第四章动量守恒.ppt

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1笫四章动量定理笫四章动量定理动量与动量定理；动量与动量定理；质心与质心运动定理；质心与质心运动定理；动量守恒定律；动量守恒定律；变质量物体的运动变质量物体的运动.目录目录近代科学的始祖近代科学的始祖笛卡儿笛卡儿哲学原理哲学原理2引言引言动力学问题运动学问题动力学问题运动学问题力的瞬时效果力的位置函数力的瞬时效果力的位置函数牛顿定律适用质点，应用于质点系存在困难；牛顿定律适用质点，应用于质点系存在困难；引进新概念和物理量该量新规律引进新概念和物理量该量新规律？

关系？

关系三大定理与守恒定律（普遍定理）三大定理与守恒定律（普遍定理）动力学普遍定理及守恒律（动力学普遍定理及守恒律（动量定理、能量定理、角动量定理动量定理、能量定理、角动量定理）：

建立了）：

建立了表现运动特征的量（动量、能量、角动量）和表现表现运动特征的量（动量、能量、角动量）和表现力作用效果的量（冲量、功、冲量矩）之间的关系；力作用效果的量（冲量、功、冲量矩）之间的关系；普遍定理及守恒律应用：

解决实际问题时，不仅运算简单，而且各个量都具有明确的物理意义，便于深入研究普遍定理及守恒律应用：

解决实际问题时，不仅运算简单，而且各个量都具有明确的物理意义，便于深入研究范围更广范围更广的运的运动规律。

动规律。

（,）mrfrrt=rvvv&累积效果空间时间力作用效果量表现运动特征量MAJLEp3动量与动量定理动量与动量定理动量动量是描述一定运动状态下物体“是描述一定运动状态下物体“运动量运动量”的概念，比速”的概念，比速度更能全面、确切地反映物体的运动状态，称为度更能全面、确切地反映物体的运动状态，称为状态量状态量。

牛顿第二定律牛顿第二定律作用在质点上的外力等于质点动量随时间的变化率。

作用在质点上的外力等于质点动量随时间的变化率。

pmv=vv一、动量一、动量定义动量：

定义动量：

牛顿定律表明，力的牛顿定律表明，力的瞬时效应瞬时效应是受力物体获得是受力物体获得加速度加速度，而，而任何运动必定经历空间和时间。

因此，应用牛顿定律于质点组任何运动必定经历空间和时间。

因此，应用牛顿定律于质点组，研究，研究力作用的时间累积效应与空间累积效应力作用的时间累积效应与空间累积效应，从中寻求某些，从中寻求某些规律，便成为动力学理论进一步向前发展的一个方向。

规律，便成为动力学理论进一步向前发展的一个方向。

dtpddtvmdF）（4二、质点动量定理二、质点动量定理221121（）tptpFtdtdppp=-蝌vvvvvvdpFdt=vv由由Fdtdp=rv动量定理动量定理微分形式微分形式定义定义dJ=Fdt为力的元冲量，则冲量为力的元冲量，则冲量J为力对时间的积分为力对时间的积分（）2121dtttJFtmvmv=-rvrr动量定理动量定理积分形式积分形式动量定理常用于碰撞过程动量定理常用于碰撞过程,在碰撞、打击瞬间用平均冲在碰撞、打击瞬间用平均冲力概念力概念21211（）ttpFFtdttttD=-D5三、质点系动量定理三、质点系动量定理1.1.对两质点系统对两质点系统（如如图图）内力：

内力：

外力：

外力：

1Fv21Fv2Fv12Fv1122考虑牛顿笫三定律，考虑牛顿笫三定律，

（1）+

（2）得得:

12FFrr、1221FFrr、质点质点1质点质点2）（11211FFp22212pFF=+vvv&（）2121FFpp21021221121ttexexexPPdtFdtPdFFFFvmvmppP或62.2.对多质点系统对多质点系统质点系的动量定理质点系的动量定理作用于系统的作用于系统的合外力合外力在一段时间在一段时间内的内的总冲量总冲量等于系统等于系统动量动量的的增量。

