第十一章全等三角形.docx
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第十一章全等三角形
第十一章全等三角形
11．1全等三角形
知识点1全等形的概念
例1观察图中的备个图形，指出其中的全等形．
答案：
解①和⑧，②和④，⑥和⑦是全等形．
点睛：
在判断两个图形是否为全等形时，只要将它们放在一起，看能否完全重合即可．本题中①和⑧，②和④，⑥和⑦分别是全等形，各组图形的形状完全相同，通过平移、旋转、翻折等变换能使两个图形完全重合．
知识点2全等三角形及其对应元素的概念
例2如图，△ABC≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
答案：
解AB与AC、AE与AD、BE与CD是对应边，∠BAE与∠CAD是对应角．
点睛：
（1）在两个全等三角形中，最长边与最长边、最短边与最短边、最大角与最大角、最小角与最小角是对应元素．
（2）公共角、对顶角必为对应角，公共边必为对应边．
（3）对应边所对的角是对应角，对应边所夹的角是对应角；对应角所对的边是对应边，对应角所夹的边是对应边．
知识点3全等三角形的性质
例3如图，△ABD≌△CDB，且AB、CD是对应边，下面四个结论中不正确的是（）
A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠4+∠ABD=∠C+∠CBDD．AD∥BC且AD=BC
答案：
C
点睛：
由于△ABD和△CDB是全等的，所以这两个三角形完全重合．故面积相等．A正确；由全等三角形的三对对应边相等，故周长相等，即B正确；∠4与∠C是对应角，但∠ABD与∠CBD不是对应角，故这两个角不一定相等．所以C不正确：
AD与BC是对应边，所以AD=BC；∠ADB与∠CBD是对应角，所以∠ADB=∠CBD．故AD∥BC．即D正确，本题选C．
知识点4全等变换
例4如图，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后得到△ADE．
（1）△ABC与△ADE的关系如何?
（2）求∠BAD的度数．
答案：
解
（1）由题意可得△ABC≌△ADE．
（2）∵△ABC≌△ADE．
∴∠BAC=∠DAE．
∴∠BAD=∠DAE-∠BAE
=∠DAE-（∠BAC-∠EAC）
=∠EAC=30°．
故∠BAD=30°．
点睛：
旋转变换是一种重要的全等变换，旋转前后的图形是全等的．
典型题解
例1如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，试求∠DFB和∠DGB的度数．
答案：
解∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC．
∴∠DAE=∠BAC
=
（∠EAB-∠CAD）
=
（120°-10°）=55°．
∴∠DFB=∠FAB+∠B
=∠FAC+∠CAB+∠B
=10°+55°+25°=90°．
∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°.
∴∠DFB和∠DGB的度数分别为90°和65°．
点睛：
根据全等三角形对应角相等的性质并结合三角形的内角和定理进行计算求解．
例2如图，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=11，BC=7，求线段AB的长．
答案：
解∵△ACF≌△DBE，∴AC=DB．
∴AC-BC=DB-BC，∴AB=DC．
又AD=11，BC=7．
∴AB=DC=
（AD-BC）=
×4=2。
∴AB=2
点睛：
利用全等三角形的性质及等式性质解决问题．
例3如图，△ABC≌△DEF，点B与点E、点C与点F是对应顶点，通过怎样的全等变换可以使它们重合?
并指出它们相等的边和角．
答案：
解如图，把△DEF沿EF翻折180°，再把翻折后的三角形沿CB方向平移，使点E与点B重合，则△DEF就能与△ABC重合．
相等的边有：
AB=DE，BC=EF，AC=DF．
相等的角有：
∠A=∠D，∠B=∠DEF，∠ACB=∠DFE.
