C语言中超大整数乘法运算.docx

1、C语言中超大整数乘法运算C语言中超大整数乘法运算在计算机中，长整型(long int)变量的范围是 -48 至 47，因此若用长整型变量做乘法运算，乘积最多不能超过 10位数。即便用双精度型(double)变量，也仅能保证 16 位有效数字的精度。在某些需要更高精度的乘法运算的场合，需要用别的办法来实现乘法运算。 比较容易想到的是做多位数乘法时列竖式进行计算的方法，只要写出模拟这一过程的程序，就能实现任意大整数的乘法运算。经过查阅资料，找到一种更易于编程的方法，即“列表法”。 下面先介绍“列表法”： 例如当计算8765 x 234时，把乘数与被乘数照如下列出，见表1： 把表1中的数按图示斜线分

2、组（横纵坐标和相等的数分为一组），把每组数的累加起来所得的和记在表格下方，见表 2：从最低位的 20 开始，保留个位数字“0”，把个位以外的数“2”进到前一位；把次低位的 39 加上低位进上来的 2 得 41，保留个位数字“1”，把“4”进到前一位；以此类推，直至最高位的 16，16 加上低位进上来的4得 20，保留“0”，把2进到最高位，得乘积答数 2051010。 根据以上思路就可以编写C 程序了，再经分析可得： 1、一个m 位的整数与一个 n 位的整数相乘，乘积为m+n-1 位或m+n 位。 2、程序中，用三个字符数组分别存储乘数、被乘数与乘积。由第 1 点分析知，存放乘积的字符数组的长

3、度应不小于存放乘数与被乘数的两个数组的长度之和。 3、可以把第二步“计算填表”与第三四步“累加进位”放在一起完成，可以节省存储表格 2所需的空间。 4、程序关键部分是两层循环，内层循环累计一组数的和，外层循环处理保留的数字与进位。 编写的程序如下： #define MAXLENGTH 1000 #include #include void compute(char *a, char *b, char *c); void main(void) char aMAXLENGTH, bMAXLENGTH, cMAXLENGTH * 2; puts(Input multiplier :); gets(a

4、); puts(Input multiplicand :); gets(b); compute(a, b, c); puts(Answer :); puts(c); getchar(); void compute(char *a, char *b, char *c) int i, j, m, n; long sum, carry; m = strlen(a) - 1; n = strlen(b) - 1; for (i = m; i = 0; i-) ai -= 0; for (i = n; i = 0; i-) bi -= 0; cm + n + 2 = 0; carry = 0; for

5、(i = m + n; i = 0; i-) /* i 为坐标和 */ sum = carry; if (j = i - m) 0) j = 0; for ( ; j=i & j=n; j+) /* j 为纵坐标 */ sum += ai-j * bj; /* 累计一组数的和 */ ci + 1 = sum % 10 + 0; /* 算出保留的数字 */ carry = sum / 10; /* 算出进位 */ if (c0 = carry+0) = 0) /* if no carry, */ c0 = 040; /* c0 equals to space */ 效率分析：用以上算法计算 m位

6、整数乘以n 位整数，需要先进行 m x n次乘法运算，再进行约 m + n次加法运算和 m + n次取模运算(实为整数除法)。把这个程序稍加修改，让它自己产生乘数与被乘数，然后计算随机的 7200位整数互乘，在Cyrix 6x86 pr166机器的纯DOS方式下耗时 7秒(用Borland 编译)。 经过改进，此算法效率可以提高约9 倍。 注意到以下事实：8216547 x 96785 将两数从个位起，每 3位分为节，列出乘法表，将斜线间的数字相加； 8 216 547 96 785将表中最后一行进行如下处理：从个位数开始，每一个方格里只保留三位数字，超出 1000 的部分进位到前一个方格里；

7、 所以8216547 x 96785 = 1395 也就是说我们在计算生成这个二维表时，不必一位一位地乘，而可以三位三位地乘；在累加时也是满1000进位。这样，我们在计算 m位整数乘以 n位整数，只需要进行 m x n / 9次乘法运算，再进行约(m + n) / 3次加法运算和(m + n) /3 次取模运算。总体看来，效率约是前一种算法的 9倍。 有人可能会想：既然能够三位三位地乘，为什么不4位 4位甚至5位5位地乘呢那不是可以提高 16 乃至 25 倍效率吗听我解来：本算法在累加表中斜线间的数字时，如果用无符号长整数(范围 0至95)作为累加变量，在最不利的情况下(两个乘数的所有数字均是

8、 9)，能够累加约95/(999*999)=4300 次，也就是能够准确计算任意两个均不超过 12900(每次累加的结果值三位，故 4300*3=12900)位的整数相乘。如果 4 位 4 位地乘，在最不利的情况下，能够累加约95/(9999*9999)=43 次，仅能够确保任意两个不超过 172 位的整数相乘，没有什么实用价值，更不要说5位了。 请看改进后的算法的实例程序： 该程序随机产生两个72xx位的整数，把乘数与积保存在 中。在Borland C+ 中用 BCC -3 -O2 -G -mh -Z -f287 -pr -T- 编译生成的exe文件在Cyrix 6x86 pr166的机器上

9、运行耗时 秒。 程序 2 清单： #include #include #include #include #include #define N 7200 /作 72xx 位的整数乘法 int max(int,int,int); int initarray(int a); void write(int a,int l); FILE *fp; void main() int a5000=0,b5000=0,k10001=0; /声明存放乘数、被乘数与积的数组 clock_t start, end; /声明用于计时的变量 unsigned long c,d,e; /声明作累加用的无符号长整数变量 i

10、nt i,j,la,lb,ma,mi,p,q,t; /声明其它变量 randomize(); /初始化随机数 la=initarray(a); /产生被乘数，并返回其长度 lb=initarray(b); /产生乘数，并返回其长度 if(lala)lb:la; for (q=0;q=0;i-) /累加斜线间的数，i 为横纵坐标之和c=d; /将前一位的进位标志存入累加变量 cma=max(0,i-la+1,i-lb+1); /求累加的下限mi=(ila-1)(la-1):i; /求累加的上限for(j=ma;j999)c%=1000; /取 c 的末三位ki=c; /保存至表示乘积的数组 ke

11、=k0+1000*d; /求出乘积的最高位end = clock();/停止计时fp = fopen(, w+); /保存结果到 printf(nThe elapsed time was: %n, (end - start) / CLK_TCK);/打印消耗的时间fprintf(fp,%d,a0); /打印被乘数最高位write(a,la); /打印被乘数其他位fprintf(fp,%d,b0); /打印乘数最高位write(b,lb); /打印乘数其他位fprintf(fp,%ld,e); /打印乘积最高位write(k,la+lb-1); /打印乘积其他位fclose(fp); max(i

12、nt a,int b,int c) int d; d=(ab)a:b; return (dc)d:c; int initarray(int a) int q,p,i; q=N+random(100); if(q%3=0) p=q/3; else p=q/3+1; for(i=0;ip;i+) ai=random(1000); if(q%3=0) a0=100+random(900); if(q%3=2) a0=10+random(90); if(q%3=1) a0=1+random(9); return p; void write(int a,int l) int i; char string10; for(i=1;il;i+) itoa(ai,string,10); if (strlen(string)=1) fprintf(fp,00); if (strlen(string)=2) fprintf(fp,0); fprintf(fp,%s,string); if(i+1)%25=0) fprintf(fp,n); fprintf(fp,n); fprintf(fp,n);