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探求三角形的外接圆半径最全word资料
探求三角形的外接圆半径
泰州市二中附属初中王征
我们知道任意一个三角形都有外接圆，如何求三角形的外接圆的半径呢？
其主要方法是构造直角三角形，利用相似三角形、勾股定理等知识求解。
一、特殊三角形
1.直角三角形
例1．已知：
如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5，求△ABC的外接圆的半径r.
分析：
通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。
解：
∵AB＝13，BC＝12，AC＝5，
∴AB2＝BC2＋AC2，
∴∠C＝90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，
∴△ABC的外接圆的半径r为6.5.
2.等腰三角形
例2．已知：
如图，在△ABC中，AB＝AC=10，BC＝12，求△ABC外接圆⊙O的半径r.
分析：
利用等腰三角形的对称性，相似三角形的相关知识解题.
解：
作直径AD交BC于点E，交圆于点D，连接BD.∴∠ABD=90°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D.
∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB,
∴∠AEB=∠ABD=90°，∴BE=CE=6.∴AE=
.
∵△ABE∽△ADB，∴
∴
∴△ABC外接圆⊙O的半径r为9.
二、一般三角形
1.已知一角和它的对边
⑴锐角三角形
例3.已知：
如图，在△ABC中，AB＝10，∠C＝60°，求△ABC外接圆⊙O的半径r.
分析：
利用直径构造含已知边AB的直角三角形.
解：
作直径AD，连结BD.
∴∠D＝∠C＝＝60°，∠DBA＝90°.
∴AD＝
＝
＝
∴△ABC外接圆⊙O的半径r为
.
⑵钝角三角形
例4.在△ABC中，AB＝10，∠C＝100°，求△ABC外接圆⊙O的半径r.（用三角函数表示）
分析：
方法同例3.
解：
作直径BD，连结AD.
则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°
∴BD＝
＝
∴△ABC外接圆⊙O的半径r为
.
注：
已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.
2.已知两边夹一角
例5．已知：
如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°，求△ABC外接圆⊙O的半径r.
分析：
考虑求出AB，然后转化为⑴的情形解题.
解：
作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.
则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE＝
AC＝1，AE＝
，
BE＝BC－CE＝2，AB＝
＝
∴AD＝
＝
＝
∴△ABC外接圆⊙O的半径r为
.
3.已知三边
例6.已知：
如图，在△ABC中，AC＝13，BC＝14，AB＝15，求△ABC外接圆⊙O的半径r.
分析：
作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE，利用相似三角形就可以求出直径AD.
解：
作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.
则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C
∴△ADB∽△ACE，∴
设CE＝x,
∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2，∴132-x2＝152-（14-x）2
∴x=5,即CE＝5，∴AE＝12
∴
，∴AD＝
∴△ABC外接圆⊙O的半径r为
.
4.已知两边及第三边上的高
例7.已知：
如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝6，AD⊥BC，且AD=5，求△ABC外接圆⊙O的半径r.
分析：
作出直径AE，构造Rt△ABE，利用相似三角形就可以求出直径AE.
解：
连接AO并延长交圆于点E，连接BE，
则∠ABE＝90°.
∵∠E＝∠C，
∠ABE＝∠ADC＝90°，
∴Rt△ABE∽Rt△ADC，
∴
，
∴
，
∴AE=
.
总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆的半径.
