6.①②③
解析 |a|-|b|≤|a-b|<1,∴|a|<|b|+1;
|a+b|-2|a|=|a+b|-|2a|≤|a+b-2a|
=|b-a|=|a-b|;
∵|y|>3,∴
<
,∴
<
,即|
|<
.
故①、②、③都正确.
7.{x|x≥1}
解析 原不等式可化为:
或
或
∴x∈∅或1≤x<2或x≥2.∴不等式的解集为{x|x≥1}.
8.(-∞,0)∪{2}
解析 由|x+1|+|x-3|的几何意义知,
|x+1|+|x-3|∈[4,+∞),∴a+
≤4.
当a>0时,a+
≥4,当且仅当a=2时,取等号,
当a<0,显然符合题意.
9.解 方法一
(1)由f(x)≤3
得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3.(3分)
又已知不等式f(x)≤3的解集为
{x|-1≤x≤5},
所以
解得a=2.(6分)
(2)当a=2时,f(x)=|x-2|,设g(x)=f(x)+f(x+5),
于是g(x)=|x-2|+|x+3|
=
(8分)
所以当x<-3时,g(x)>5;
当-3≤x≤2时,g(x)=5;
当x>2时,g(x)>5.
综上可得,g(x)的最小值为5.(10分)
从而若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)min≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-∞,5].(12分)
方法二
(1)同方法一.(6分)
(2)当a=2时,f(x)=|x-2|.
设g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|.
由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2时等号成立)得,
g(x)的最小值为5.(10分)
从而,若f(x)+f(x+5)≥m,
即g(x)min≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-∞,5].(12分)
10.解
(1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|.
由f(x)≥3得|x-1|+|x+1|≥3.
①当x≤-1时,不等式化为1-x-1-x≥3,即-2x≥3.
不等式组
的解集为
.(2分)
②当-1的解集为∅.(4分)
③当x>1时,不等式化为x-1+x+1≥3,即2x≥3.
不等式组
的解集为
.
综上得,f(x)≥3的解集为
∪
.(6分)
(2)若a=1,f(x)=2|x-1|,不满足题设条件.
若a<1,f(x)=
(8分)
f(x)的最小值为1-a.(9分)
若a>1,f(x)=
(11分)
f(x)的最小值为a-1.
所以∀x∈R.f(x)≥2的充要条件是|a-1|≥2,从而a的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).(12分)
11.解 由题知,|x-1|+|x-2|≤
恒成立.
故|x-1|+|x-2|不大于
的最小值.
(2分)
∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,当且仅当(a+b)(a-b)≥0时取等号,
∴
的最小值等于2.(6分)
∴x的取值范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解.
解不等式得
≤x≤
.(14分)