天津市中考数学题型专项复习训练含答案二次函数与线段问题 1.docx

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天津市中考数学题型专项复习训练含答案二次函数与线段问题1

二次函数与线段问题

1.已知抛物线经过点A（－1,0）、B（3,0）、C（0,－3）.

（Ⅰ）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;

（Ⅱ）直线CD交x轴于点E,过抛物线上在对称轴右边的点P,作y轴的平行线交x轴于点F,交直线CD于点M,使PM=EF,请求出点P的坐标;

（Ⅲ）将抛物线沿对称轴平移,要使抛物线与（Ⅱ）中的线段EM总有交点,那么抛物线向上最多平移多少个单位长度?

向下最多平移多少个单位长度?

解:

（Ⅰ）设抛物线解析式为y=a（x＋1）（x－3）,

把点C（0,－3）代入得:

a×1×（－3）=－3,

解得a=1,

∴抛物线解析式为y=（x＋1）（x－3）,

即y=x2－2x－3,

∵y=x2－2x－3=（x－1）2－4,

∴顶点D的坐标为（1,－4）;

（Ⅱ）如解图,设直线CD的解析式为y=kx＋b,

把点C（0,－3）,D（1,－4）代入得

解得,

∴直线CD的解析式为y=－x－3,

当y=0时,－x－3=0,

解得x=－3,

则E（－3,0）,

设P（t,t2－2t－3）（t＞1）,

则M（t,－t－3）,F（t,0）,

∴EF=t＋3,PM=t2－2t－3－（－t－3）=t2－t,

而PM=EF,

∴t2－t=（t＋3）,

整理得5t2－7t－6=0,

解得t1=－（舍去）,t2=2,

当t=2时,t2－2t－3=22－2×2－3=－3,

∴点P坐标为（2,－3）;

第1题解图

（Ⅲ）当t=2时,点M的坐标为（2,－5）,

设平移后的抛物线解析式为y=x2－2x－3＋m,

当抛物线y=x2－2x－3＋m与直线y=－x－3有唯一公共点时,

令方程x2－2x－3＋m=－x－3,即x2－x＋m=0有两个相等的实数解,

则b2－4ac=1－4m=0,

解得m=;

若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点M（2,－5）,

则4－4－3＋m=－5,解得m=－2;

若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点E（－3,0）,

则9－2×（－3）－3＋m=0,

解得m=－12,

∴抛物线向上最多平移个单位长度,向下最多平移12个单位长度.

2.已知抛物线y=（x－3）2－1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,顶点为D.

（Ⅰ）试求点A,B,D的坐标;

（Ⅱ）连接CD,过原点O作OE⊥CD与抛物线的对称轴交于点E,求OE的长;

（Ⅲ）以（Ⅱ）中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标.

解:

（Ⅰ）由y=0得（x－3）2－1=0,解得x1=3－,x2=3＋,

又∵点A在点B的左侧,

∴A点坐标为（3－,0）,B点坐标为（3＋,0）,

由抛物线解析式y=（x－3）2－1可得顶点D的坐标为（3,－1）;

（Ⅱ）如解图①,过点D作DG⊥y轴于点G,设CD与x轴交于点F,ED交x轴于点M,

由题意可得,∠DCG＋∠COF=90°,∠EOM＋∠COF=90°,

∴∠DCG=∠EOM,

又∵∠CGD=∠OME=90°,

∴△CDG∽△OEM,

∴=,即=,

∴EM=2,

∴E点坐标为（3,2）,

∴OE==;

（Ⅲ）如解图②,由⊙E的半径为1,由勾股定理得PQ2=EP2－1,要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小,

设P点坐标为（x,y）,则PQ=x－3,EQ=2－y,

∴由勾股定理得EP2=（x－3）2＋（2－y）2,

∵y=（x－3）2－1,

∴（x－3）2=2y＋2,

∴EP2=2y＋2＋y2－4y＋4=（y－1）2＋5,

当y=1时,EP2为最小值,

将y=1代入y=（x－3）2－1,得x1=5,x2=1,

∴P点坐标为（1,1）或（5,1）.

∵点P在对称轴右侧的抛物线上,

∴x2=1舍去,

∴P（5,1）.

