（2011江苏连云港，3，3分）计算（x+2）2的结果为x2+□x+4,则“□”中的数为（）

A．－2B．2C．－4D．4

考点：

完全平方式。

分析：

由（x+2）2=x2+4x+4与计算（x+2）2的结果为x2+□x+4，根据多项式相等的知识，即可求得答案．

解答：

解：

∵（x+2）2=x2+4x+4，∴“□”中的数为4．

故选D．

点评：

此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是熟记公式，注意解题要细心．

2.（2011•泰州，2，3分）计算2a2•a3的结果是（　　）

A、2a5B、2a6C、4a5D、4a6

考点：

单项式乘单项式。

专题：

计算题。

分析：

本题需根据单项式乘以单项式的法则进行计算，即可求出答案．

解答：

解：

2a2•a3=2a5

故选A．

点评：

本题主要考查了单项式乘以单项式，在解题时要注意单项式的乘法法则的灵活应用是本题的关键．

3.（2011内蒙古呼和浩特，2，3）计算2x2•（-3x3）的结果是（　　）

A、-6x5B、6x5C、-2x6D、2x6

考点：

同底数幂的乘法；单项式乘单项式．

分析：

根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．

解答：

解：

2x2•（-3x3）=2×（-3）•（x2•x3）=-6x5．故选A．

点评：

本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质．

4.（2011山东日照，2，3分）下列等式一定成立的是（　　）

A．a2+a3=a5B．（a+b）2=a2+b2

C．（2ab2）3=6a3b6D．（x﹣a）（x﹣b）=x2﹣（a+b）x+ab

考点：

多项式乘多项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式。

专题：

综合题。

分析：

根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方法则，多项式乘以多项式的法则解答．

解答：

解：

A、不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；

C、（2ab2）3=8a3b6，故本选项错误；

D、（x﹣a）（x﹣b）=x2﹣（a+b）x+ab，故本选项正确．

故选D．

点评：

本题综合考查合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方法则，多项式乘以多项式的法则，是基础题型，需要熟练掌握．

