IBJ
2•设矩阵A，X为同阶方阵，且A可逆，若A（X-E）=E,则矩阵X=（）
4.设1，2，…，：
•k是n维列向量，贝U:
-i，:
-2,
:
-k线性无关的充分必要条件是
A.向量组1，「2，…，k中任意两个向量线性无关
B.存在一组不全为0的数l1，丨2，…，Ik，使得I1〉1+122+…+|k〉kZ0
C.向量组1，「2，…，k中存在一个向量不能由其余向量线性表示
D.向量组二1，二；2，…，二k中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
5•已知向量2〉「=（1,一2,-2,-1几3爲"1=：
（1,_4,_3,0）t,则爲川：
•=（）
A.（0，-2，-1
1）T
B.（-2，0,-1，1）
C.（1，-1，
-2，0）T
D.（2,-6，-5，-1）
A.
B.2
1
D.4
C.3
7•设：
.是非齐次线性方程组Ax=b的解,
■:
是其导出组Ax=0的解，则以下结论正确的是
A.
：
：
：
_”+是Ax=0的解
B..二+是Ax=b的解
C.
是Ax=b的解
D.用-是Ax=0的解
设三阶方阵A的特征值分别为
，则A1的特征值为（
A.
B111
B・•
2'4‘3
C.
D.2,4,3
1
-1
0
1
A.
-1
2
B.
1
0
3
2
-2
1
C.
1
D.
-2
1
1
10
•以下关于正定矩阵叙述正确的是（）
、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
11•设det（A）=-1，det（B）=2，且A，B为同阶方阵，则det（（AE）3）=
12-2
12•设3阶矩阵A=4t3，B为3阶非零矩阵，且AB=0,则t=.
3-11
13•设方阵A满足A=E,这里k为正整数，则矩阵A的逆A-1=.
14.实向量空间R的维数是.
15.设A是mKn矩阵，r（A»=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为.
16•非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是.
17•设0（是齐次线性方程组Ax=0的解，而B是非齐次线性方程组Ax=b的解，则A（3a+2P）=
18•设方阵A有一个特征值为8,_则det（-8E+A）=.
19•设P为n阶正交矩阵，x是n维单位长的列向量，则||卩刈=.
20•二次型仁为也出）=x；亠5x；亠6x；4x1x2-2x1x3-2x2x3的正惯性指数是
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21•计算行列式
11-12
—1二/1
24-61
1242
2
22•设矩阵A=3，且矩阵B满足ABA=4A-1+BA，求矩阵B.
5
23•设向量组冷=（3,1,2,0）,「2=（°,7,1,3）,：
3=（一1,2,0,1）,為=（6,9,4,3）,求其一个极大线性无关组,
并将其
余向量通过极大线性无关组表示岀来.
-143
24•设三阶矩阵A=_253，求矩阵A的特征值和特征向量.
24-2
2
-2
4
-2
26.求矩阵A=
3
0
6
0
3
0
0
1
2
1
25•求下列齐次线性方程组的通解.
0
1的秩.
1
0
四、证明题（本大题共
a1
a12
313
设三阶矩阵
A=
321
322
323
的行列式不等于
a31
a32
a33
'a12、
=
321
、*2=
322
°3=
=323
线性无关
1
©31J
02丿
匹33」
1小题,
6分）
0,证明:
27.
线性代数习题二
说明：
在本卷中，表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。
A表示方阵
A的行
列式，r（A表示矩阵A的秩。
、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列岀的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选
均无分
1.设3阶方阵A的行列式为2，则—-A=（）
2
A.-1
B.
1
C.-
4
D.1
x-2x-1x-2
2.设f（x）=2x—2
2x—12x—2,则方程f（x）=O的根的个数为（
3x-2
3x—23x—5
B.1
D.3
A.O
C.2
3.设A为n阶方阵，将
A的第1列与第2列交换得到方阵
A.A=0b.A+B鼻0
JA丰0d.A—B鼻0
4.设AB是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（）
22222
A.（AB）=A2ABBB.（AB）（A-B）=A-B
C.（A_E）（AE）=（AE）（A_E）d.（ab）2=A2B2
a〔b|a〔b?
