《一元一次不等式组》第一课时教案 公开课.docx
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《一元一次不等式组》第一课时教案公开课
课题:
一元一次不等式组〔1〕
教学目标
1.了解一元一次不等式组的概念,理解一元一次不等式组的解集的意义,掌握求一元一次不等式组的解集的常规方法;
2.经历知识的拓展过程,感受学习一元一次不等式组的必要性;
3.逐步熟悉数形结合的思想方法,感受类比与化归的思想。
教学难点
一元一次不等式组解集的理解
知识重点
一元一次不等式组的解集和解法。
教学过程〔师生活动〕
设计理念
创设情境提出问题
小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸体重为72千克,体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端,这时爸爸的一端仍然着地。
后来,小宝借来一副质量为66千克的哑铃,加在他和妈妈坐的一端,结果爸爸被跷起离地.猜猜小宝的体重约是多少?
在这个问题中,如果设小宝的体重为x千克,
〔1〕从跷跷板的状况你可以概括出怎样的不等关系?
〔2〕你认为怎样求x的范围,可以尽可能地接近小宝的体重?
在讨论或议论中,列出不等式:
2x十x<72
2x十x+6>72
其中x同时满足以上两个不等式.
在议论的根底上,老师揭示:
一个量需要同时满足几个不等式的例子,在现实生活中还有很多.
用学生身边有趣的实例引入,一方面引起学生的参与欲,一方面也是知识拓展的需要.设计此情境的意图在于:
1、复习用一元一次不等式解应用题;2、感受同一个x可以有不同的不等式;3、x应该同时符合两个不等式的要求,为引出解集做铺垫.
类比探索引出新知
问题2(教科书第127页〕
用每分钟可抽30t的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水超过1200t而缺乏1500t,那么将污水抽完所用时间的范围是什么?
等式的性质1。
设用xmin将污水抽完,那么x同时满足不等式
30x>1200,
30x<1500.
这就是说,x要满足两个不等关系。
那么x究竟在什么范围呢?
类似于方程组,引出一元一次不等式组的概念和记法.〔教科书127页〕
类比方程组的解,引出一元一次不等式组的解集的概念.〔教科书128页〕
利用数轴,师生一起将问题1、问题2的解集求出来.
渗透类比思想。
初步感受求解集的方法。
解法探讨
出示教科书例1,解以下不等式组:
〔1〕
〔2〕
小组讨论:
根据不等式组的解集的意义,你觉得解决例1需要哪些步骤?
在这些步骤中,哪个是我们原有的知识,哪个是我们今天获得的新方法?
在讨论的根底上,师生一起归纳解一元一次不等式组的步骤:
(1)求出各个不等式的解集;
(2)找出各个不等式的解集的公共局部〔利用数轴〕.
师生一起完成例1.
对于例1,解不等式并非新内容.解题步骤的归纳和各解集公共局部的求取,才是新知识,却是学生自己可以领会的.通过此处的讨论探索,对于多于两个不等式组成的不等式组的解集的求取,期望学生能实现无师自通.先自主探究解题步骤,后具体解题,可以居高临下地看待一元一次不等式组的解法.
稳固练习
学生练习:
教科书第129页练习1
教师巡视、指导,师生共同评讲
进一步熟悉解题步骤,熟练地利用数轴正确地查找公共局部。
教师及时调控。
小结与作业
课堂小结
1、这节课你学到了什么?
有哪些感受?
2、教师归纳:
学习一元一次不等式组是数学知识拓展的需要,也是现实生活的需要;学习不等式组时,我们可以类比方程组、方程组的解来理解不等式组、不等式组的解集的概念;求不等式组的解集时,利用数轴很直观,也很快捷,这是一种数与形结合的思想方法,不仅现在有用,今后我们还会有更深的体验.
提纲挈领,梳理总结。
布置作业
1、必做题:
课本第130页习题9.3第1、2、3题
2、选做题:
(1)解不等式3≤2x-1≤5,你觉得该怎样思考这个问题,你有解决的方法吗?
(2)求出不等式组
的解集中的正整数。
分层次布置作业。
本课教育评注〔课堂设计理念,实际教学效果及改进设想〕
本节课的设计,以实际问题建立数学模型,通过数学问题引导学生找出问题解决的思
路.在这一过程主线下,辅以类比、探索、概括的学习方法,合理设计问题,安排讨论的最正确契机,及时揭示数学本质,引发数学思考,期望让学生在自主探索中学得自然、学得真切、学得主动、学得有效.本节课的重点内容是一元一次不等式组的正确求解,关键却是不等式组求解的步骤总结,这一总结让学生自己归纳比教师直接告之效果更好;创设实际问题情境引出一元一次不等式组的意义,让学生产生学习不等式组的需求,也对解不等式的方法有很自然的联想.看似费时,实是数学素养和数学思考的隐性提升.
1.8完全平方公式
(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何背景.