刀具半径补偿指令
——双元制模式实习教案
班级：
第学年第学期第周年月日
教学课题
刀具半径补偿指令G40G41G42
课时
7H
教学目的
1、掌握刀具半径补偿指令的格式、程序结构
2、掌握G41和G42的判断方法
3、掌握刀具半径补偿指令的使用方法
教学准备
设备：
华中数控铣床
刀具：
φ8立铣刀
材料：
100×70×50方钢
量具：
0~200mm卡尺
教学重点
刀具半径补偿指令的格式、使用方法
教学难点
G41和G42的判断方法
教学方法
授课内容
课题引入：
讲解：
图示讲解
一、提问：
刀具中心轨迹与轮廓轨迹的区别？
二、我们在以前的编程学习中没有考虑过刀具的因素，而是直接按中心轨迹进行编程，而在实际加工中忽视刀具的尺寸会导致加工尺寸出现偏差。
怎样合理的利用刀具尺寸，从而加工出合格的零件呢？
这就是我们今天要学习的内容——刀具半径补偿指令。
刀具半径补偿指令G40G41G42
刀具半径补偿指令是一个指令组，分别由G40、G41、G42三个指令共同构成。
每个指令是由地址字G和其后的两位数值40、41、42分别表示。
刀具半径补偿指令中的G代码是模态的。
刀具补偿指令产生的原因和作用：
通过对下图所示的简单零件图进行编程及讲解，使同学们了解刀具补偿指令产生的原因和作用。
教学方法
授课内容
对所示零件进行编程
板书
分析讲解误差产生的原因：
结合课件讲解刀具半径和加工零件的关系。
程序：
（不用刀补）
%1
N1G54G00X-20Y-20Z20M03
N2G00Z2
N3G01Z-1F300
N4G01X0Y0
N5X80
N6Y60
N7X0
N8Y0
N9Z2
N10G00X-20Y-20Z20
N11M05
N12M30
按上述程序直接进行加工，工件尺寸会出现误差。
在加工工件时，由于刀具有一定半径，因此，刀具中心轨迹应是
与工件轮廓平行的等距线。
否则，则会产生误差。
教学方法
授课内容
通过举例引导学生找出上述编程方法的缺点。
板书
讲解刀具半径补偿指令的含义、格式及各参数含义。
举例说明刀补号地址的含义
通过对加工梯形以及带圆弧工件刀具中心轨迹坐标点的计算得出此种加工方法的缺点：
1、计算量大；
2、走刀路线与刀具直径有直接关系；
3、有些图形的坐标点计算复杂。
当加工工件时，由于刀具有一定半径，因此，刀具中心轨迹应是与工件轮廓平行的等距线。
如果CNC机床不具有刀具半径补偿功能，加工时应按刀具中心轨迹，即工件轮廓的等距线进行编程，有时计算相关点的坐标相当复杂。
CNC机床具有刀具补偿功能，则可以直接按工件轮廓编程，数控装置根据输入的刀具半径值自动计算出刀具中心轨迹，加工出合格工件。
正确地运用刀具补偿指令可以大大地提高我们的工作效率和加工精度。
格式：
X_Y_D_；
G40；
G40是取消刀具半径补偿功能。
刀具离开工件轮廓时，需给出G40，否则数控系统下一步仍会按刀补指令调整刀具位置，容易“误伤”工件的轮廓形状。
G41是在相对于刀具前进方向左侧进行补偿，称为左刀补。
G42是在相对于刀具前进方向右侧进行补偿，称为右刀补。
其中刀补号地址D后跟的数值是刀具号，它用来调用内存中刀具半径补偿的数值。
如D01就是调用在刀具表中第1号刀具的半径值。
这一半径值是预先输入在内存刀具表中的01号位置上的。
刀补号地址数设有100个，即D00~D99。
例子：
学生编号和学生的关系。
教学方法
授课内容
难点：
结合课件和实物讲解如何区分左、右刀补。
提问：
举出实际走刀路线，让学生回答刀补方向。
通过提问来了解学生的掌握情况。
通过编程实例讲解刀具补偿指令的使用方法。
在原程序上用彩色粉笔进行修改，突出重点。
判断左、右刀补的方法：
G41—即沿刀具进刀方向看去，刀具中心在零件轮廓左侧进行补偿。
G42—即沿刀具进刀方向看去，刀具中心在零件轮廓右侧进行补偿。
程序：
（使用刀补）
%3
N1G54G00X-20Y-20Z20M03
N2G00Z2
N3G01Z-1F300
N4G42X0Y0D01（建立刀补）
N5X80（进行刀补）
N6Y60
N7X0
N8Y0
N9Z2
N10G40G00X-20Y-20Z20（取消刀补）
N11M05
N12M30
加工工件时，只需按工件轮廓编程，不必按刀具中心轨迹编程，大大简化程序编制，避免复杂计算，同时还可以提高加工精度。
教学方法
授课内容
示范：
在机床上边示范边讲解
提示学生注意观察
强调先校验后加工
提示加工中的注意事项
模仿：
教师应注意观察，了解学生对课题的掌握程度
一、设置工件坐标系。
二、刀具半径值参数的输入方法：
三、F4MDIF2刀具表选择01号刀具移动光标至刀具半径栏输入刀具半径值4F10返回
三、在原程序上进行修改，输入刀具补偿指令。
四、将修改后的程序进行保存。
五、对程序进行校验，让学生观察校验轨迹的变化。
六、校验正确后进行实际加工：
选择工作方式为“自动”，按“循环启动”运行程序。
