已知5.217≈2.284，521.7≈22.84，填空：
（1）0.05217≈0.228__4，52170≈228.4；
（2）若x≈0.02284，则x≈0.000__521__7．21．比较下列各组数的大小：
（1）12与14；
（2）－5与－7；（3）5与24；（4）24－12与32.解：
（1）12＜14.
（2）－5＞－7.（3）5＞24.（4）24－12＞32.
综合题22．（教材P43例3变式）国际比赛的足球场长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间，为了迎接某次奥运会，某地建设了一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7560m2，请你判断这个足球场能用作国际比赛吗？
并说明理由．解：
这个足球场能用作国际比赛．理由：
设足球场的宽为xm，则足球场的长为1.5xm，由题意，得1．5x2＝7560.∴x2＝5040.由算术平方根的意义可知x＝5040.又∵702＝4900，712＝5041，∴70＜5040＜71.∴70＜x＜71.∴105＜1.5x＜106.5.∴100＜1.5x＜110.∴符合要求．∴这个足球场能用作国际比赛．
23．（教材P48习题T11变式）
（1）通过计算下列各式的值探究问题：
①42＝4；162＝16；02＝0；（19）2＝19．探究：
对于任意非负有理数a，a2＝a．②（－3）2＝3；（－5）2＝5；（－1）2＝1；（－2）2＝2．探究：
对于任意负有理数a，a2＝－a．综上，对于任意有理数a，a2＝|a|．
（2）应用
（1）所得的结论解决问题：
有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：
a2－b2－（a－b）2＋|a＋b|.解：
a2－b2－（a－b）2＋|a＋b|＝|a|－|b|－|a－b|＋|a＋b|＝－a－b＋a－b－a－b＝－a－3b.
第2课时 平方根基础题知识点1 平方根
（1）一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，记作±a．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算．正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
1．（2018•贺州）4的平方根是（C）A．2B．－2C．±2D．162．±8是64的（A）A．平方根B．相反数C．绝对值D．算术平方根3.13是一个数的平方根，则这个数是（D）A．1B．3C．±19D.194．下列说法中，不正确的是（D）A．6是36的平方根B．－6是36的平方根C．36的平方根是±6D．36的平方根是65．下列说法正确的是（D）A．任何非负数都有两个平方根B．一个正数的平方根仍然是正数C．只有正数才有平方根D．负数没有平方根6．计算：
±425＝±25，－425＝－25，425＝25．7．填表：
a2－237±37±9±15a244949949812258.求下列各数的平方根：
（1）16；
（2）2536； （3）0.0081.解：
（1）因为（±4）2＝16，所以16的平方根是±4.
（2）因为（±56）2＝2536，所以2536的平方根是±56.（3）因为（±0.09）2＝0.0081，所以0.0081的平方根是±0.09.
知识点2 平方根与算术平方根的关系正数a的正的平方根就是这个数的算术平方根，记作a.9．（2017•广州期中）下列说法正确的是（A）A．－5是25的平方根B．25的平方根是－5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根10．下列各式中，正确的是（D）A.4＝±2B．±9＝3C.（－3）2＝－3D.（－3）2＝311．求下列各数的平方根与算术平方根：
（1）25；解：
25的平方根是±5，算术平方根是5.
（2）0；解：
0的平方根是0，算术平方根是0.
（3）110000.解：
110000的平方根是±1100，算术平方根是1100.
12．求下列各式的值：
（1）225；
（2）－3649； （3）±144121.解：
（1）∵152＝225，∴225＝15.
（2）∵（67）2＝3649，∴－3649＝－67.（3）∵（1211）2＝144121，∴±144121＝±1211.
易错点 忽视一个正数的平方根有两个13．若x＋3是4的平方根，则x＝－1或－5．
中档题14．（2017•广州期中）对于2－3来说（C）A．有平方根B．只有算术平方根C．没有平方根D．不能确定15．（易错题）（2017•广州四校联考期中）16的平方根等于（D）A．2B．－4C．±4D．±216．（易错题）若x2＝16，则5－x的算术平方根是（D）A．±1B．±4C．1或9D．1或317．（2017•玉林期末）已知325.6≈18.044，那么±3.256≈±1.804__4．18．“平方根”节是数学爱好者的节日，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的算术平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日，请你再写出21世纪你喜欢的一个“平方根”节（题中所举例子除外）2025年5月5日．19．下列各数是否有平方根？
若有，求出它的平方根；若没有，请说明理由．
（1）（－3）2；
（2）－42； （3）－（a2＋1）．解：
（1）±3.