5.（2011山西，3，2分）下列运算正确的是（）

A．

B．

C．

D．

考点：

正整数指数幂的运算

专题：

整式的运算

分析：

A正确．根据是

；B不正确，合并同类项，只把它们的系数相加，字母和字母的指数不变，应为

；C不正确．根据同底数幂相除，底数不变指数相减应为

；D不正确．根据同底数幂相乘，底数不变指数相加应为

．

解答：

A

点评：

理解并掌握正整数指数幂的运算法则．正整数幂的这几种运算极易混淆，对比其异同点是解决此类问题的极好方法．

6.（2011四川广安，2，3分）下列运算正确的是（）

A．

B．

C．

D．

考点：

代数式的运算与化简

专题：

整式

分析：

选项A考查的是去括号法则，

，故A错误；选项B考查的是二次根式的减法运算，

，故B错误；选项C考查的是绝对值的化简，由于

，所以

，故C正确；选项D考查的是完全平方公式，

，故D错误．

解答：

C

点评：

此类问题需要逐一分析判断，用排除法解决．

（1）去括号时，若括号前面是负号，把括号去掉后，括号内的各项都要改变符号；

（2）二次根式的加减实际上是合并同类二次根式，不是同类二次根式的两个二次根式不能合并；（3）绝对值（

）与

的化简是中考的常考内容，在解答时要注意

的符号，有

（4）乘法公式在进行代数式的有关运算中经常用到，要记住常用的乘法公式：

①（平方差公式）

；②（完全平方公式）

．

7.（2011•台湾22，4分）计算多项式2x3﹣6x2+3x+5除以（x﹣2）2后，得余式为何（　　）

A、1B、3C、x﹣1D、3x﹣3

考点：

整式的除法。

专题：

计算题。

分析：

此题只需令2x3﹣6x2+3x+5除以（x﹣2）2后，根据能否整除判断所得结果的商式和余式．

解答：

解：

由于（2x3﹣6x2+3x+5）÷（x﹣2）2=（2x+2）…（3x﹣3）；

因此得余式为3x﹣3．

则2x3﹣6x2+3x+5﹣（3x﹣3）=2（x+1）（x﹣2）2．

故选D．

点评：

本题主要考查了多项式除以单项式的法则，弄清被除式、除式、商、余式四者之间的关系是解题的关键．

8.（2011台湾，5，4分）计算x2（3x＋8）除以x3后，得商式和余式分别为何（　　）

A．商式为3，余式为8x2B．商式为3，余式为8

C．商式为3x＋8，余式为8x2D．商式为3x＋8，余式为0

考点：

整式的除法。

专题：

计算题。

分析：

此题只需令x2（3x＋8）除以x3，根据能否整除判断所得结果的商式和余式．

解答：

解：

由于x2（3x＋8）除以x3，得结果为3x＋8，即能够整除；

因此得为3x＋8，余式为0；

故选D．

点评：

本题主要考查了多项式除以单项式的法则，弄清被除式．除式．商．余式四者之间的关系是解题的关键．

9.（2011台湾，7，4分）化简

，可得下列哪一个结果（　　）

A．－16x－10B．－16x－4

C．56x－40D．14x－10

考点：

整式的加减。

专题：

计算题。

分析：

先去括号，然后合并同类项即可得出答案．

解答：

解：

原式＝－x＋2－12＋15x＝14x－10．

故选D．

点评：

本题考查整式的加减，属于基础题，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．

10.（2011天津，10，3分）若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（　　）

A、x+y+z=0B、x+y﹣2z=0C、y+z﹣2x=0D、z+x﹣2y=0

考点：

完全平方公式。

专题：

计算题。

分析：

首先将原式变形，可得x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=0，则可得（x+z﹣2y）2=0，则问题得解．

解答：

解：

∵（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，

∴x2+z2﹣2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，

∴x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=0，

∴（x+z﹣2y）2=0，

∴z+x﹣2y=0．

故选D．

点评：

此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是掌握：

x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=（x+z﹣2y）2．

11.（2011重庆市，2，4分）计算3a

2a的结果是

A．6aB．6a2C.5aD.5a

考点：

单项式乘单项式．

分析：

根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．

答案：

解：

3a•2a=3×2a•a=6a2．

故选B．

点评：

本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．

12.（2011湖北咸宁，2，3分）计算（﹣4x3）÷2x的结果正确的是（　　）

A、﹣2x2B、2x2C、﹣2x3D、﹣8x4

考点：

整式的除法。

专题：

计算题。

分析：

根据整式的除法法则计算即可．

解答：

解：

原式=﹣2x2．

故选A．

点评：

本题考查了整式的除法法则，单项式除以单项式分为三个步骤：

①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．

13.（2011湖北荆州，11，3分）已知A=2x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B÷A，结果得x2+12x，则B+A=2x3+x2+2x．

考点：

整式的混合运算．

专题：

计算题．

分析：

根据乘除法的互逆性首先求出B，然后再计算B+A．

解答：

解：

∵B÷A=x2+12x，

∴B=（x2+12x）•2x=2x3+x2．

∴B+A=2x3+x2+2x，

故答案为：

2x3+x2+2x，

点评：

此题主要考查了整式的乘法，以及整式的加法，题目比较基础，基本计算是考试的重点．

14.（2011，台湾省，13,5分）若多项式2x3﹣10x2+20x除以ax+b，得商式为x2+10，余式为100，则

之值为何？

（　　）

A、0B、﹣5C、﹣10D、﹣15

考点：

整式的除法。

专题：

计算题。

分析：

根据被除式=除式×商式+余式计算即可．

解答：

解：

由题意可知，可整除2x3﹣10x2+20x÷（ax+b）=x2+10+100，

整理得：

2x3﹣10x2+20x=ax3+110ax+bx2+110b，

∴a=2，b=﹣10，∴

=

=﹣5，

故选B．

点评：

本题考查了整式的除法，用到的知识点：

被除式=除式×商式+余式．

15.（2011•临沂，2，3分）下列运算中正确的是（　　）

A、（﹣ab）2=2a2b2B、（a+b）2=a2+1C、a6÷a2=a3D、2a3+a3=3a3

考点：

同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。

分析：

积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式：

两数和的平方等于它们的平方和加上它们积的2倍；同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；根据法则一个个筛选．