七、尺寸测量。
注意事项：
1、编程时注意刀补的格式，刀补结束后需要及时取消刀补。
2、注意程序中的刀具号必须跟刀具表中的刀具参数相一致。
3、加工时要合理调节进给倍率，下刀前手要放在进给保持键上，以防出错及事故发生。
请一名学生模仿编程、参数输入等整个加工过程，要求学生按步骤正确操作。
其他学生注意观察，发现错误及时指正。
教学方法
授课内容
小结：
练习：
学生分组练习
教师巡回指导
学生在做完练习后，根据掌握情况老师进行现场总结
一、刀具半径补偿功能的作用及优点。
二、左刀补、右刀补的判断原则。
三、掌握刀具半径补偿指令及实际运用。
一、安排学生做下图所示练习，讲解练习要求。
二、强调安全文明生产要求。
三、采用提问的方式来检查学生对学习内容的理解和掌握的情况。
四、指导学生运用刀补进行编程，纠正学生在练习中出现的错误以及存在的问题，通过对存在的共性问题进行集中总结、示范和讲解，巩固学习内容。
课后记事
第二十四章第五节三角形内角和定理的证明
教学目标：
1、掌握三角形内角和定理及其推论的证明及简单的应用
2、对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用
3、经历剪拼三角形验证三角形内角和定理，探索证明思路的过程
4、初步体会辅助线在证明中的作用
5、通过一题多解，一题多变，初步体会思维的多样性，通过多角度探索证明思路，引导学生个性的发展，培养学生发散思维
教学重点：
1、三角形内角和定理的证明（主要）
2、三角形内角和定理的推论（次要）
3、运用综合法，按照一定的步骤，有理有据的写出证明的过程，书写格式和步骤，理解证明的必要性
教学难点：
1、实验操作法转变为辅助作图（辅助线的添法）
2、多角度，多样性的解决问题，培养学生思维的多样性及个性的发展
3、培养学生步步有据的推理意识，有理有据的写出证明的过程
教学方法：
实验操作法，讨论法小组的合作与交流
回顾与思考：
我们知道三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗?
学生回答剪拼的过程。
教师进行演示
1）如图,当时我们是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不实际移动∠A和∠B,那么你还有其它方法可以达到同样的效果?
（学生尝试回答）
B
2）根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?
你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?
与同伴交流.
三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°
例题欣赏“行家”看“门道”
分析:
延长BC到D,过点C作射线CE∥AB，这样，就相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置。
♦
证明:
作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB，则
♦∠1=∠A（两直线平行,内错角相等），
♦∠2=∠B（两直线平行,同位角相等），
又∵∠1+∠2+∠3=180°（平角的定义），
♦∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）。
（多媒体展示辅助线的添法及证明的过程，考查学生
说理的依据，学生先说，老师后展示）
♦你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?
.
♦
议一议一题多解
♦在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC（如图）,他的想法可以吗？
♦请你帮小明把想法化为实际行动。
♦证明:
过点A作PQ∥BC,则
♦∠1=∠B（两直线平行,内错角相等），
♦∠2=∠C（两直线平行,内错角相等），
♦又∵∠1+∠2+∠3=1800（平角的定义），
♦∴∠BAC+∠B+∠C=1800（等量代换）。
（人们从来来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的。
当条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新关系，找到已知与未知的桥梁，把问题转化为自己已经会解的情况，这是解决问题常用的策论之一，辅助线的添法没有统一的规律，需要根据问题而定，本题就是把三个角“搬”到一起的，让三个顶点重合，两条边形成一条直线，以便利用平角解决问题）
♦小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?
你有新的证法吗?
