1、求数列通项公式的6种方法求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细)总述:一利用递推关系式求数列通项的 7种方法:累加法、累乘法、待定系数法、倒数变换法、由和求通项定义法(根据各班情况适当讲)二。基本数列:等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和 累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三求数列通项的方法的基本思路是: 把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列。四求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。五数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1 适用于:anan - f(n) 这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之
2、一。例1已知数列务满足an an 2n T, ai =1,求数列a.的通项公式。解:由 ani=an,2n 1 得 ani-a* =2n 1 则an =(an -an4)(an4 anQ 川 (a3 -a2)(a2 - ai) ai二2(n-1)1 2( n-2) 1 |l| (2 2 1) (2 11)1=2(n -1) (n -2)丨1| 2 1 (n -1) 1=2此型(n-1) 12-(n -1)(n 1)1二 n22 所以数列an的通项公式为an = n。例2已知数列务满足anan 2 3n1,內=3,求数列%的通项公式。解法一:由 an= an23n1 得 an 1- an= 2
3、3n 1 则答案:裂项求和an1=2n评注:已知=a,an卑an = f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函 数、分式函数,求通项 an.1若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和 ;2若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和 ;3若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和 ;4若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。二、累乘法1.适用于: an -二f (n )an 这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2若加=f( n),则电二 f ,鱼二 f(2) = f (n)an a-i a2 ann两边分别相乘得,也二a
4、i |丨f (k) ai k 4例4设&是首项为i的正项数列,且 n 1 a爲一 naj an .他=0( n=- , 2, 3,),则它的通项公式是 an= .an 1 _ n手 an 0( n 乏 N ),;(n+1) an nan = 0,即 an n十1-n - 2时,an_ n _1an4 nan 4an -2皂a1 口 .心:丄a1 = n n-1 2=n评注:本题是关于an和an 1的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到an与an1的更为明显的关系式,从而求出练习.已知(n - 1)an i = nan =1,求数列 an的通项公式三、待定系数法 适用于an1
5、 =qan f(n)基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一 个函数。1 .形如 an 7,(* 0,其中 3 二 a)型例6已知数列an中,a1 =1,a 2an二1(n丄2),求数列 an / 的通项公式。解法一:Va2anj 1(n 一2),.an 1 =2(an1)又7a12r:an1是首项为2,公比为2的等比数列.an 1 =2n,即 an =2n -1解法二:an =2anJ-1(n 一2),a. 1 =2an 1两式相减得an 1 -an =2(an - and)(n - 2),故数列 玄计-aj是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法
6、的练习.已知数列an中,1a - 2, an -1 an21、n 4an ) 1答案: 2n2 形如:an厂P an q(其中q是常数,且n 0,1)_ n若P=1时,即:an 1 _an q,累加即可.亠 n若 P 1时,即:an 1 - P n q,n 1求通项方法有以下三种方向:i.两边同除以p .目的是把所求数列构造成等差数列n l 二丄(2)n即:an 1pan1n 1nqqqqp q ,然后类型i,累加求通项.ban b P b1bn n bn 1 bn令 q,则可化为 q q.然后转化为类型5来解,iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列设an 1 q二p(an ).通
7、过比较系数,求出,转化为等比数列求通项注意:应用待定系数法时,要求 p=q,否则待定系数法会失效。例7已知数列an满足an 1 = 2an 43 ,ai= 1,求数列处的通项公式。解法一(待定系数法):设an 1 l3 = 2(an 3_1),比较系数得 = -4, 2 =2,则数列G 一4 3是首项为ai一4 一5,公比为2的等比数列,n二 nd n nV所以习 一4 3 = 一52,即 an =4 3一5 2an出 2 a. 4解法二(两边同除以q):两边同时除以3得:3 3 3 3,下面解法略*3 形如 an1二 pan kn b (其中 k,b 是常数,且 k = 0)例8在数列an中
8、,a1二1, an1 =3an 2n,求通项an.(逐项相减法)n 启2 时 an = 3an+2( n。*5.形如an 2 = pa* 1 qan时将an作为f (n)求解分析:原递推式可化为 an 卅=(P +X)(an4! +?-an)的形式,比较系数可求得 人,数列、an i.uan”为等比数列。例11已知数列an满足an 2=5an 1 -6%,印=-1,去=2,求数列an的通项公式。解.设务 2 an 1 = (5)(an 1 an)比较系数得 几=-3或丸=-2,不妨取几=-2,(取-3结果形式可能不同,但本质相同)则an 2-2an 1=3(an 1 - 2务),则玄彳- 2寺
9、餐是首项为4,公比为3的等比数列an斗2an =4 3nJL所以务=4 3心5 2n练习数列 an中,若a1=8, a2 = 2 ,且满足an 2 4an 1 3an = 0,求务四、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项2a例16已知数列an满足an 1 n,印=1,求数列an的通项公式。an+2解:求倒数得1an 11+丄八丄一丄,2 a/ an 1 an 2为等差数列,.an 1 an .1首项公差为-,2an五、由和求通项2已知数列an的各项均为正数,且前 n项和Sn满足Sn = 3n - 2n,印=2求数列a.的通项公式。1例19已知数列an的各项均为正数,且前 n项和S
10、n满足Sn (an 1)(an - 2) ,且 a2, a4, a9 成6等比数列,求数列an的通项公式。1解:对任意n三N有sn (an 1)(an- 2) 61当 n=1 时,S,=印 (a1)(a2),解得 a, =1 或印=261当n2时,Sn二 厂1)(务八2) 6-整理得:(an Vn/an-ann-3) =0-a*各项均为正数, a* a* 4 = 32当 a =1 时,an=3n_2,此时 a4 a?a9 成立2当q = 2时,an= 3n -1,此时a4 = a?a9不成立,故ai = 2舍去所以 an=3n -21 2练习。已知数列an中,an 0且Sn 何“)2,求数列an的通项公式2答案:Sn -Sn 二二 an & - =何 4 1)2 a 2 门-1定义法1316 .已知等比数列an?的公比q=3,前3项和S3:3(I)求数列订鳥的通项公式;
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