（2）没有平方根，因为－42是负数．（3）没有平方根，因为－（a2＋1）是负数．
20．（教材P48习题T8变式）求下列各式中x的值：
（1）4x2－1＝0；解：
4x2＝1.x2＝14.x＝±12.
（2）（2017•广州四校联考期中）（2x－1）2＝25.解：
2x－1＝5或2x－1＝－5.解得x＝3或x＝－2.
21．已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根．解：
依题意，得2a－1＝9且3a＋b－1＝16，∴a＝5，b＝2.∴a＋2b＝5＋4＝9.∴a＋2b的平方根为±3，即±a＋2b＝±3.
综合题22．（易错题）
（1）一个非负数的平方根是2a－1和a－5，这个非负数是多少？
（2）已知a－1和5－2a都是m的平方根，求a与m的值．解：
（1）根据题意，得（2a－1）＋（a－5）＝0.解得a＝2.∴这个非负数是（2a－1）2＝（2×2－1）2＝9.
（2）根据题意，分以下两种情况：
①当a－1与5－2a是同一个平方根时，a－1＝5－2a.解得a＝2.此时，m＝12＝1；②当a－1与5－2a是两个平方根时，a－1＋5－2a＝0.解得a＝4.此时，m＝（4－1）2＝9.综上所述，当a＝2时，m＝1；当a＝4时，m＝9.6.2 立方根基础题知识点1 立方根
（1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，即如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作3a，其中a是被开方数，3是根指数.3－a＝－3a.
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算．正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0．1．（2018•恩施）64的立方根为（C）A．8B．－8C．4D．－42．（2018•济宁）3－1的值是（B）A．1B．－1C．3D．－33．若一个数的立方根是－3，则这个数为（B）A．－33B．－27C．±33D．±274．下列说法中，不正确的是（D）A．0.027的立方根是0.3B．－8的立方根是－2C．0的立方根是0D．125的立方根是±55．下列计算正确的是（C）A.30.0125＝0.5B.3－2764＝34C.3338＝112D．－3－8125＝－256．－13是－127的立方根，－16164的立方根是－54．7．求下列各数的立方根：
（1）0.216；解：
∵0.63＝0.216，∴0.216的立方根是0.6，即30.216＝0.6.
（2）0；解：
∵03＝0，∴0的立方根是0，即30＝0.
（3）－21027；解：
∵－21027＝－6427，且（－43）3＝－6427，∴－21027的立方根是－43，即3－21027＝－43.
（4）－5.解：
－5的立方根是3－5.
8．求下列各式的值：
（1）30.001；解：
30.001＝0.1.
（2）3－343125；解：
3－343125＝－75.
（3）－31－1927.解：
－31－1927＝－23.
知识点2 用计算器求立方根9．用计算器计算328.36的值约为（B）A．3.049B．3.050C．3.051D．3.05210．一个正方体的水晶砖，体积为100cm3，它的棱长大约在（A）A．4cm～5cm之间B．5cm～6cm之间C．6cm～7cm之间D．7cm～8cm之间11．计算：
325≈2.92（结果精确到0.01）．
易错点 立方根与平方根相混淆12．立方根等于本身的数为0，1或－1．
中档题13．（易错题）32的立方根是（A）A.33B.39C．2D．314．下列说法正确的是（D）A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数B．一个数的立方根比这个数的平方根小C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D.3a与3－a互为相反数15．若a2＝（－5）2，b3＝（－5）3，则a＋b的值为（D）A．0B．±10C．0或10D．0或－1016．已知2x＋1的平方根是±5，则5x＋4的立方根是4．17．
（1）填表：
a0.0000010.0011100010000003a0.010.1110100
（2）由上表你发现了什么规律？
请用语言叙述这个规律：
被开方数扩大到原来的1__000倍，则立方根扩大到原来的10倍；（3）根据你发现的规律填空：
①已知33≈1.442，则33000≈14.42，30.003≈0.144__2；②已知30.000456≈0.07697，则3456≈7.697．18．求下列各式的值：
（1）－3－0.125；解：
原式＝0.5.