增量。

设质点组由设质点组由N个质点组成，对第个质点组成，对第i个质点应用动量定理，有个质点应用动量定理，有对所有质点的动量定理表式求和，则有对所有质点的动量定理表式求和，则有由于所有内力的矢量和为零，即由于所有内力的矢量和为零，即nnnnnnnFFFFpFFFFpFFFFp.32122322121131211,1,10nmijijF=r1212.nnpppFFF+=+vvvvvv&01101nniiitiiexexntexiiPpmvdPFFdtPPdtFF=-=邋rrrrrrrrrr或7

（2）系统系统内力内力不改变系统总动量，但可使系统内各质点的不改变系统总动量，但可使系统内各质点的动量变化；动量变化；

（1）只有只有外力外力对系统动量的对系统动量的增量增量有有贡献；贡献；说明：

说明：

动量定理动量定理与与牛顿定律牛顿定律的关系：

的关系：

对一个质点，牛顿定律表示的是力的对一个质点，牛顿定律表示的是力的瞬时效应瞬时效应，而动，而动量定理表示的是力对时间的量定理表示的是力对时间的积累效果积累效果；牛顿定律只适用于牛顿定律只适用于质点质点，不能直接用于质点系，而动，不能直接用于质点系，而动量定理可适用于量定理可适用于质点系质点系；牛顿定律和动量定理都只适用于牛顿定律和动量定理都只适用于惯性系惯性系，要在，要在非惯性非惯性系系中应用动量定理，必须考虑中应用动量定理，必须考虑惯性力的冲量惯性力的冲量。

在无限小的时间间隔内：

在无限小的时间间隔内：

.质点系动量定质点系动量定理的微分形式理的微分形式PddtFexdtPdFex8例题例题4.1、如图，小球如图，小球m自由落体自由落体h距离，能将重距离，能将重物物M提升到多少高度提升到多少高度?

解：

设绳子为柔软钢丝绳，全过程分为解：

设绳子为柔软钢丝绳，全过程分为三段分析：

三段分析：

软绳由松到紧，软绳由松到紧，M不动，小不动，小球球自由下落，获得末速度自由下落，获得末速度2vgh=软绳被绷紧，在此瞬间软绳被绷紧，在此瞬间m,M均受到绳子张力均受到绳子张力T的作用，的作用，达达到同一末速度到同一末速度V。

MmhmM1T2T1G2G9解出：

解出：

根据动量定理有根据动量定理有m、M一同运动，位移一同运动，位移H，应用匀加速直线运动公式，应用匀加速直线运动公式以及第二定律，有以及第二定律，有（）22vas=mvVmM=+tTMVtTmvmV0）（HMMgTVHmTmgV）（20）（2-0221）（222222mMhhmMmgVmMmMH10分析：

这是一个分析：

这是一个质点系质点系的动量问题，可用的动量问题，可用体系动量定理体系动量定理求解求解。

例题例题4.2、柔软链条自桌上小孔自由下落，求下落速度、柔软链条自桌上小孔自由下落，求下落速度与落下距离之间关系。

与落下距离之间关系。

根据根据Fex=dP/dt得得yOyymyvvmpyggmFyyexdyyvdvdydydtyvdyg）（）（解：

如图，建立坐标系解：

如图，建立坐标系,令线密度令线密度,则在某时刻则在某时刻11两端同乘以两端同乘以y：

两端积分：

两端积分：

得：

得：

yOyym）（yvvdygdy）（2yvyvddygyyyvyvyvddyyg002）（23）（2131yvgy21）32（gyv124.3、长为长为l，线密度为，线密度为的柔软绳索，原先两端的柔软绳索，原先两端A、B并合一起，悬挂在支点上并合一起，悬挂在支点上，现让，现让B端支点自由下落，求当端支点自由下落，求当B端下落了端下落了x时，支点上所受的力？