♦试一试“行家”看“门道”
♦根据下面的图形,写出相应的证明。
♦
（在BC上取一点D,过D分别作DF∥AC交（是否可以凑到三角形内一点呢？
）
AB于P，DE∥AB交AC于E）
（是否可以凑到三角形外一点呢？
）
（先让学生尝试自己说出辅助线的思路，然后老师利用多媒体进行展示）
（学生尝试按照上面的方法证明三角形内角和定理）
总结：
学数学，要善于抓住不变的根本，又要善于灵活的在变化中认识处理解决问题
三种语言☞三角形内角和定理
♦
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
♦∠A=1800–（∠B+∠C）.
♦∠B=1800–（∠A+∠C）.
♦∠C=1800–（∠A+∠B）.
♦∠A+∠B=1800-∠C.
♦∠B+∠C=1800-∠A.
♦∠A+∠C=1800-∠B.
随堂练习
我们知道并且证明三角形内角和定理后，对于某些特殊的三角形应予以关注
♦1、直角三角形的两锐角之和是多少度?
等边三角形的一个内角是多少度?
请证明你的结论.
♦2、等边三角形的一个内角是多少度?
请证明你的结论.
♦
结论:
直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接运用.
小试牛刀
♦3、已知:
如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°,∠C=70°.
求证：
∠ADE=50°
4、如图，是一块大型模板，设计要求：
如果延长BA与CD，
那么它们相交成30°角，如果延长DA于CB,那么它们相
交成20°的角，为了检查模板是否合格，我们通过测
量∠B,∠C,∠D的度数就能够达成目标，为什么？
读一读用运动变化的观点理解和认识数学
♦在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接近BC时,∠A就越来越大（越来越接近1800）,而∠B和∠C,越来越小（越来越接近00）.由此你能想到什么?
♦如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC时,∠A就越来越小（越来越接近0°）,而∠B和∠C则越来越大,它们的和越来越接近180°,当把点A拉到无穷远时,便有AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于180°.由此你能想到什么?
小结拓展回味无穷
♦掌握几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项.
♦三角形内角和定理.
♦结论:
直角三角形的两个锐角互余.
♦探索证明的思路的方法:
由“因”导“果”,执“果”索“因”.
♦与同伴交流,你是如何提高证明命题能力的.
A
独立作业知识的升华
1、（必做题）课本132页2题，3题
2、（选作）如图，已知AD是△ABD
和△ACD的公共边.求证：
∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
下课了!
结束寄语
•严格性之于数学家,犹如道德之于人.
•由“因”导“果”,执“果”索“因”.是探索证明思路的基本方法.
课题：
相似三角形判定定理（三）
[教学目标]
（一）知识与技能
理解相似三角形的概念，掌握判定三角形相似的判定定理2。
（二）过程与方法
培养学生探究新知识，提高分析问题和解决问题的能力，增进发放思维能力和现有知识区向最近发展区迁延的能力。
（三）情感态度与价值观
加强学生对斩知识探究的兴趣，渗透几何中理性思维的思想。
[教学重点]
相似三角形的判定定理2与判定三角形相似的预备定理的区别。
[教学难点]
相似三角形约定义和判定三角形相似的判定定理2的应用。
[教学方法]
采用直观、类比的方法
[教学过程]
一.复习相似三角形的概念和已学过的判定方法．
（1）预备定理要求有三角形一边的平行线
（2）判定定理
二.类比探索两个三角形相似的判定方法
△ABC与△A′B′C′中，若
三.判定定理2
如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应边成比例，并且夹角相等，
那么这两个三角形相似。
简单地说成：
两边对应边成比例且夹角相等，两个三角形相似。
四.定理应用
例1.如图在三角形PAB中，C，D分别是边PA，PB上的点，PA*PC=PB*PD
求证：
∽⊿PAB
证明：
∽⊿PAB
例2.如图在三角形ABC与三角形AED中
求证：
⊿ABC∽⊿AED
例3在边长为1个单位的方格纸上，有三角形ABC与三角形FED，
求证：
⊿ABC∽⊿AED
证明：
练习P62
师生共同小结
1．三角形相似的三个判定定理的内容及证明方法．
2．结合图形和已知寻找对应元素相等的方法，注意变式条件，如由已知四条线段计算得出对应边成比例，或由已知等积式变形得出对应边成比例等．
[布置作业]A册P16习题28.4
（2）
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