离散数学中与量词有关的推理规则.docx

1、离散数学中与量词有关的推理规则离散数学中与量词有关的推理规则何自强【摘 要】清楚地叙述了自然推理系统中的存在量词消去规则和全称量词引入规则满足的条件,而这些条件在许多离散数学教科书中叙述得相当含糊.与某些教科书中存在量词消去规则只能用于无自由变元的公式不同,按照本文给出的条件,存在量词消去规则也可以用于有自由变元的公式,因而增强了系统的推理能力.引进了解释之间和赋值之间关于公式集的等价性,从而证明了系统是可靠的,即一个证明中的结论是其前提的逻辑推论.【期刊名称】北京航空航天大学学报【年(卷),期】2000(026)004【总页数】3页(P432-434)【关键词】谓词逻辑;逻辑系统;离散数学;

2、可靠性;量词【作 者】何自强【作者单位】北京航空航天大学,计算机科学与工程系【正文语种】中 文【中图分类】工业技术2 0 0 0 年 8 月 北京 航 空 航 天 大 学 学 报 Au g u st 2 0 0 0 第26卷 第4 期 Jo u m al of B ei jing U ni v e r sity A e r o n a u t i c s a n d A stro n a u h cs V0 1.2 6 N o.4 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

3、= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =离散 数 学 中 与 量 词 有 关 的 推 理 规 则何 自 强（北 京航空航 天 大学 计算 机科学与 工 程系）摘要：清楚地叙述了 自然推 理系统中的存在量词消 去规则 和 全称 量词引入规则 满足 的条件 ， 而 这 些 条件在许多离散数学教科书中叙述得相 当含糊 与某些教 科书中存在量词消去规则 只 能用 于 无 自由变元 的公 式不 同 ， 按照 本文给出的条件 ， 存 在 量词消去规则 也 可 以用 于有自由变元 的公 式 ， 因 而增强 了

4、系统的推 理 能力 引 进 了 解释 之间和赋值 之 间关 于 公 式集的等价性 ， 从而 证 明 了 系统是可 靠的 ， 即一 个 证 明中 的结 论 是其前 提 的 逻 辑推 论 关 键 词 ： 谓词 逻 辑； 逻辑系统； 离散数学； 可靠性； 量词中 图 分 类 号： 0 141.12 文 献标 识 码 ： A 文章 编 号： 1001 -5965(20 00) 0 4- 0 4 3 2 - 0 3在许 多离 散 数学 教 科 书 l 51 所 使用 的 一阶逻 辑自然 推 理 系 统 中 有 四 条 关 于 量 词 的 推 理 规则 ， 即 全称 量 词引 入 规则 、 全称 量 词

5、消 去规则 、 存在量词引 入规则 、存在量词消去规则 ， 在全称量词 引 入 规则 和存在量 词 消 去 规则 中 ， 结 论 不 是 前 提 的逻辑 推 论 ， 因此 ， 使用 它们时 要 十 分小 心 ， 稍 有 不慎就会得出 错 误 的 结 果 在 某 些 数 理 逻 辑 教 科 书3 中给出 了更为严格 的 自然 推 理 系统 但 是 ， 这 些系统 不 如离 散数 学 教 科 书 中 给出 的系 统 直 观 ， 不易 为计算 机 专业 本专科 学 生 理 解 为 了 既 保 留 推 理 系 统的直 观性 ， 又消 除系统 的 不 严格 性 ， 本 文 将给出使用这 四条推 理 规则

6、 必 须满足 的条件 ， 并 证 明该自然推 理系统的可靠性 1自 然 推 理 系 统一阶语言使用 的符号 、 项 和 公式的定义 、一 阶 语言的语 义 、一 个项 对 于 一 个 公 式 4 中的 变 元戈可代入 等 概 念 及 有 关名 词 ， 请 参 阅 文 献 7 ， 本 文 不 再赘述 为方便起 见 ， 把常元 称 为 0 元 函 数 符 号，把 函 数 符 号 和谓词 符 号统 称 为 非 逻 辑 符 号 ， 如 果变 元 石 是公式集 r 中 的某 个公式 的 自由 变 元 ， 则 称戈 为 r 中的自由变 元 从 变 元 集 到 解 释 ， 的论 域 D ， 的 函 数 称为