图①图②

第2题解图

3.已知抛物线y=－x2－x＋与x轴交于A,C两点（点A在点C的左边）,直线y=kx＋b（k≠0）分别交x轴,y轴于A,B两点,且除了点A之外,该直线与抛物线没有其他任何交点.

（Ⅰ）求A,C两点的坐标;

（Ⅱ）求k,b的值;

（Ⅲ）设点P是抛物线上的动点,过点P作直线y=kx＋b（k≠0）的垂线,垂足为H,交抛物线的对称轴于点D,求PH＋DH的最小值,并求出此时点P的坐标.

解:

（Ⅰ）令y=0,即－x2－x＋=0,

解得x1=－3,x2=1,

∵点A在点C的左边,∴A（－3,0）,C（1,0）;

（Ⅱ）把A（－3,0）代入y=kx＋b,得－3k＋b=0,

解得b=3k,

联立,

得－x2－x＋=kx＋b,即x2＋（2＋4k）x－3＋4b=0,

∵直线y=kx＋b与抛物线有唯一公共点,

∴由根的判别式得（2＋4k）2－4（4b－3）=0,

把b=3k代入（2＋4k）2－4（4b－3）=0,得（2＋4k）2－4（12k－3）=0,

解得k=1,

∴b=3;

（Ⅲ）如解图,过点H作HG⊥对称轴于点G,过点P作PF⊥对称轴于点F,设直线AB与抛物线的对称轴交于点E,对称轴与x轴交于点M,

由题意知,抛物线对称轴为x=－1,

由（Ⅱ）知,直线AB的解析式为y=x＋3,

由直线AB知∠EAO=∠EHG=∠AEM=∠FPD=∠PDF=45°.

当x=－1时,y=x＋3=2,即E（－1,2）.

设P（x,－x2－x＋）,则PF=FD=－1－x,

ED=EM＋MF＋FD=2－（－x2－x＋）＋（－1－x）=x2－x＋,

PD=FD=（－1－x）,

∴DH=HE=ED=（x2－x＋）,

∴PH＋DH=DH－PD＋DH=2DH－PD=（x2－x＋）－（－x－1）=x2＋x＋,

当x=－=－1时,PH＋DH取得最小值,最小值为=,此时点P的坐标为（－1,1）.

第3题解图

4.已知,一抛物线过原点和点A（1,）,与x轴交于点B,△AOB的面积为.

（Ⅰ）求过点A、O、B的抛物线解析式;

（Ⅱ）在抛物线的对称轴上找到一点M,使得△AOM的周长最小,求△AOM周长的最小值;

（Ⅲ）点F为x轴上一动点,过点F作x轴的垂线,交直线AB于点E,交抛物线于点P,是否存在点F,使线段PE=？

若存在,直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.

解:

（Ⅰ）过点A作AC⊥x轴于点C,如解图①,

∵A（1,）,

∴AC=,

∵S△AOB=BO·AC=BO×=,

∴BO=2,

∴B（－2,0）.

由题意可设抛物线解析式为y=ax2＋bx,

把A、B坐标代入可得,

解得,

∴过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=x2＋x;

（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得抛物线的对称轴为直线x=－1,

设直线AB交对称轴于点M,如解图②,连接OM,

∵OA长为定值,

∴△AOM周长的最小值即为OM＋AM的最小值,

∵B、O两点关于对称轴对称,

∴MO=MB.

∴A,M,B三点共线时,OM＋AM最小.

设直线AB的解析式为y=kx＋b,

把A、B两点的坐标代入可得,

解得,

∴直线AB的解析式为y=x＋,

当x=－1时,y=,

∴点M的坐标为（－1,）.

由勾股定理可求得AB=,

AO=,

∴△AOM周长的最小值为AM＋MO＋AO=AB＋AO=2＋2;

（Ⅲ）存在.点F的坐标为（0,0）或（－1,0）或（,0）或（,0）.