（2）－3729＋3512；解：
原式＝－9＋8＝－1.
（3）30.027－31－124125＋3－0.001.解：
原式＝0.3－31125＋（－0.1）＝0.3－15－0.1＝0.
19．比较下列各数的大小：
（1）39与3；解：
39>3.
（2）－342与－3.4.解：
－342＜－3.4.
20．求下列各式中x的值：
（1）8x3＋125＝0；解：
8x3＝－125.x3＝－1258.x＝－52.
（2）（2017•广州期中）（2x－1）3＝－8.解：
2x－1＝－2.解得x＝－12.
21．将一个体积为0.216m3的大立方体铝块改铸成8个一样大的小立方体铝块，求每个小立方体铝块的表面积．解：
设每个小立方体铝块的棱长为xm，则8x3＝0.216.∴x3＝0.027.∴x＝0.3.∴6×0.32＝0.54（m2）．答：
每个小立方体铝块的表面积为0.54m2.
综合题22．请先观察下列等式：
32＋27＝2327，33＋326＝33326，34＋463＝43463，…
（1）请再举两个类似的例子；
（2）经过观察，写出满足上述各式规则的一般公式．解：
（1）35＋5124＝535124，36＋6215＝636215.
（2）3n＋nn3－1＝n3nn3－1（n＞1，且n为整数）．6.3 实数基础题知识点1 实数的概念及其分类
1．（2018•玉林）下列实数中，是无理数的是（B）A．1B.2C．－3D.132．下列说法中，正确的是（C）A．无理数包括正无理数、零和负无理数B．无限小数都是无理数C．正实数包括正有理数和正无理数D．实数可以分为正实数和负实数两类
知识点2 实数与数轴上的点的关系实数和数轴上的点是一一对应的，反过来，数轴上的每一个点必定表示一个实数．
3．若在数轴上画出表示下列各数的点，则与原点距离最近的点是（B）A．－1B．－12C.32D．2
知识点3 实数的相反数、绝对值、倒数实数a的相反数是－a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即|a|＝a，当a>0时；0，当a＝0时；－a，当a<0时.
4．－2的相反数是（C）A．－2B.22C.2D．－225．π是1π的（B）A．绝对值B．倒数C．相反数D．平方根6．（2017•广州期中）3－8的绝对值是2．7．写出下列各数的相反数与绝对值．原数3.5－6π32－3
相反数－3.56－π33－2
绝对值3.56π33－2
知识点4 实数的运算实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．
8．（2018•包头）计算－4－|－3|的结果是（B）A．－1B．－5C．1D．59．计算364＋（－16）的结果是（B）A．4B．0C．8D．1210．计算：
（1）33＋53；解：
原式＝（3＋5）3＝83.
（2）|1－2|＋|3－2|.解：
原式＝2－1＋3－2＝3－1.
11．计算（结果保留小数点后两位）：
（1）π－2＋3；解：
原式≈3.142－1.414＋1.732≈3.46.
（2）|2－5|＋0.9.解：
原式≈2.236－1.414＋0.9≈1.72.
易错点 对无理数的判断有误12．下列说法正确的是（D）A.33是分数B.227是无理数C.π－3.14是有理数D.3－83是有理数
中档题13．下列各组数中，互为相反数的一组是（C）A．－|－2|与3－8B．－4与－（－4）2C．－32与|3－2|D．－2与1214．有一个数值转换器，原理如下：
当输入的x为4时，输出的y是（C）A．4B．2C.2D．－215．（2017•宁夏）实数a在数轴上的位置如图所示，则|a－3|＝3－a．16．点A在数轴上和原点相距3个单位长度，点B在数轴上和原点相距5个单位长度，则A，B两点之间的距离是3＋5或3－5．17．把下列各数分别填入相应的集合中．－15，39，π，3.14，－327，0，－5.12345…，0.25，－32.
（1）有理数集合：
{－15，3.14，－327，0，0.25，…}；
（2）无理数集合：
{39，π，－5.12345…，－32，…}；（3）正实数集合：
{39，π，3.14，0.25，…}；（4）负实数集合：
{－15，－327，－5.12345…，－32，…}．
18．求下列各式中的实数x.
