求数列通项公式的6种方法.docx
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求数列通项公式的6种方法
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）
总述：
一•利用递推关系式求数列通项的7种方法：
累加法、
累乘法、
待定系数法、
倒数变换法、
由和求通项
定义法
（根据各班情况适当讲）
二。
基本数列：
等差数列、等比数列。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：
累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三•求数列通项的方法的基本思路是：
把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数
列。
四•求数列通项的基本方法是：
累加法和累乘法。
五•数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
1•适用于：
an^an-f（n）这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
例1已知数列｛务｝满足an^an2nT,ai=1，求数列｛a.｝的通项公式。
解：
由ani=an，2n1得ani-a*=2n1则
an=（an-an4）（an4—anQ川（a3-a2）（a2-ai）ai
二[2（n-1）1][2（n-2）1]|l|（221）（211）1
=2[（n-1）（n-2）丨1|21]（n-1）1
=2此型（n-1）1
2
-（n-1）（n1）1
二n2
2所以数列｛an｝的通项公式为an=n。
例2已知数列｛务｝满足an—an23n1,內=3，求数列｛%｝的通项公式。
解法一：
由an=an23n1得an1-an=23n1则
答案：
裂项求和
an
1
=2——
n
评注：
已知％=a,an卑—an=f（n），其中f（n）可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an.
1若f（n）是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
2若f（n）是关于n的二次函数，累加后可分组求和；
3若f（n）是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
4若f（n）是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
二、累乘法
1.适用于：
an-二f（n）an这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。
2•若加=f（n），则电二f⑴，鱼二f
（2）=f（n）
ana-ia2an
n
两边分别相乘得，也二ai|丨f（k）aik4
例4•设&•是首项为i的正项数列，且n•1a爲一naj•an.他=0（n=-,2,3,•••）,
则它的通项公式是an=.
an1_n
手an>0（n乏N），；（n+1）an^—nan=0,即ann十1
-n-2时,
an_n_1
an4n
an4
an-2
皂a1口.心：
—丄
a1=nn-12=n
评注：
本题是关于an和an1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到
an与an1的更为明显的关系式，从而求出
练习.已知（n-1）ani=nan®=1,求数列｛an｝的通项公式
三、待定系数法适用于an1=qan•f（n）
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1.形如an7,（*0，其中3二a）型
例6已知数列｛an｝中，a1=1,a^2an二1（n丄2），求数列an/的通项公式。
解法一：
Va^2anj1（n一2）,
.an1=2（an」1）
又7a1^2r：
an1是首项为2,公比为2的等比数列
.an•1=2n，即an=2n-1
解法二：
：
an=2anJ-1（n一2）,
a.1=2an1
两式相减得an1-an=2（an-and）（n-2），故数列玄计-aj是首项为2，公比为2的等
比数列，再用累加法的
练习.已知数列｛an｝中,
1
a^-2,an-1an
2
1、n4
an）1
答案：
2
n
2•形如：
an厂Panq
（其中q是常数，且n0,1）
__n
①若P=1时，即：
an1_anq，累加即可.
亠n
②若P^1时，即：
an1-P°nq,
n1
求通项方法有以下三种方向：
i.两边同除以p.目的是把所求数列构造成等差数列
nl二丄■
（2）n
即:
an1
p
an
1
n1
—
n
q
q
q
q
pq，然后类型i，累加求通项.
banbPb1
bnnbn1bn
令q,则可化为qq.然后转化为类型5来解，
iii.待定系数法：
目的是把所求数列构造成等差数列
设an1•■q二p（an•■）.通过比较系数，求出’，转化为等比数列求通项
注意：
应用待定系数法时，要求p=q,否则待定系数法会失效。
例7已知数列｛an｝满足an1=2an43，ai=1，求数列处的通项公式。
解法一（待定系数法）：
设an1•'l3='2（an•'3_1），比较系数得\=-4,'2=2，
则数列G一43'是首项为ai一4一5，公比为2的等比数列，
n二ndn」nV
所以习一43=一5'2，即an=43一52
an出2a.4
解法二（两边同除以q）：
两边同时除以3得：
3333，下面解法略
**3•形如an1二pan•kn•b（其中k,b是常数，且k=0）
例8在数列｛an｝中，a1二1,an1=3an2n，求通项an.（逐项相减法）
n启2时an=3an」+2（n—。
**5.形如an2=pa*1■qan时将an作为f（n）求解
分析：
原递推式可化为an£卅=（P+X）（an4!
+?
-an）的形式，比较系数可求得人，数列
、ani."uan”‘为等比数列。
例11已知数列｛an｝满足an2=5an1-6%,印=-1,去=2，求数列｛an｝的通项公式。
解.设务2'an1=（5'）（an1'an）
比较系数得几=-3或丸=-2，不妨取几=-2,（取-3结果形式可能不同，但本质相同）
则an2-2an1=3（an1-2务），则玄彳-2寺餐是首项为4，公比为3的等比数列
an斗—2an=43nJL所以务=43心—52n°
练习数列｛an｝中，若a1=8,a2=2,且满足an2—4an1'3an=0,求务
四、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
2a
例16已知数列｛an｝满足an1n,印=1，求数列｛an｝的通项公式。
an+2
解：
求倒数得
1
an1
1+丄八丄一丄』,,•
2a/an1an2’
—为等差数列,
.an1an.1
首项
公差为-,
2
an
五、由和求通项
2
已知数列｛an｝的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn=3n-2n,印=2求数列｛a.｝的通项公式。
1
例19已知数列｛an｝的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn（an1）（an-2），且a2,a4,a9成
6
等比数列，求数列｛an｝的通项公式。
1
解：
•••对任意n三N有sn（an1）（an-2）⑴
6
1
•••当n=1时，S,=印（a「1）（a「2），解得a,=1或印=2
6
1
当n>2时，Sn二@厂1）（务八2）⑵
6
⑴-⑵整理得：
（anVn/an-ann-3）=0
-｛a*｝各项均为正数，•a*—a*4=3
2
当a=1时，an=3n_'2，此时a4a?
a9成立
2
当q=2时，an=3n-1，此时a4=a?
a9不成立，故a所以an=3n-2
12
练习。
已知数列｛an｝中，an0且Sn何“）2,求数列｛an｝的通项公式•
2
答案：
Sn-Sn二二an&-=何41）2a^2门-1
定义法
13
16.已知等比数列〈an?
的公比q=3，前3项和S3：
3
（I）求数列订鳥的通项公式；
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