中考数学分式方程专题训练题.docx

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中考数学分式方程专题训练题

备战2021中考数学考点专题训练——专题二十四：

分式方程

1．某超市预测某饮料会畅销、先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．

（1）第一批饮料进货单价多少元？

（2）若两次进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？

2．某工厂计划生产480个零件．当生产任务完成一半时，停止生产进行反思和改进，用时20分钟．恢复生产后工作效率比原来可以提高20%，要求比原计划提前40分钟完成任务，那么反思改进后每小时需要生产多少个零件？

3．某班级准备购买一些奖品来奖励春季运动会表现突出的同学，奖品分为甲、乙两种，已知购买一个甲奖品要比购买一个乙奖品多用20元，若用400元购买甲奖品的个数是用160元购买乙奖品个数的一半．

（1）求购奖一个甲奖品和一个乙奖品各需多少元？

（2）经商谈，商店决定给予该班级每购买甲奖品3个就赠送一个乙奖品的优惠，如果该班级需要乙奖品的个数是甲奖品个数的2倍还多8个，且该班级购买两种奖项奖品的总费用不超过640元，那么该班级最多可购买多少个甲奖品？

4．某校组织360名师生去参观三峡工程建设，如果租用甲种客车若干辆刚好坐满；如果租用乙种客车可少租1辆，且余40个空座位．

（1）已知甲种客车比乙种客车少20个座位，求甲、乙两种客车各有多少个座位；

（2）已知甲种客车租金是每辆400元，乙种客车租金是每辆480元，这次参观同时租用这两种客车，其中甲种客车比乙种客车少租1辆，所用租金比单独租用任何一种客车要节省，按这种方案需用租金多少元？

5．某校学生××生病住院，须缴医药费1440元．该班团支书知道他家生活困难，无力支付，于是发动本支部全体团员一起捐款，本班25名非团员得此消息后也加入了捐款行列，因而使每位团员的捐款数比原先预计的少30元（假定每人捐款数都相等），捐款总数除付清1440元医药费外，还购得每包15元的奶粉2包．试问原来参加捐款的团员有多少人？

6．节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．

（1）求：

汽车行驶中每千米用电费用是多少元？

甲、乙两地的距离是多少千米？

（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？

7．某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：

甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．

（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？

（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：

方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．

方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．

设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．

①求乙车间需临时招聘的工人数；

②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：

从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？

请说明理由．

8．某企业有九个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员．他们先用两天将第一、二两个车间的成品检验完毕后，再去检验第三、四两个车间所有成品，又用去了三天时间；同时，用这五天时间，B组检验员也检验完余下的五个车间的成品，如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．

（1）用a、b表示B组检验员检验的成品总数；

（2）求B组检验员的人数．

9．如图，某县为加固长90米，高5米，坝顶宽为4米，迎水坡和背水坡的坡度都是1：

1的横断面是梯形的防洪大坝．要将大坝加高1米，背水坡坡度改为1：

1.5．已知坝顶宽不变．

（1）求大坝横截面面积增加多少平方米？

（2）要在规定时间内完成此项工程．如果甲队单独做将拖延10天完成，乙队单独做将拖延6天完成．现在甲队单独工作2天后，乙队加入一起工作，结果提前4天完成．求原来规定多少天完成和每天完成的土方数？

10．某超市在苏州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用了80000元购进所有衬衫，还急需2倍这种衬衫，经人介绍又在上海用了176000元购进所需衬衫，只是单价比苏州贵4元，超市按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，问该超市这笔生意赢利多少元．

11．在防治“SARS”的战役中，为防止疫情扩散，某制药厂接到了生产240箱过氧乙酸消毒液的任务．在生产了60箱后，因为任务紧急，需要加快生产，每天比原来多生产15箱，结果6天就完成了任务，求加快速度后每天生产多少箱消毒液？

12．今春以来，在党和政府的领导下，我国进行了一场抗击“非典”的战斗．为了控制疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上级下达赶制19.2万只加浓抗病毒口罩的任务，为使抗毒口罩早日到达防疫第一线，开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完成任务．该厂原计划每天加工多少万只口罩？

13．周末某班组织登山活动，同学们分甲，乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发，设甲，乙两组行进同一路段所用的时间之比2：

3．

（1）直接写出甲、乙两组行进速度之比；

（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有1.2千米，试问山脚离山顶的路程有多远？

（3）在题

（2）所述内容（除最后的问句处）的基础上，设乙组从A处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇，请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答．

（要求：

①问题的提出不需再增添其它条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有书面条件．）

14．为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：

单位

清淤费用（元/m3）

淤泥处理费（元）

甲公司

5000

乙公司

（1）若剑江河首批需要清淤的淤泥面积大约为1.2万平方米，平均厚度约为0.4米，那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省，请说明理由（体积可按面积×高进行计算）

