离散数学中与量词有关的推理规则.docx

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离散数学中与量词有关的推理规则

离散数学中与量词有关的推理规则

何自强

【摘要】清楚地叙述了自然推理系统中的存在量词消去规则和全称量词引入规则满足的条件,而这些条件在许多离散数学教科书中叙述得相当含糊.与某些教科书中存在量词消去规则只能用于无自由变元的公式不同,按照本文给出的条件,存在量词消去规则也可以用于有自由变元的公式,因而增强了系统的推理能力.引进了解释之间和赋值之间关于公式集的等价性,从而证明了系统是可靠的,即一个证明中的结论是其前提的逻辑推论.

【期刊名称】《北京航空航天大学学报》

【年（卷）,期】2000（026）004

【总页数】3页（P432-434）

【关键词】谓词逻辑;逻辑系统;离散数学;可靠性;量词

【作者】何自强

【作者单位】北京航空航天大学,计算机科学与工程系

【正文语种】中文

【中图分类】工业技术

2000年8月北京航空航天大学学报August2000第26卷第4期JoumalofBeijingUniversity《AeronauticsandAstronauhcsV01.26No.4==============================================================================离散数学中与量词有关的推理规则何自强（北京航空航天大学计算机科学与工程系）摘要：

清楚地叙述了自然推理系统中的存在量词消去规则和全称量词引入规则满足的条件，而这些条件在许多离散数学教科书中叙述得相当含糊．与某些教科书中存在量词消去规则只能用于无自由变元的公式不同，按照本文给出的条件，存在量词消去规则也可以用于有自由变元的公式，因而增强了系统的推理能力．引进了解释之间和赋值之间关于公式集的等价性，从而证明了系统是可靠的，即一个证明中的结论是其前提的逻辑推论．关键词：

谓词逻辑；逻辑系统；离散数学；可靠性；量词中图分类号：

0141.12文献标识码：

A文章编号：

1001-5965（2000）04-0432-03在许多离散数学教科书[l]~[51所使用的一阶逻辑自然推理系统中有四条关于量词的推理规则，即全称量词引入规则、全称量词消去规则、存在量词引入规则、存在量词消去规则，在全称量词引入规则和存在量词消去规则中，结论不是前提的逻辑推论，因此，使用它们时要十分小心，稍有不慎就会得出错误的结果．在某些数理逻辑教科书№3中给出了更为严格的自然推理系统．但是，这些系统不如离散数学教科书中给出的系统直观，不易为计算机专业本专科学生理解．为了既保留推理系统的直观性，又消除系统的不严格性，本文将给出使用这四条推理规则必须满足的条件，并证明该自然推理系统的可靠性．1自然推理系统一阶语言使用的符号、项和公式的定义、一阶语言的语义、一个项￡对于一个公式4中的变元戈可代入等概念及有关名词，请参阅文献[7]，本文不再赘述．为方便起见，把常元称为0元函数符号，把函数符号和谓词符号统称为非逻辑符号，如果变元石是公式集．r中的某个公式的自由变元，则称戈为r中的自由变元．从变元集到解释，的论域D，的函数称为，中赋值．若秽是解释，中赋值，d是J的论域D，中的元素，将变元戈的值改为d后由秽得到的，中赋值记为v[xldl.用A[xl￡]表示用项￡代人公式A中变元戈的所有自由出收稿日期：

1998-12-11作者简介：

何自强（1943-），男，北京人，副教授，100083，北京现后得到的公式，公式A在解释，和J中赋值∞下所代表的命题记为I（A）（口），若它是真命题，则记为I（A）（秽）=