（1）|x|＝45；解：
x＝±45.
（2）|x－2|＝5.解：
x＝2±5.
19．计算：
（1）23＋32－53－32；解：
原式＝（2－5）3＋（3－3）2＝－33.
（2）|3－π|＋|4－π|.解：
原式＝π－3＋4－π＝1.
20．已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，求12ab＋c＋d5＋e2＋3f的值．解：
由题意可知ab＝1，c＋d＝0，e＝±2，f＝64，∴e2＝（±2）2＝2，3f＝364＝4.∴12ab＋c＋d5＋e2＋3f＝12＋0＋2＋4＝612.
综合题21．阅读下列材料：
如果一个数的n（n是大于1的整数）次方等于a，这个数就叫做a的n次方根，即xn＝a，则x叫做a的n次方根．如：
24＝16，（－2）4＝16，则2，－2是16的4次方根，或者说16的4次方根是2和－2；再如（－2）5＝－32，则－2叫做－32的5次方根，或者说－32的5次方根是－2.回答问题：
（1）64的6次方根是±2，－243的5次方根是－3，0的10次方根是0；
（2）归纳一个数的n次方根的情况．解：
当n为偶数时，一个正数的n次方根有两个，它们互为相反数；当n为奇数时，一个数的n次方根只有一个．负数没有偶次方根.0的n次方根是0.章末复习
（二） 实数分点突破知识点1 平方根、算术平方根、立方根1．（2017•泰州）2的算术平方根是（B）A．±2B.2C．－2D．22．（2018•铜仁）9的平方根是（C）A．3B．－3C．3和－3D．813．（2018•荆门）8的相反数的立方根是（C）A．2B.12C．－2D．－124．下列各式正确的是（A）A．±31＝±1B.4＝±2C.（－6）2＝－6D.3－27＝3
知识点2 实数的分类5．把下列各数分别填在相应的集合中：
5，－6，38，0，π5，3.1415926，227，－16，－234.1010010001…（相邻两个1之间依次多1个0）．
知识点3 相反数、绝对值、倒数6.9的倒数等于（D）A．3B．－3C．－13D.137．实数1－2的相反数是2－1，绝对值是2－1．
知识点4 无理数的估算及实数的大小比较8．（2018•贺州）在－1，1，2，2这四个数中，最小的数是（A）A．－1B．1C.2D．29．（2018•南通）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数－2，－1，0，1，2，则表示数2－5的点P应落在（B）A．线段AB上B．线段BO上C．线段OC上D．线段CD上
知识点5 实数的运算10．求下列各式的值：
（1）（2017•广州期末）38－9；解：
原式＝2－3＝－1.
（2）（2017•南宁期末）－32＋|2－3|－（－2）2；解：
原式＝－9＋3－2－2＝－8－2.
（3）121＋7×（2－17）－31000.解：
原式＝11＋27－1－10＝27.
易错题集训11．下列说法正确的是（D）A．－4没有立方根B．1的立方根是±1C.136的立方根是16D．－5的立方根是3－512．下列说法中，正确的有（B）①只有正数才有平方根；②a一定有立方根；③－a没意义；④3－a＝－3a；⑤只有正数才有立方根．A．1个B．2个C．3个D．4个
常考题型演练13．关于12的叙述，错误的是（A）A.12是有理数B．面积为12的正方形边长是12C.12在3与4之间D．在数轴上可以找到表示12的点14．（2017•钦州期末）下列说法：
①一个数的平方根一定有两个；②一个正数的平方根一定是它的算术平方根；③负数没有立方根．其中正确的有（A）A．0个B．1个C．2个D．3个15．（易错题）如果一个实数的算术平方根等于它的立方根，那么满足条件的实数有（C）A．0个B．1个C．2个D．3个16．已知30.5≈0.7937，35≈1.7100，那么下列各式正确的是（B）A.3500≈17.100B.3500≈7.937C.3500≈171.00D.3500≈79.3717．写出3－9到23之间的所有整数：
－2，－1，0，1，2，3，4．18．（2018•东莞）一个正数的平方根分别是x＋1和x－5，则x＝2．19．如图所示，把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是－4π．20．
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