解答：

解：

A、（﹣ab）2=（﹣1）2a2b2=a2b2，故此选项错误；

B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；

C、a6÷a2=a6﹣2=a4，故此选项错误；

D、2a3+a3=（2+1）a3=3a3，故此选项正确．

选D．

点评：

此题主要考查了积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项的计算，一定要记准法则才能做题．

16.（2011泰安，2，3分）下列运算正确的是（　　）

A．3a2＋4a2＝7a4B．3a2－4a2＝－a2C．3a×4a2＝12a2D．

考点：

整式的除法；合并同类项；单项式乘单项式。

专题：

计算题。

分析：

根据单项式除单项式的法则．合并同类项以及整式的除法法则计算即可．

解答：

解：

A．3a2＋4a2＝7a2，故本选项错误；

B．3a2－4a2＝－a2，故本选项正确；

C．3a×4a2＝12a3，故本选项错误；

D．（3a2）2÷4a2＝

a2，故本选项错误；

故选B．

点评：

本题主要考查多项式除以单项式运算．合并同类项以及整式的除法法则，牢记法则是关键．

17.（2011四川眉山，2，3分）下列运箅正确的是（　　）

A．2a2﹣a=aB．（a+2）2=a2+4

C．（a2）3=a6D．

考点：

完全平方公式；算术平方根；合并同类项；幂的乘方与积的乘方。

专题：

计算题。

分析：

根据整式加减法则，完全平方公式，幂的乘方法则，二次根式的性质，逐一检验．

解答：

解：

A、2a2与﹣a表示同类项，不能合并，本选项错误；

B、∵（a+2）2=a2+4a+4，本选项错误；

C、（a2）3=a2×3=a6，本选项正确；

D、

，本选项错误．

故选C．

点评：

本题考查了整式加减法则，完全平方公式，幂的乘方法则，二次根式的性质的运用．关键是熟悉各种运算法则．

18.（2011•南充，1，3分）计算a+（﹣a）的结果是（　　）

A、2aB、0C、﹣a2D、﹣2a

考点：

整式的加减。

分析：

本题需先把括号去掉，再合并同类项，即可得出正确答案．

解答：

解：

a+（﹣a），

=a﹣a，

=0．

故选B．

点评：

本题主要考查了整式的加减，在解题时要注意去括号，再合并同类项是解题的关键．

19.（2011•南充，11，3分）计算（π﹣3）0=．

考点：

零指数幂。

专题：

计算题。

分析：

根据零指数幂的性质即可得出答案．

解答：

解：

（π﹣3）0=1，

故答案为1．

点评：

本题主要考查了零指数幂的性质，比较简单．

20.（2011四川攀枝花，3，3分）下列运算中，正确的是（　　）

A、

+

=

B、a2•a=a3C、（a3）3=a6D、

=－3

考点：

二次根式的加减法；立方根；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。

分析：

此题涉及到二次根式的加减，同底数幂的乘法法则：

底数不变，指数相加，幂的乘方：

底数不变，指数相乘；根式的化简，4个知识点，根据各知识点进行计算，可得到答案．

解答：

解：

A、

和

不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；B、a2•a=a2+1=a3，故此选项正确；C、（a3）3=a3×3=a9，故此选项错误；D、