时，支点上所受的力？

解：

整条绳索作为解：

整条绳索作为体系体系，受到，受到重力重力（向下）和支点的（向下）和支点的拉力拉力（向上）两个外力作用。

在合力作用下，体系的动量不断变化。

（向上）两个外力作用。

在合力作用下，体系的动量不断变化。

体系的动量体系的动量也就是右半部分绳索的动量。

由于右半部分（未成为左半部分）的运动不受左半部分影响，并作自由落体运动。

也就是右半部分绳索的动量。

由于右半部分（未成为左半部分）的运动不受左半部分影响，并作自由落体运动。

）（）（2232lglg232lglg,2222下落的拖力左半重力则动量定理gxgxlgxFgxglFdtdPF：

gdtdvgxvdtdxdtdvxldtdxvdtdPvxlPTTT说明：

说明：

（1）质点系动量定理可用来直接用于牛顿定律所不能解决的问题；）质点系动量定理可用来直接用于牛顿定律所不能解决的问题；

（2）后面再从另一角度来讨论这个问题。

）后面再从另一角度来讨论这个问题。

AABBvvxxl=（l-x）/2l=（l-x）/2xx132.质心与质心运动定律质心与质心运动定律一、质心一、质心质心位置质心位置及其求法：

及其求法：

质点系动量定理的微分形式：

质点系动量定理的微分形式：

对质点系而言存在一个特殊点对质点系而言存在一个特殊点c，满足，满足是该特殊点的加速度，是该特殊点的加速度，c称为称为质心质心cFMa=rrcar：

两个质点组成的体系两个质点组成的体系（）112211221212mamaFmamammmm+=+=+rrrrr从从总体总体反映反映质点系质点系运动的运动的宏观特点宏观特点，需要引入，需要引入质心质心概念概念,并讨论并讨论质心运动质心运动具有的若干独特的规律。

具有的若干独特的规律。

（）2112212212mrmrdmmdtmm骣+=+琪+桫rriipdtddtPdF14可见质心位矢是可见质心位矢是质点位矢的带权平均值质点位矢的带权平均值，这个“权”与质点的，这个“权”与质点的质量分布位置有关。

质量分布位置有关。

由此得由此得112212cmrmrrmm+=+rrrn个质点系统个质点系统iiiciimrrm=rr分量形式分量形式iiiiiiiiiccciiiiiimxmymzxyzmmm=邋邋15对质量连续分布的物体，其质心位矢由上式推广得对质量连续分布的物体，其质心位矢由上式推广得crdmrdVrdmdVrr=蝌蝌rrr分量形式为分量形式为cccxdmydmzdmxyzdmdmdm=蝌蝌若一个物体由若一个物体由AA、BB两部分组成，依质心两部分组成，依质心xyz方向表达式方向表达式分别改写为分别改写为iiiiiiABciiiABmxmxmxXmmm+=+邋邋16（）（）AABBcccABZmZmZmm+=+（）（）AABBcccABYmYmYmm+=+同样同样YY、ZZ方向质心位置分别为方向质心位置分别为质心的性质只有在体系的质心的性质只有在体系的运动运动与与外力外力的的关系关系中才体现出来。

中才体现出来。

因此，因此，质心质心并不是一个并不是一个几何学几何学或或运动学运动学的概念，而是一个的概念，而是一个动力动力学学概念。

概念。

（）（）iiiiABABABAcABcBcABABmxmxmmmmXmXmXmmmm轾轾+犏犏+犏犏臌臌=+邋17例题例题4.3求半径为求半径为a的均质半圆球的质心的均质半圆球的质心.解：

如图，以球心解：

如图，以球心O为原点建立坐标系为原点建立坐标系.将半球体划分为若干半径为将半球体划分为若干半径为r厚为厚为dz的薄圆平板状体积元的薄圆平板状体积元dV.而而xzsinaqcosaqOa设，则设，则cosuq=dzrdV2cossinazar）（cos）cos1（）cos（）sin（232daadadVauuaauduuaVzdVdVzdVzVVc83422332）1（1041023102418例题例题4.4如图，在半径为如图，在半径为R的均质等厚大圆板的一侧挖掉的均质等厚大圆板的一侧挖掉半径为半径为R/2的小圆板，大小圆板相切，求余下部分的质心。

的小圆板，大小圆板相切，求余下部分的质心。

解：

选择如图坐标系，考虑对称性，余解：

选择如图坐标系，考虑对称性，余下部分质心的下部分质心的y坐标为零，仅需求坐标为零，仅需求x坐坐标标大圆板质量为大圆板质量为，质心坐标为质心坐标为xc=0小圆板质量为，小圆板质量为，质心坐标为质心坐标为x1c=R/2余下的质量为，质心坐标用余下的质量为