1．如果对于公式集r中的每个公式A，，（A）（tJ）=1，则称/和v满足r．若公式A，八…^A。

--B是永真式，则称曰是Ai，…，A。

的逻辑推论，记为Ai，…，A。

}曰．本文所讨论的自然推理系统的推理规则为：

前提引入规则、置换规则、假言推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假言三段论规则、析取三段论规则、合取引入规则、构造性二难规则以及四个有关量词的规则．本文只列出四个有关量词的规则，其余规则可参见文献[8l.1）全称量词消去规则（简称UI规则）．由VxA推出A[xlt]，其中f是对于公式A中的省可代入的项．2）全称量词引入规则（简称UG规则）．由A推出VxA，其中戈不是前提集中的自由变元．3）存在量词引入规则（简称EC规则）．由肛xlt]推出j剃，其中￡是对于公式A中的x可代人的项．4）存在量词消去规则（简称EI规则）．由]xA推出叫xlf（Yi，…，%）]，其中），，，…，，，。

是公式j列中的所有自由变元，f是在前提、结论以及证明的前面步骤中均未出现过的n元函数符号，八y．，…，Y）是对于A中的菇可代入的项，对于存在量词消去规则，需要多解释几句．设20年8月北京航空天大学报Augst第26卷第4期JomalofBeijingUniversity《naticsdstronauhcsV.6N4=规则满足的条件，而这些条件在许多离散数学教科书中叙述得相当含糊．与某些教科书中存在量词消去规则只能用于无自由变元的公式不同，按照本文给出的条件，存在量词消去规则也可以用于有自由变元的公式，因而增强了系统的推理能力．引进了解释之间和赋值之间关于公式集的等价性，从而证明了系统是可靠的，即个证明中的结论是其前提的逻辑推论．关键词：

谓词逻辑；逻辑系统；离散数学；可靠性；量词中图分类号：

0141.12文献标识码：

A文章编号：

1001-5965（2000）04-3[l]~51所使用的则即全称量词引入规则、全称量词消去规则、存在量词引入规则、存在量词消去规则，在全称量词引入规则和存在量词消去规则中，结论不是前提的逻辑推论，因此，使用它们时要十分小心，稍有不慎就会得出错误的结果．在某些数理逻辑教科书№3中给出了更为严格的自然推理系统．但是，这些系统不如离散数学教科书中给出的系统直观，不易为计算机专业本专科学生理解．为了既保留推理系统的直观性，又消除系统的不严格性，本文将给出使用这四条推理规则必须满足的条件，并证明该自然推理系统的可靠性．语言的语义、个项￡于个公式4中的变元可代入等概念及有关名词，请参阅文献[7]，本文不再赘述．为方便起见，把常元称为0元函数符号把函数符号和谓词符号统称为非逻辑符号，如果变元石是公式集．r中的某个公式的自由变元，则称为中的自由变元．从变元集到解释，的值是J的论域D，中的元素，将变元戈的值改后由秽得到的，中赋值记为v[xldl.用A[xl]表示用项￡代人公式A中变元戈的所有自由出收稿日期：

1998-12-11作者简介：

何自强（1943现后得到的公式，公式A在解释，和J中赋值∞下所代表的命题记为I（A）（口），若它是真命题，则记为I（A）（秽）=1．如果对于公式集r中的每个公式A（）（tJ）则称/和满足r．若公式八…^。

是永真式，则称曰是Ai，的逻辑推论，记为Ai，}曰本文所讨论的自然推理系统的推理规则为：

、化简规则、拒取式规则、假言三段论规则、析取段论规则、合取引入规则、构造性二难规则以及四个有关量词的规则．本文只列出四个有关量词的规则，其余规则可参见文献[8l.1）全称量词消去规则（简称UI规则）．由x推出A[xlt]，其中f是对于公式A中的省可代入的项．2）全称量词引入规则（简称UG规则）．由A推出V其中戈不是前提集中的自由变元．3）存在引规则（简称EC规则）．由肛lt]推出j剃其中￡是对于公式A中的x可代人的项．4）规则（简称EI规则）．由推出叫xlf（Yi，%）]其中），，，是公式j列中的所有自由变元，f是在前提、结论以及证明的前面步骤中均未出现过的n元函数Y）是对于A中的菇可代入的项，第4期何自强：

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