=3，故此选项错误．故选：

B．

点评：

此题主要考查了二次根式的加减，同底数幂的乘法，幂的乘方，根式的化简，关键是同学们要正确把握各知识点的运用．

1.（2011泰安，5，3分）下列等式不成立的是（　　）

A．m2－16＝（m－4）（m＋4）B．m2＋4m＝m（m＋4）

C．m2－8m＋16＝（m－4）2D．m2＋3m＋9＝（m＋3）2

考点：

提公因式法与公式法的综合运用。

专题：

因式分解。

分析：

由平方差公式，提公因式以及完全平方公式分解因式的知识求解即可求得答案．

解答：

解：

A．m2－16＝（m－4）（m＋4），故本选项正确；

B．m2＋4m＝m（m＋4），故本选项正确；

C．m2－8m＋16＝（m－4）2，故本选项正确；

D．m2＋3m＋9≠（m＋3）2，故本选项错误．

故选D．

点评：

此题考查了因式分解的知识．注意因式分解的步骤：

先提公因式，再用公式法分解，注意分解要彻底．

2.（2011•丹东，4，3分）将多项式x3﹣xy2分解因式，结果正确的是（　　）

A、x（x2﹣y2）B、x（x﹣y）2

C、x（x+y）2D、x（x+y）（x﹣y）

考点：

提公因式法与公式法的综合运用。

分析：

先提取公因式x，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：

a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）．

解答：

解：

x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x+y）（x﹣y），

故选：

D．

点评：

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．

3.（2011福建龙岩，10，4分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：

3★5=33﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（　　）

A.﹣4或﹣1B.4或﹣1

C.4或﹣2D.﹣4或2

考点：

解一元二次方程-因式分解法.

分析：

根据新定义a★b=a2﹣3a+b，将方程x★2=6转化为一元二次方程求解．

解答：

解：

依题意，原方程化为x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，

分解因式，得（x+1）（x﹣4）=0，

解得x1=﹣1，x2=4．

故选B．

点评：

本题考查了因式分解法解一元二次方程．根据新定义，将方程化为一般式，将方程左边因式分解，得出两个一次方程求解．

4.（2011天水，4，4）多项式2a2﹣4ab+2b2分解因式的结果正确的是（　　）

A、2（a2﹣2ab+b2）B、2a（a﹣2b）+2b2

C、2（a﹣b）2D、（2a﹣2b）2

考点：

提公因式法与公式法的综合运用。

分析：

先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：

a2±2ab+b2=（a±b）2．

解答：

解：

2a2﹣4ab+2b2=2（a2﹣2ab+b2）=2（a﹣b）2．

故选C．

点评：

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

5.（2011江苏无锡，3，3分）分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是（　　）

A．2x（x﹣2）B．2（x2﹣2x+1）C．2（x﹣1）2D．（2x﹣2）2

考点：

提公因式法与公式法的综合运用。

专题：

因式分解。

分析：

先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2．

解答：

解：

2x2﹣4x+2

=2（x2﹣2x+1）﹣﹣（提取公因式）

=2（x﹣1）2．﹣﹣（完全平方公式）

故选C．

点评：

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

6.（2011•台湾5，4分）下列四个多项式，哪一个是2x2+5x﹣3的因式（　　）

A、2x﹣1B、2x﹣3C、x﹣1D、x﹣3

考点：

因式分解的应用。

专题：

计算题。

分析：

利用十字相乘法将2x2+5x﹣3分解为（2x﹣1）（x+3），即可得出符合要求的答案．

解答：

解：

∵2x2+5x﹣3

=（2x﹣1）（x+3），

2x﹣1与x+3是多项式的因式，

故选：

A．

点评：

此题主要考查了因式分解的应用，正确的将多项式因式分解是解决问题的关键．

7.（2011台湾，24，4分）下列四个多项式，哪一个是33x＋7的倍式（　　）

A．33x2－49B．332x2＋49

C．33x2＋7xD．33x2＋14x

考点：

因式分解的应用。

专题：

因式分解。

分析：

A．利用提取公因式法或平方差公式判定即可；

B．C．D．利用提取公因式法判定即可；

解答：

解：

A．33x2－49不能利用提起过因式法或平方差公式分解因式，故选项错误；

B．332x2＋49不能利用提取公因式法分解因式，故选项错误；

C．33x2＋7x＝x（33x＋7），故选项正确；

D．33x2＋14x不能利用提取公因式法分解因式，故选项错误．

故选C．

点评：

本题考查因式分解的运用，有公因式时，要先考虑提取公因式；然后考虑公式法或其他方法．

8.（2011台湾，28，4分）某直角柱的两底面为全等的梯形，其四个侧面的面积依序为20平方公分．36平方公分．20平方公分．60平方公分，且此直角柱的高为4公分．求此直角柱的体积为多少立方公分（　　）

A．136B．192C．240D．544

考点：

因式分解的应用。

专题：

应用题。

分析：

由题意可知直角柱的四个侧面都是矩形，再有条件四个侧面的面积依序为20平方公分．36平方公分．20平方公分．60平方公分，直角柱的高为4公分，可求出梯形的上底和下底，再求出梯形的高进而求出梯形的面积，再