数学二历年考研真题1990.docx

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数学二历年考研真题1990

2004年考硕数学

（二）真题

一.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.）

（1）设,则的间断点为.

（2）设函数由参数方程确定,则曲线向上凸的取值范围为____..

（3）_____..

（4）设函数由方程确定,则______.

（5）微分方程满足的特解为_______.

（6）设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则______-.

二.选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）

（7）把时的无穷小量,,排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是

（A）（B）

（C）（D）

（8）设,则

（A）是的极值点,但不是曲线的拐点.

（B）不是的极值点,但是曲线的拐点.

（C）是的极值点,且是曲线的拐点.

（D）不是的极值点,也不是曲线的拐点.

（9）等于

（A）.（B）.

（C）.（D）

（10）设函数连续,且,则存在,使得

（A）在内单调增加.

（B）在内单调减小.

（C）对任意的有.

（D）对任意的有.

（11）微分方程的特解形式可设为

（A）.

（B）.

（C）.

（D）

（12）设函数连续,区域,则等于

（A）.

（B）.

（C）.

（D）

（13）设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为

（A）.（B）.

（C）.（D）.

（14）设,为满足的任意两个非零矩阵,则必有

（A）的列向量组线性相关,的行向量组线性相关.

（B）的列向量组线性相关,的列向量组线性相关.

（C）的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.

（D）的行向量组线性相关,的列向量组线性相关.

三.解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分10分）

求极限.

（16）（本题满分10分）

设函数在（）上有定义,在区间上,,若对任意的都满足,其中为常数.

（Ⅰ）写出在上的表达式;（Ⅱ）问为何值时,在处可导.

（17）（本题满分11分）

设,（Ⅰ）证明是以为周期的周期函数;（Ⅱ）求的值域.

（18）（本题满分12分）

曲线与直线及围成一曲边梯形.该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体,其体积为,侧面积为,在处的底面积为.

（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）计算极限.

（19）（本题满分12分）设,证明.

（20）（本题满分11分）

某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为）.问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

注表示千克,表示千米/小时.

（21）（本题满分10分）设,其中具有连续二阶偏导数,求.

（22）（本题满分9分）

设有齐次线性方程组

试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

（23）（本题满分9分）

设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.

2003年考研数学

（二）真题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

（1）若时，与是等价无穷小，则a=.

（2）设函数y=f（x）由方程所确定，则曲线y=f（x）在点（1,1）处的切线方程是.

（3）的麦克劳林公式中项的系数是__________.

（4）设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.

（5）设为3维列向量，是的转置.若，则

=.

（6）设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶单位矩阵，若，则________.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设均为非负数列，且,,,则必有

（A）对任意n成立.（B）对任意n成立.

（C）极限不存在.（D）极限不存在.[]

（2）设,则极限等于

（A）.（B）.

（C）.（D）.[]

（3）已知是微分方程的解，则的表达式为

（A）（B）

（C）（D）[]

（4）设函数f（x）在内连续，其导函数的图形如图所示，则f（x）有

（A）一个极小值点和两个极大值点.

（B）两个极小值点和一个极大值点.

（C）两个极小值点和两个极大值点.

（D）三个极小值点和一个极大值点.[]

y

Ox

（5）设,,则

（A）（B）

（C）（D）[]

（6）设向量组：

可由向量组：

线性表示，则

（A）当时，向量组必线性相关.（B）当时，向量组必线性相关.

（C）当时，向量组必线性相关.（D）当时，向量组必线性相关.

[]

三、（本题满分10分）设函数

问a为何值时，f（x）在x=0处连续；a为何值时，x=0是f（x）的可去间断点？

四、（本题满分9分）

设函数y=y（x）由参数方程所确定，求

五、（本题满分9分）计算不定积分

六、（本题满分12分）

设函数y=y（x）在内具有二阶导数，且是y=y（x）的反函数.

（1）试将x=x（y）所满足的微分方程变换为y=y（x）满足的微分方程；

（2）求变换后的微分方程满足初始条件的解.

七、（本题满分12分）

讨论曲线与的交点个数.

八、（本题满分12分）

设位于第一象限的曲线y=f（x）过点，其上任一点P（x,y）处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.

（1）求曲线y=f（x）的方程；

（2）已知曲线y=sinx在上的弧长为，试用表示曲线y=f（x）的弧长s.

九、（本题满分10分）

有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.

（1）根据t时刻液面的面积，写出t与之间的关系式；

（2）求曲线的方程.

（注：

m表示长度单位米，min表示时间单位分.）

十、（本题满分10分）设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，且若极限存在，证明：

（1）在（a,b）内f（x）>0;

（2）在（a,b）内存在点，使；

（3）在（a,b）内存在与

（2）中相异的点，使

十一、（本题满分10分）

若矩阵相似于对角阵，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使

十二、（本题满分8分）

已知平面上三条不同直线的方程分别为

，，.

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为

I、

答：

无色无味，比空气重，不支持燃烧。

21、血液中的细胞好像运输兵，负责运输吸入的氧气和产生的二氧化碳。

一、填空：

1、月相的变化有什么规律？

（P49）

8、铁生锈的原因是什么？

人们怎样防止铁生锈？

1、人们把放大镜叫作凸透镜（边沿薄、中间厚、透明），它能把物体的图像放大，早在一千多年前，人们就发明了放大镜。

放大镜在我们的生活、工作、学习中被广泛使用。

5、垃圾的回收利用有哪些好处？

5、减少垃圾的数量是从源头上解决问题的办法，我们每个人都可以想出许多减少垃圾数量的方法。

1、放大镜为什么能放大物体的图像呢？

我们注意到它的特点了吗？

（P3）

答：

烧饭时米变成了饭；写字时纸上留下了字迹；下雨后路上的积水慢慢地变成水蒸气消失在空中；岩石风化变成沙子等。