5.设A=a2bia2b2
ag'
a2b3,其中3H0,bi式0,i=1,2,3,则矩阵A的秩为（）
a3b3
A.0B.1
C.2D.3
6.设6阶方阵A的秩为4,则A的伴随矩阵A*的秩为（）
A.0B.2
C.3D.4
7.设向量a=（1,-2,3）与B=（2,k,6）正交，则数k为（）
A.-10B.-4
C.3D.10
X1X2X3=4
8.已知线性方程组x1ax2x^3无解，则数a=（）
2x12ax2二4
A.B.O
2
1
C.D.1
2
9.设3阶方阵A的特征多项式为|hE—A=（扎+2）（扎+3）2,则A=（）
A.-18B.-6
C.6D.18
10.若3阶实对称矩阵A=（aij）是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（）
3、
0,则r（AB）=
3」
r10
13.设a是4X3矩阵且r（A）=2,B=02
V10
14.向量组（1,2）,（2，3）（3,4）的秩为.
15.设线性无关的向量组a!
，a2,…，ar可由向量组B1，32,…，Bs线性表示，则r与S的关系为
X|'x2x3=0
16.
设方程组，x片x2'x3=0
17.设4元线性方程组Ax二b的三个解a!
a2,a3，已知
耳=（1,2,3,4）,鼻2+口3=（3,5,7,9）,r（A）=3.则方程组的通解是,
18.设3阶方阵A的秩为2,且A2+5A=0,则A的全部特征值为
■'-211'
19.设矩阵A=
0a0
有一个特征值人=2,对应的特征向量为x=
2
则数a=
1-413丿
2）
20.设实二次型f（捲，乂2,x3）=xTAx,已知A的特征值为-1,1,2，则该二次型的规范形为
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.设矩阵A=（0（,2?
2,3?
3）,B=（氏丫2,丫3）,其中口"，丫2,%均为3维列向量，且A=18,B=2.求
问P为何值时，该向量组线性相关？
并在此时求出它的秩和一个极大无关组12捲：
x2-x3=1
24.设3元线性方程组《一X2+X3=2,
4捲+5x2—5x3=-1
（1）确定当入取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？
（2）当方程组有无穷多解时，求岀该方程组的通解（要求用其一个特解和导岀组的基础解系表示）
12
25.已知2阶方阵A的特征值为［=1及匕,方阵B=A2.
3
（1）求B的特征值；
（2）求B的行列式.
222
26.用配方法化二次型f（X1,X2,X3）=X1-2X2-2x3-4x1x212x2x3为标准形，并写出所作的可逆线性变
换.
四、证明题（本题6分）27.设A是3阶反对称矩阵，证明A=0.
习题一答案
习题二答案
线性代数习题三
说明：
在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵」A|表示方阵A的行列式,r（A）表示矩A的秩.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分,共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A为3阶矩阵」A|=1,则|-2AT|=（）
'101'
'001'
，Z100x
‘100
A.
010
B.
010
C.
030
D.
010
少00」
I10°」
e0b
a0b
2X1-x2X3=0
9.设齐次线性方程组
x1—x2—x3=0有非零解，则，为（）
x1亠x2亠x3=0
A.-1B.0C.1D.2
10.设二次型f（x）=xTAx正定，则下列结论中正确的是（）
A.对任意n维列向量x,xTAx都大于零B.f的标准形的系数都大于或等于零
C.A的特征值都大于零D.A的所有子式都大于零
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
一01
11.行列式的值为.
12
12.已知A=12:
:
则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为
宅3丿
广1_3、（11、
13.设矩阵A=,P=i,则AP=
r24丿i。
1丿
14.设A,B都是3阶矩阵，且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=
15.
已知向量组a1,=（1,2,3）,a2=（3,-1,2）,a3=（2,3,k）线性相关，则数k=
则该线性方程组的通解是
彳、
Z1、
a=
3
0
匕丿
0丿
17.已知P是3阶正交矩，向量
则内积（P〉,P》
18.设2是矩阵A的一个特征值，则矩阵3A必有一个特征值为
'12、
19.与矩阵A=相似的对角矩阵为.
©3丿
''1一2'”
20.设矩阵A=,若二次型f=xTAx正定,则实数k的取值范围是
-2k丿
三、计算题
（本大题共
6小题，每小题9分，共54分）
21.
求行列式D=
的值.
■o
-1
0'
匚1
-2
0、
22.设矩阵A=
1
0
0
B=
2
-1
0
e
0
b
1°
0
°」
求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.
23.
24.
设矩阵A=
若向量组叫
|2
l—k丿
「。
2
l—2k丿
的秩为2,求k的值.
（1）求A;
（2）求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表岀
25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A+2AE求
（1）矩阵A的行列式及A的秩.
（2）矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.
26.求二次型f（x1,x2,x3）=-4x1X2+2x1X3+2X2X3经可逆线性变换
四、证明题（本题6分）
27.设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特征值只能是_1.
线性代数习题三答案
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