(二)能力训练要求
1.经历探索完全平方公式的过程,进一步开展符号感和推理能力.
2.重视学生对算理的理解,有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.
(三)情感与价值观要求
1.了解数学的历史,激发学习数学兴趣.
2.鼓励学生自己探索算法的多样化,有意识地培养学生的创新能力.
●教学重点
1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.
2.完全平方公式的应用.
●教学难点
1.完全平方公式的推导及其几何解释.
2.完全平方公式结构特点及其应用.
●教学方法
自主探索法
学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理,揭示其结构特点,然后到达合理、熟练地应用.
●教具准备
投影片四张
第一张:
试验田的改造,记作(§1.8.1A)
第二张:
想一想,记作(§1.8.1B)
第三张:
例题,记作(§1.8.1C)
第四张:
补充练习,记作(§1.8.1D)
●教学过程
Ⅰ.创设问题情景,引入新课
[师]去年,一位老农在一次“科技下乡〞活动中得到启示,将一块边长为a米的正方形农田改成试验田,种上了优质的杂交水稻,一年来,收益很大.今年,又一次“科技下乡〞活动,使老农铁了心,要走科技兴农的路子,于是他想把原来的试验田,边长增加b米,形成四块试验田,种植不同的新品种.
同学们,谁来帮老农实现这个愿望呢?
(同学们开始动手在练习本上画图,寻求解决的途径)
[生]我能帮这位爷爷.
[师]你能把你的结果展示给大家吗?
[生]可以.如图1-25所示,这就是我改造后的试验田,可以种植四种不同的新品种.
图1-25
[师]你能用不同的方式表示试验田的面积吗?
[生]改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形,因此,试验田的总面积应为(a+b)2.
[生]也可以把试验田的总面积看成四局部的面积和即边长为a的正方形面积,边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.
[师]很好!
同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积,进行比较,你发现了什么?
[生]可以发现它们虽形式不同,但都表示同一块试验田的面积,因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2
[师]我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.
Ⅱ.讲授新课
1.推导完全平方公式
[师]我们通过比照试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实,据有关资料说明,古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢?
(出示投影片§1.8.1A)
想一想:
(1)(a+b)2等于什么?
你能用多项式乘法法那么说明理由吗?
(2)(a-b)2等于什么?
你是怎样想的.
(同学们可先在自己的练习本上推导,教师巡视推导的情况,对较困难的学生以启示)
[生]用多项式乘法法那么可得
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
所以(a+b)2=a2+2ab+b2
(1)
[师]上面的几何解释和代数推导各有什么利弊?
[生]几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识,但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:
a>0且b>0;
代数推导完全平方公式虽然不直观,但在推导的过程中,a,b可以是正数,可以是负数,零,也可以是单项式,多项式.
[师]同学们分析得很有道理.接下来,我们来完成第
(2)问.
[生]也可利用多项式乘法法那么,那么(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2.
[生]我是这样想的,因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“-b〞代替公式中的“b〞,利用上面的公式就可以得到(a-b)2=[a+(-b)]2.
[师]这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义,你能继续沿着这个思路做下去吗?
我们一块试一下.
[师生共析]
(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2·a·(-b)+(-b)2
↓↓↓↓↓↓
(a+b)2=a2+2·a·b+b2
=a2-2ab+b2.
于是,我们得到又一个公式:
(a-b)2=a2-2ab+b2
(2)
[师]你能用语言描述上述公式
(1)、
(2)吗?
[生]公式
(1)用语言描述为:
两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和;公式
(2)用语言描述为:
两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.
2.应用、升华
出示投影片(§1.8.1B)
[例1]利用完全平方公式计算:
(1)(2x-3)2;
(2)(4x+5y)2;
(3)(mn-a)2.
分析:
利用完全平方公式计算,第一步先选择公式;第二步,准确代入公式;第三步化简.
解:
(1)方法一:
[例2]利用完全平方公式计算
(1)(-x+2y)2;
(2)(-x-y)2;
(3)(x+y-z)2;(4)(x+y)2-(x-y)2;
(5)(2x-3y)2(2x+3y)2.
分析:
此题需灵活运用完全平方公式,
(1)题可转化为(2y-x)2或(x-2y)2,再运用平方差公式;
(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式;(3)题利用加法结合律变形为[(x+y)-z]2(或[x+(y-z)]2、[(x-z)+y]2),再用完全平方公式计算;(4)题可利用完全平方公式,再合并同类项,也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形,再用平方差公式和完全平方公式.
解:
(1)方法一:
(-x+2y)2=(2y-x)2
=4y2-4xy+x2;
方法二:
(-x+2y)2=[-(x-2y)]2=(x-2y)2=x2-4xy+4y2.
(2)(-x-y)2=[-(x+y)]2=(x+y)2=x2+2xy+y2.
(3)(x+y-z)2=[(x+y)-z]2=(x+y)2-2(x+y)·z+z2
=x2+y2+z2+2xy-2zx-2yz.