（2）若甲公司单独做了2天，乙公司单独做了3天，恰好完成全部清淤任务的一半；若甲公司先做2天，剩下的清淤工作由乙公司单独完成，则乙公司所用时间恰好比甲公司单独完成清淤任务所用时间多1天，则甲、乙两公司单独完成清淤任务各需多少时间？

15．为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：

乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．

（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？

（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．

16．为了迎接扬州烟花三月经贸旅游节，某学校计划由七年级

（1）班的3个小组（每个小组人数都相等）制作240面彩旗．后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务，这样这两个小组的每一名学生就要比原计划多做4面彩旗．如果每名学生制作彩旗的面数相等，那么每个小组有多少学生？

17．“五一”期间，我市某商场举行促销活动，活动期间规定：

商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：

消费金额p（元）的范围

200≤p＜400

400≤p＜500

500≤p＜700

700≤p＜900

…

获得奖券金额（元）

100

130

…

根据促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为450×0.8＝360（元），获得优惠额为：

450×0.2+30＝120（元）．设购买商品的优惠率＝

．

试问：

（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

（2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为

，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？

备战2021中考数学考点专题训练——专题二十四：

分式方程参考答案

（1）第一批饮料进货单价多少元？

（2）若两次进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？

【答案】解：

（1）设第一批饮料进货单价为x元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，

依题意，得：

＝3×

，

解得：

x＝4，

经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．

答：

第一批饮料进货单价是4元/瓶．

（2）由

（1）可知：

第一批购进该种饮料450瓶，第二批购进该种饮料1350瓶．

设销售单价为y

元/瓶，

依题意，得：

（450+1350）y﹣1800﹣8100≥2700，

解得：

y≥7．

答：

销售单价至少为7元/瓶．

【答案】解：

设改进后每小时需要生产x个零件，则原来每小时生产

＝

x个零件，

由题意得，1+

＝

解得，x＝48，

经检验：

x＝48是原方程的根，且符合题意．

答：

改进后每小时需要生产48个零件．

（1）求购奖一个甲奖品和一个乙奖品各需多少元？

【答案】解：

（1）设购买一个乙奖品需x元，则购买一个甲奖品品需（x+20）元，

根据题意得：

＝

，

解得：

x＝5，

经检验，x＝5是原分式方程的解，

∴x+20＝25．

答：

购买一个乙奖品需5元，购买一个甲奖品需25元．

（2）设该学校可购买a个甲奖品，则可购买（2a+8﹣

）个乙奖品，

根据题意得：

25a+5（2a+8﹣

）≤640，

解得：

a≤18．

答：

该学校最多可购买18个甲奖品．

4．某校组织360名师生去参观三峡工程建设，如果租用甲种客车若干辆刚好坐满；如果租用乙种客车可少租1辆，且余40个空座位．

（1）已知甲种客车比乙种客车少20个座位，求甲、乙两种客车各有多少个座位；

【答案】解：

（1）设甲种客车有x个座位，则乙种客车有（x+20）个座位，依题意，得

+1，

整理，得x2+60x﹣7200＝0，

解得x1＝60，x2＝﹣120（不合题意，舍去）

∴x＝60，

经检验x＝60是原分式方程的解，且符合题意，

则x+20＝80，

答：

甲种客车有60个座位，乙种客车有80个座位；

（2）设租用甲种客车y辆，则租用乙种客车（y+1）辆，

由于单独租用甲种客车需6辆，单独租用乙种客车需5辆，租金都是2400元，

依题意，得400y+480（y+1）＜2400

∴

，y的正整数值（车辆数）为1或2，

当y＝1时，y+1＝2，则60×1+80×2＝220＜360，不合题意；

当y＝2时，y+1＝3，由60×2+80×3＝360．此时租金为400×2+480×3＝2240元，

答：

按这种方案需用租金2240元．

【答案】解：

设原来参加捐款的团员有x人．

根据题意有：

＝

+30．

解得：

x＝24，x＝﹣50（不合题意舍去）．

经检验：

x＝24是原方程的解．

答：

原来参加捐款的团员有24人．

（1）求：

汽车行驶中每千米用电费用是多少元？

甲、乙两地的距离是多少千米？

（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？

【答案】解：

（1）设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为（x+0.5）元，

可得：

，

解得：

x＝0.3，

经检验x＝0.3是原方程的解，

∴汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是30÷0.3＝100千米；

（2）汽车行驶中每千米用油费用为0.3+0.5＝0.8元，

设汽车用电行驶ykm，

可得：

0.3y+0.8（100﹣y）≤50，

解得：

y≥60，

所以至少需要用电行驶60千米．

甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．

（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？

（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：

方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．

方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．