【解法提示】假设存在满足条件的点F,设其坐标为（x,0）,

则E（x,x＋）,P（x,x2＋x）,如解图③,

①当－2≤x≤0时,PE=PF＋EF=－（x2＋x）＋x＋=x2－x＋,

由PE=得－x2－x＋=,解得x1=0,x2=－1,

当x=0时,点P与点F重合,点F的坐标为（0,0）;

当x=－1时,点F的坐标为（－1,0）;

②当0＜x≤1时,此时PE恒小于;

③当x＞1或x＜－2时,PE=PF－EF=x2＋x－（x＋）=x2＋x－,

由PE=得x2＋x－=,

解得x1=,x2=,

∴点F的坐标为（,0）或（,0）.

综上所述:

点F的坐标为（0,0）或（－1,0）或（,0）或（,0）.

图①图②图③

第4题解图

5.已知直线y=5x＋5交x轴于点A,交y轴于点C,过A,C两点的二次函数y=ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.

（Ⅰ）求二次函数的表达式;

（Ⅱ）连接BC,点N是线段BC上的动点,作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND长度的最大值;

（Ⅲ）若点H为二次函数y=ax2＋4x＋c图象的顶点,点M（4,m）是该二次函数图象上一点,在x轴,y轴上分别找点F,E,使四边形HEFM的周长最小,求出点F、E的坐标.

解:

（Ⅰ）∵直线y=5x＋5交x轴于点A,交y轴于点C,

∴A（－1,0）,C（0,5）,

∵二次函数y=ax2＋4x＋c的图象过A,C两点,

∴,解得,

∴二次函数的表达式为y=－x2＋4x＋5;

（Ⅱ）如解图①,

∵点B是二次函数的图象与x轴的交点,

∴由二次函数的表达式为y=－x2＋4x＋5得点B的坐标为B（5,0）,

设直线BC解析式为y=kx＋b,

∵直线BC过点B（5,0）,C（0,5）,

∴,解得,

∴直线BC解析式为y=－x＋5,

设ND的长为d,N点的横坐标为n,

则N点的坐标为（n,－n＋5）,

D点的坐标为（n,－n2＋4n＋5）,

则d=|－n2＋4n＋5－（－n＋5）|,

由题意可知:

－n2＋4n＋5＞－n＋5,

∴d=－n2＋4n＋5－（－n＋5）=－n2＋5n=－（n－）2＋,

∴当n=时,线段ND长度的最大值是;

（Ⅲ）∵点M（4,m）在抛物线y=－x2＋4x＋5上,∴m=5,∴M（4,5）.

∵抛物线y=－x2＋4x＋5=－（x－2）2＋9,

∴顶点坐标为H（2,9）,

如解图②,作点H（2,9）关于y轴的对称点H1,则点H1的坐标为H1（－2,9）;作点M（4,5）关于x轴的对称点M1,则点M1的坐标为M1（4,－5）,连接H1M1分别交x轴于点F,y轴于点E,∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长,则点F,E即为所求的点.

设直线H1M1的函数表达式为y=mx＋n,

∵直线H1M1过点H1（－2,9）,M1（4,－5）,

∴,解得,

∴y=－x＋,

∴当x=0时,y=,即点E坐标为（0,）,

当y=0时,x=,即点F坐标为（,0）,

故所求点F,E的坐标分别为（,0）,（0,）.

图①图②

第5题解图

6.已知抛物线y=－x2＋bx＋c与x轴交于A（－1,0）,B（－3,0）两点,与y轴交于点C.

（Ⅰ）求抛物线的解析式;

（Ⅱ）设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标;

（Ⅲ）点Q是直线BC上方抛物线上的动点,求点Q到直线BC的距离最大时点Q的坐标.

解:

（Ⅰ）∵抛物线y=－x2＋bx＋c经过A（－1,0）,B（－3,0）,

∴,解得,

∴抛物线的解析式为y=－x2－4x－3;

（Ⅱ）由y=－x2－4x－3可得D（－2,1）,C（0,－3）,

∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2,可得△OBC是等腰直角三角形,

∴∠OBC=45°,CB=3,

如解图①,设抛物线的对称轴与x轴交于点F,

∴AF=AB=1,

设直线BC与对称轴的交点为E,连接AE,AC,∵EF=1=AF,则有∠BAE=∠OBC=45°,

∴∠AEB=90°,∴BE=AE=,CE=2.

在△AEC与△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF,

∴△AEC∽△AFP,

∴,即,解得PF=2.

∵点P在抛物线的对称轴上,

∴点P的坐