C语言中超大整数乘法运算.docx
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C语言中超大整数乘法运算
C语言中超大整数乘法运算
在计算机中，长整型（longint）变量的范围是-48至47，因此若用长整型变量做乘法运算，乘积最多不能超过10位数。
即便用双精度型（double）变量，也仅能保证16位有效数字的精度。
在某些需要更高精度的乘法运算的场合，需要用别的办法来实现乘法运算。
比较容易想到的是做多位数乘法时列竖式进行计算的方法，只要写出模拟这一过程的程序，就能实现任意大整数的乘法运算。
经过查阅资料，找到一种更易于编程的方法，即“列表法”。
下面先介绍“列表法”：
例如当计算8765x234时，把乘数与被乘数照如下列出，见表1：
把表1中的数按图示斜线分组（横纵坐标和相等的数分为一组），把每组数的累加起来所得的和记在表格下方，见表2：
从最低位的20开始，保留个位数字“0”，把个位以外的数“2”进到前一位；把次低位的39加上低位进上来的2得41，保留个位数字“1”，把“4”进到前一位；以此类推，直至最高位的16，16加上低位进上来的4得20，保留“0”，把2进到最高位，得乘积答数2051010。
根据以上思路就可以编写C程序了，再经分析可得：
1、一个m位的整数与一个n位的整数相乘，乘积为m+n-1位或m+n位。
2、程序中，用三个字符数组分别存储乘数、被乘数与乘积。
由第1点分析知，存放乘积的字符数组
的长度应不小于存放乘数与被乘数的两个数组的长度之和。
3、可以把第二步“计算填表”与第三四步“累加进位”放在一起完成，可以节省存储表格2所需的空间。
4、程序关键部分是两层循环，内层循环累计一组数的和，外层循环处理保留的数字与进位。
编写的程序如下：
#defineMAXLENGTH1000
#include<>
#include<>
voidcompute（char*a,char*b,char*c）;
voidmain（void）
{
chara[MAXLENGTH],b[MAXLENGTH],c[MAXLENGTH*2];
puts（"Inputmultiplier:
"）;
gets（a）;
puts（"Inputmultiplicand:
"）;
gets（b）;
compute（a,b,c）;
puts（"Answer:
"）;
puts（c）;
getchar（）;
}
voidcompute（char*a,char*b,char*c）
{
inti,j,m,n;
longsum,carry;
m=strlen（a）-1;
n=strlen（b）-1;
for（i=m;i>=0;i--）
a[i]-='0';
for（i=n;i>=0;i--）
b[i]-='0';
c[m+n+2]='\0';
carry=0;
for（i=m+n;i>=0;i--）/*i为坐标和*/
{
sum=carry;
if（（j=i-m）<0）
j=0;
for（;j<=i&&j<=n;j++）/*j为纵坐标*/
sum+=a[i-j]*b[j];/*累计一组数的和*/
c[i+1]=sum%10+'0';/*算出保留的数字*/
carry=sum/10;/*算出进位*/
}
if（（c[0]=carry+'0'）=='0'）/*ifnocarry,*/
c[0]='\040';/*c[0]equalstospace*/
}
效率分析：
用以上算法计算m位整数乘以n位整数，需要先进行mxn次乘法运算，再进行约m+n次加法运算和m+n次取模运算（实为整数除法）。
把这个程序稍加修改，让它自己产生乘数与被乘数，然后计算随机的7200位整数互乘，在Cyrix6x86pr166机器的纯DOS方式下耗时7秒（用Borland编译）。
经过改进，此算法效率可以提高约9倍。
注意到以下事实：
8216547x96785将两数从个位起，每3位分为节，列出乘法表，将斜线间的数字相加；
8216547
96785
将表中最后一行进行如下处理：
从个位数开始，每一个方格里只保留三位数字，超出1000的部
分进位到前一个方格里；
所以8216547x96785=1395
也就是说我们在计算生成这个二维表时，不必一位一位地乘，而可以三位三位地乘；在累加时也是满1000进位。
这样，我们在计算m位整数乘以n位整数，只需要进行mxn/9次乘法运算，再进行约（m+n）/3次加法运算和（m+n）/3次取模运算。
总体看来，效率约是前一种算法的9倍。
有人可能会想：
既然能够三位三位地乘，为什么不4位4位甚至5位5位地乘呢那不是可以提高16乃至25倍效率吗听我解来：