设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．

①求乙车间需临时招聘的工人数；

②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：

从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？

请说明理由．

【答案】解：

（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得：

，

解得

．

∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产．

（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：

＝

，

解得m＝5．

经检验，m＝5是原方程的解，且符合题意．

∴乙车间需临时招聘5名工人．

②企业完成生产任务所需的时间为：

＝18（天）．

∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500＝17700（元）．

选择方案二需增加的费用为5×18×200＝18000（元）．

∵17700＜18000，

∴选择方案一能更节省开支．

（1）用a、b表示B组检验员检验的成品总数；

（2）求B组检验员的人数．

【答案】解：

（1）5a+25b；

答：

B组检验员检验的成品总数为5a+25b；

（2）∵每个检验员的检验速度一样，

∴

，

解得a＝4b，即每个检验员速度为：

b，

B组检验员人数为：

＝12（人）．

答：

B组检验员的人数为12人．

9．如图，某县为加固长90米，高5米，坝顶宽为4米，迎水坡和背水坡的坡度都是1：

1的横断面是梯形的防洪大坝．要将大坝加高1米，背水坡坡度改为1：

1.5．已知坝顶宽不变．

（1）求大坝横截面面积增加多少平方米？

【答案】解：

（1）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，过F作FM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，

则四边形CDHG和四边形EFMN是矩形，

即CG＝DH＝5，FM＝EN＝5+1＝6，

∵梯形BCDQ的迎水坡和背水坡的坡度都是1：

1，

∴BG＝QH＝5，

同理AM＝6×1.5＝9，QN＝6，

∴AQ＝9+4+6＝19，BQ＝5+4+5＝14，

大坝横截面面积增加

×（4+19）×6﹣

×（4+14）×5＝24（m2）

（2）设原来规定x天完成，那么甲单独做需（x+10）天完成，乙单独做需（x+6）天完成．

根据题意，得：

方程两边都乘以（x+10）（x+6），整理得：

x2﹣10x﹣144＝0，解得：

x1＝18，x2＝﹣8，

经检验x1＝18，x2＝﹣8都是原方程的根．但天数不能为负，所以只取x＝18．

（24×90）÷18＝120（m3）

答：

原来规定18天完成，原计划每天完成120立方米土方．

【答案】解：

设从苏州购进x件衬衫．

根据题意，得：

﹣

＝4．

解得：

x＝2000．

经检验：

x＝2000是原方程的解．

（2000+4000﹣150）×58+150×58×0.8﹣（80000+176000）＝90260（元）．

答：

这笔生意赢利90260元．

【答案】解：

设加快速度后每天生产x箱，则原来每天生产（x﹣15）箱（1分）

根据题意，得

（4分）

去分母，整理，得x2﹣55x+450＝0（5分）

解这个方程，得x1＝45，x2＝10（7分）

经检验，x1＝45，x2＝10都是原方程的根，但x＝10时，10﹣15＝﹣5，负数不合题意，所以只取x＝45

答：

加快速度后每天生产45箱．（8分）

【答案】解：

设原计划每天加工x万只口罩，

根据题意，得

整理，得x2+0.4x﹣1.92＝0

解得x1＝1.2，x2＝﹣1.6

经检验可知x1，x2都是原方程的解，因x2＜0不合题意，应舍去．

答：

该厂原计划每天加工1.2万只口罩．

13．周末某班组织登山活动，同学们分甲，乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发，设甲，乙两组行进同一路段所用的时间之比2：

3．

（1）直接写出甲、乙两组行进速度之比；

（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有1.2千米，试问山脚离山顶的路程有多远？

（3）在题

（要求：

①问题的提出不需再增添其它条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有书面条件．）

【答案】解：

（1）当路程相等时，速度与时间成反比，所以甲、乙速度之比为3：

2．

（2）当时间一定相同时，路程与速度成正比；所以设山脚离山顶的路程为x千米．

根据题意，得：

＝

．

解得：

x＝3.6．

经检验：

x＝3.6是原方程的解．

答：

山脚离山顶的路程有3.6千米．

（3）所提问题为：

“B处离山顶最远为多少千米？

”

设B处离山顶的路程为s千米，则甲组所走的路程为s千米，乙组所走的路程为（1.2﹣s）千米．

根据题意，得：

＝

．

解得：

s＝0.72．

经检验：

s＝0.72是原方程的解，且符合题意．

14．为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：

单位

清淤费用（元/m3）

淤泥处理费（元）

甲公司

5000

乙公司

【答案】解：

（1）甲：

12000×0.4×18+5000＝91400（元）

乙：

12000×0.4×20＝96000（元）．

答：

甲清淤公司进行清淤费用较省

（2）设甲所用的时间为x天，乙所用的时间为y天，由题意列方程组得：

，

解得

，

经检验

是原方程组的解．

答：

甲用8天，乙用12天．

乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．

（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？

（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．

【答案】解：

（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天，总工作量为1，（1分）

根据题意得：

．（3分）

方程两边同乘以x（x+25），得30（x+25）+30x＝x（x+25），

即x2﹣35x﹣750＝0．

解之，得x1＝50，

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