7、 ， 中 赋 值 若 秽 是 解 释 ， 中 赋值 ， d 是 J 的 论 域 D ， 中 的 元 素 ， 将 变 元 戈 的 值 改为 d 后 由 秽 得 到的， 中赋值 记 为 v xl dl.用 A x l 表 示 用 项 代 人 公 式 A 中变 元 戈 的 所 有 自 由 出收稿 日期： 1998 -12 -11 作者简介： 何自强（ 1943 -），男 ，北京人 ，副教授 ，100083 ， 北 京现后 得到 的 公 式 ， 公 式 A 在 解 释 ， 和 J 中 赋值 下 所代表的命题 记为I( A )（口）， 若它 是真命题 ， 则 记为 I( A )（秽） = 1 如 果 对

8、 于 公式 集 r 中 的 每 个 公式 A， ， ( A )( tJ) = 1 ， 则 称 / 和 v 满 足 r 若公式 A， 八 A 。 - - B 是永 真 式 ， 则 称 曰 是 A i ， ， A 。 的逻辑推论 ， 记 为 A i ， ， A 。 曰 本文 所 讨 论 的 自然 推 理 系 统 的 推 理 规 则 为 ：前提引 入 规则 、 置 换规则 、 假 言推 理 规 则 、 附加 规则 、 化简规则 、 拒取式规则 、 假言 三 段 论 规则 、 析 取三段 论规则 、 合取引 入 规则 、 构造性 二 难 规则 以 及 四个有关量词 的规则 本文 只 列 出 四 个有

9、关量词 的规则 ， 其余规则可参见 文献 8l.1) 全 称 量 词 消 去 规 则（简 称 UI 规 则） 由V x A 推出 A x l t ， 其中 f 是对 于 公式 A 中的 省 可代 入 的项 2) 全称量 词 引 入 规则（简称 U G 规则） 由 A推出 V x A ， 其中 戈 不是前提集中的自由变 元 3) 存 在 量 词 引 入 规 则（简 称 E C 规 则） 由肛 x l t 推出 j 剃 ， 其中 是 对 于 公式 A 中 的 x 可代 人 的 项 4) 存 在 量 词 消 去 规 则（简 称 E I 规 则） 由 x A 推出 叫 xlf( Y i ， ， % )

10、 ， 其 中 ） ， ， ， ， ， ， 。 是 公 式 j列 中 的 所 有 自 由 变 元 ，f 是 在 前 提 、 结 论以 及 证 明 的 前 面 步 骤 中 均 未 出 现 过 的 n 元 函 数符号 ，八 y ， ， Y ）是对 于 A 中的 菇 可代 入 的项 ，对于 存 在 量 词 消 去 规则 ， 需要 多解 释 几 句 设20年8月北京航空天大学报Augst第26卷第4期JomalofBeijingUniversitynaticsdstro n a u h csV.6N4=规则 满足 的条件 ， 而 这 些 条件在许多离散数学教科书中叙述得相 当含糊 与某些教科书中存在量词

11、消去规则 只 能用 于 无 自由变元 的公 式不 同 ， 按照 本文给出的条件 ， 存在 量词消去规则 也 可 以用 于有自由变元 的公 式 ， 因 而增强 了 系统的推 理 能力 引 进 了解释 之间和赋值 之 间关 于 公 式集的等价性 ， 从而 证 明 了 系统是可 靠的 ， 即个 证 明中的结 论 是其前 提 的 逻 辑推 论 关键词 ：谓词 逻 辑； 逻辑系统； 离散数学； 可靠性； 量词中 图 分 类 号： 0 141.12文 献标 识 码 ： A文章编号： 1001 -5965(20 00) 0 4-3l51所 使用 的则即 全称 量 词引 入 规则 、 全称 量 词 消 去规则