(4)方法一:
(x+y)2-(x-y)2
=(x2+2xy+y2)-(x2-2xy+y2)
=4xy.
方法二:
(x+y)2-(x-y)2
=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]=4xy.
(5)(2x-3y)2(2x+3y)2
=[(2x-3y)(2x+3y)]2
=[4x2-9y2]2
=16x4-72x2y2+81y4.
Ⅲ.随堂练习
课本1.计算:
(1)(
x-2y)2;
(2)(2xy+
x)2;
(3)(n+1)2-n2.
解:
(1)(
x-2y)2=(
x)2-2·
x·2y+(2y)2=
x2-2xy+4y2
(2)(2xy+
x)2=(2xy)2+2·2xy·
x+(
x)2=4x2y2+
x2y+
x2
(3)方法一:
(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1.
方法二:
(n+1)2-n2=[(n+1)+n][(n+1)-n]=2n+1.
Ⅳ.课后作业
1.课本习题1.13的第1、2、3题.
2.阅读“读一读〞,并答复文章中提出的问题.
Ⅴ.活动与探究
甲、乙两人合养了n头牛,而每头牛的卖价恰为n元.全部卖完后两人分钱方法如下:
先由甲拿10元,再由乙拿10元,如此轮流,拿到最后剩下缺乏十元,轮到乙拿去,为了平均分配,甲应该补给乙多少元钱?
[过程]因牛n头,每头卖n元,故共卖得n2元.
令a表示n的十位以前的数字,b表示n的个位数字.即n=10a+b,于是n2=(10a+b)2=100a2+
20ab+b2=10×2a(5a+b)+b2.
因甲先取10元,而乙最后一次取钱时缺乏10元,所以n2中含有奇数个10元,以及最后剩下缺乏10元.
但10×2a(5a+b)中含有偶数个10元,因此b2中必含有奇数个10元,且b<10,所以b2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81,而这九个数中,只有16和36含有奇数个10,因此b2只可能是16或36,但这两个数的个位数都是6,这就是说,乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏10元).
[结果]甲比乙多拿了4元,为了平均分配甲必须补给乙2元.
●板书设计
1.8.完全平方公式
(一)
一、几何背景
试验田的总面积有两种表示形式:
①a2+2ab+b2
②(a+b)2
比照得:
(a+b)2=a2+2ab+b2
二、代数推导
(a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+2ab+b2
(a-b)2=[a+(-b)]2
=a2-2ab+b2
三、例题讲例
例1.利用完全平方公式计算:
(1)(2x-3)2
(2)(4x+5y)2
(3)(mn-a)2
四、随堂练习(略)
●备课资料
一、杨辉
杨辉,中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带,其著作甚多.
他著名的数学书共五种二十一卷.著有?
详解九章算法?
十二卷(1261年)、?
日用算法?
二卷(1262年)、?
乘除通变本末?
三卷(1274年)、?
田亩比类乘除算法?
二卷(1275年)、?
续古摘奇算法?
二卷(1275年).
杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面,他对筹算乘除捷算法进行总结和开展,有的还编成了歌诀,如九归口诀。
他在?
续古摘奇算法?
中介绍了各种形式的“纵横图〞及有关的构造方法,同时“垛积术〞是杨辉继沈括“隙积术〞后,关于高阶等差级数的研究.杨辉在“纂类〞中,将?
九章算术?
246个题目按解题方法由浅入深的顺序,重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈缺乏、方程、勾股等九类.
他非常重视数学教育的普及和开展,在?
算法通变本末?
中,杨辉为初学者制订的“习算纲目〞是中国数学教育史上的重要文献.
二、参考练习
1.填空题
(1)(-3x+4y)2=.
(2)(-2a-b)2=.
(3)x2-4xy+=(x-2y)2.
(4)a2+b2=(a+b)2+.
(5)
a2++9b2=(
a+3b)2.
(6)(a-2b)2+(a+2b)2=.
2.选择题
(1)以下计算正确的选项是()
A.(m-1)2=m2-1
B.(x+1)(x+1)=x2+x+1
C.(
x-y)2=
x2-xy-y2
D.(x+y)(x-y)(x2-y2)=x4-y4
(2)如果x2+mx+4是一个完全平方式,那么m的值是()
A.4B.-4C.±4D.±8
(3)将正方形的边长由acm增加6cm,那么正方形的面积增加了()
A.36cm2B.12acm2
C.(36+12a)cm2D.以上都不对
3.用乘法公式计算
(1)(
x-
y)2
(2)(x2-2y2)2-(x2+2y2)2
(3)29×31×(302+1)
(4)9992
答案:
1.
(1)9x2-24xy+16y2
(2)4a2+4ab+b2(3)4y2(4)-2ab
(5)3ab(6)2a2+8b2
2.
(1)D
(2)C(3)C
3.
(1)
x2-
xy+
y2
(2)-8x2y2
(3)809999(4)998001