本算法在累加表中斜线间的数字时，如果用无符号长整数（范围0至~95）作为累加变量，在最不利的情况下（两个乘数的所有数字均是9），能够累加约95/（999*999）=4300次，也就是能够准确计算任意两个均不超过12900（每次累加的结果"值"三位，故4300*3=12900）位的整数相乘。
如果4位4位地乘，在最不利的情况下，能够累加约95/（9999*9999）=43次，仅能够确保任意两个不超过172位的整数相乘，没有什么实用价值，更不要说5位了。
请看改进后的算法的实例程序：
该程序随机产生两个72xx位的整数，把乘数与积保存在中。
在BorlandC++中用
BCC-3-O2-G-mh-Z-f287-pr-T-编译生成的exe文件在Cyrix6x86pr166的机器上运行耗时秒。
程序2清单：
#include<>
#include<>
#include<>
#include<>
#include<>
#defineN7200//作72xx位的整数乘法
intmax（int,int,int）;
intinitarray（inta[]）;
voidwrite（inta[],intl）;
FILE*fp;
voidmain（）
{
inta[5000]={0},b[5000]={0},k[10001]={0};//声明存放乘数、被乘数与积的数组
clock_tstart,end;//声明用于计时的变量
unsignedlongc,d,e;//声明作累加用的无符号长整数变量
inti,j,la,lb,ma,mi,p,q,t;//声明其它变量
randomize（）;//初始化随机数
la=initarray（a）;//产生被乘数，并返回其长度
lb=initarray（b）;//产生乘数，并返回其长度
if（la{
p=（lb>la）lb:
la;
for（q=0;qt=a[q],a[q]=b[q],b[q]=t;
t=la,la=lb,lb=t;//交换被乘数的长度与乘数的长度
}
start=clock（）;//开始计时
c=d=0;//清空累加变量，其中C用于累加斜线间的数，d用作进位标志
for（i=la+lb-2;i>=0;i--）//累加斜线间的数，i为横纵坐标之和
{
c=d;//将前一位的进位标志存入累加变量c
ma=max（0,i-la+1,i-lb+1）;//求累加的下限
mi=（i>la-1）（la-1）:
i;//求累加的上限
for（j=ma;j<=mi;j++）//计算出横纵坐标之和为i的单元内的数,并累加到C中
c+=（long）a[j]*b[i-j];
d=c/1000;//求进位标志
if（c>999）
c%=1000;//取c的末三位
k[i]=c;//保存至表示乘积的数组k[]
}
e=k[0]+1000*d;//求出乘积的最高位
end=clock（）;//停止计时
fp=fopen（"","w+"）;//保存结果到
printf（"\nTheelapsedtimewas:
%\n",（end-start）/CLK_TCK）;
//打印消耗的时间
fprintf（fp,"%d",a[0]）;//打印被乘数最高位
write（a,la）;//打印被乘数其他位
fprintf（fp,"%d",b[0]）;//打印乘数最高位
write（b,lb）;//打印乘数其他位
fprintf（fp,"%ld",e）;//打印乘积最高位
write（k,la+lb-1）;//打印乘积其他位
fclose（fp）;
}
max（inta,intb,intc）
{
intd;
d=（a>b）a:
b;
return（d>c）d:
c;
}
intinitarray（inta[]）
{
intq,p,i;
q=N+random（100）;
if（q%3==0）
p=q/3;
else
p=q/3+1;
for（i=0;ia[i]=random（1000）;
if（q%3==0）
a[0]=100+random（900）;
if（q%3==2）
a[0]=10+random（90）;
if（q%3==1）
a[0]=1+random（9）;
returnp;
}
voidwrite（inta[],intl）
{
inti;
charstring[10];
for（i=1;i{
itoa（a[i],string,10）;
if（strlen（string）==1）
fprintf（fp,"00"）;
if（strlen（string）==2）
fprintf（fp,"0"）;
fprintf（fp,"%s",string）;
if（（i+1）%25==0）
fprintf（fp,"\n"）;
}
fprintf（fp,"\n"）;
fprintf（fp,"\n"）;
}
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