12、 、 存在量词引 入规则 、存在量词消去规则 ， 在全称量词引 入 规则 和存在量 词 消 去 规则 中 ， 结 论 不 是 前 提的逻辑 推 论 ， 因此 ， 使用 它们时 要 十 分小 心 ， 稍 有不慎就会得出 错 误 的 结 果 在 某 些 数 理 逻 辑 教 科书3 中给出 了更为严格 的 自然 推 理 系统 但 是 ， 这些系统 不 如离 散数 学 教 科 书 中 给出 的系 统 直 观 ，不易 为计算 机 专业 本专科 学 生 理 解 为 了 既 保 留推 理 系 统的直 观性 ， 又消 除系统 的 不 严格 性 ， 本 文将给出使用这 四条推 理 规则 必 须满足 的条件 ，

13、并证 明该自然推 理系统的可靠性 语言的语 义 、个项于个 公 式 4中的 变 元可代入 等 概 念 及 有 关名 词 ， 请 参 阅 文 献 7 ， 本文 不 再赘述 为方便起 见 ， 把常元 称 为 0 元 函 数 符号把 函 数 符 号 和谓词 符 号统 称 为 非 逻 辑 符 号 ， 如果变 元 石 是公式集 r 中 的某 个公式 的 自由 变 元 ，则 称为中的自由变 元 从 变 元 集 到 解 释 ， 的值是 J的 论 域 D ， 中 的 元 素 ， 将 变 元 戈 的 值 改后 由 秽 得 到的， 中赋值 记 为 v xl dl.用 A x l表 示 用 项 代 人 公 式 A

14、中变 元 戈 的 所 有 自 由 出收稿 日期： 1998 -12 -11作者简介： 何自强（ 1943现后 得到 的 公 式 ， 公 式 A 在 解 释 ， 和 J 中 赋值 下 所代表的命题 记为I( A )（口）， 若它 是真命题 ， 则记为 I( A )（秽） = 1 如 果 对 于 公式 集 r 中 的 每 个公式 A()(tJ)则 称 /和满 足 r若公式八。是永 真 式 ， 则 称 曰 是 A i ，的逻辑推论 ， 记 为 A i ，曰本文 所 讨 论 的 自然 推 理 系 统 的 推 理 规 则 为 ：、化简规则 、 拒取式规则 、 假言 三 段 论 规则 、 析 取段 论规则

15、 、 合取引 入 规则 、 构造性 二 难 规则 以 及四个有关量词 的规则 本文 只 列 出 四 个有 关量词的规则 ， 其余规则可参见 文献 8l.1)全称量词消去规 则（简 称 UI 规 则） 由x推出 A x l t ， 其中 f 是对 于 公式 A 中的 省 可代 入 的项 2)全称量 词 引 入 规则（简称 U G 规则） 由 A推出 V其中 戈 不是前提集中的自由变 元 3)存在引规 则（简 称 E C 规 则） 由肛lt推出 j剃其中 是 对 于 公式 A 中 的 x 可代人的 项 4)规则（简 称 E I 规 则） 由推出 叫 xlf( Y i ，%)其 中 ） ， ， ，是

16、公 式 j列中的所有自 由 变 元 ，f 是 在 前 提 、 结 论以及证明 的 前 面 步 骤 中 均 未 出 现 过 的 n 元 函 数Y）是对 于 A 中的 菇 可代 入 的项 ，第 4 期 何自强：离散数学中与量词有关的推理规则4 3 3 要由前提 A ， ， A t 证 明结论 曰， 已 证 明 了 m 步 C l ， ， C m ， 需 要 用 存 在 量 词 消 去 规 则 由 硝 推出A xlf( Y i ， ， Y n ) ， 这 时 C l ， ， C m 就是 证 明 的前 面步骤 ，厂应是在 A ， ， A ； ， B ， C ， ， C m 中 不出 现 的 n 元 函 数符 号 ，