点睛：
使两个图形完全重合的方法有三种：
一是平移，沿着某条边的方向平行移动；二是翻转，沿着某条直线翻折180°得到；三是旋转，以某个点为中心把图形转一个角度．
例4如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BG边上的F点处，若BC=8cm，∠BAF=40°，求∠DAE的度数与AF的长度．
答案：
解由题意可得△AFE≌△ADE，
∴AF=AD，∠FAE=∠DAE．
在长方形ABCD中，AD=BC=8cm，
∠DAF=90°-∠BAF=50°．
∴AF=8cm，∠DAE=
∠DAF=25°．
点睛：
因为折叠后△AFE与△ADE完全重合，所以△AFE≌△ADE，可以得到AF=AD，∠FAE=∠DAE．又因为长方形的对边相等，每个角都是直角，所以可求出角度与线段长度．
例5如图所示，△ABC绕着点B顺时针旋转90°得到△DBE，且∠ABC=90°．
（1）△ABC和△DBE是否全等?
若全等请指出对应边和对应角；
（2）直线AC与直线DE有怎样的位置关系?
答案：
解
（1）由题意可得△ABC≌△DBE。
对应边：
AC和DE，AB和DB，BC和BE．
对应角：
∠A和∠D，∠ACB和∠DEB，∠ABC和∠DBE．
（2）延长AC交DE于点F，如图所示。
∵△ABC≌△DBE，∴∠A=∠D．
又∵∠ACB=∠DCF，∠A+∠ACB=90°，
∴∠D+∠DCF=90°，即∠AFE=90°．
∴AC与DE互相垂直．
点睛：
（1）在旋转的过程中图形的形状、大小没变，所以△ABC≌△DBE；
（2）延长AC交DE于点F，如图所示，由△ABC≌△DBE可得∠A=∠D，又∵∠ACB=∠DCF（对顶角相等），∠A+∠ACB=90°，∴∠D+∠DCF=90°，∴AC⊥DE．
例6如图所示是用10根火柴棒搭成的一个三角形，你能否移动其中的3根，摆出一对全等三角形?
答案：
解如图所示：
点睛：
本题主要考查同学们的动手能力和创新能力．
例7如图，正方形中有12棵树，请你把这个正方形划分为四块，要求每块的形状、大小都相同，并且每块中恰好有三棵树．
答案：
划分方法如图所示．
点睛：
由图可知，这12棵树是在8×8的正方形网格中，现要把这个正方形划分为四块形状、大小都相同的图形，那么，每块图形都是由16块小正方形所拼成的．
趁热打铁
4．在△ABC中，∠B=∠C，若与△ABC全等的一个三角形中，有一个角为91°，那么91°在△ABC中的对应角是（）
A．∠4B．∠BC．∠CD．∠B或∠C
答案：
A
点睛：
因为91°的角为一个钝角，在一个三角形内不能出现两个或两个以上的钝角，且由于∠B=∠C，所以这两个角都不可能为91°，所以本题只能选A.
5．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度后，恰好使点C转动到点F的位置，且点F正好在BC上．
答案：
C
点睛：
旋转前后的两个三角形全等，∴AC=AF，EF=BC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，即∠EAB=∠FAC．故①②③正确，∴选C.
11．2三角形全等的判定
知识点1边边边定理
例1如图，已知AB=AD，CB=CD．求证：
∠DAC=∠BAC．
答案：
证明在△ABC与△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠DAC=∠BAC．
点睛：
（1）要证明两个三角形全等，应设法确定这两个三角形的三条边对应相等．
（2）证明两个三角形全等的关键是找够条件（例如运用边边边定理证明三角形全等时，要找三对对应边相等）。
（3）在证明两个三角形全等时，应特别注意公共元素，如本题中公共边AC。
（4）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．
知识点2边角边定理
例2如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：
△ABE≌△ACD．
答案：
证明在△ABE与△ACD中，
∴△ABE≌△ACD．
点睛：
（1）用SAS判定两个三角形全等的条件是两条边及这两条边的夹角对应相等，应特别注意是夹角而不是其中一边的对角．
（2）在书写两个三角形全等的条件时，一定要把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角对应相等．
例3如图，点D、E、F、B在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE．求证：
（1）AE=CF；
（2）AE∥CF．
答案：
证明
（1）∵BF=DE，∴BF+EF=DE+EF∴DF=BE．
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
∴AE=CF．
（2）∵△ABE≌△CDF，
∠AEB=∠CFD．
∴AE∥CF．
点睛：
在证明两个三角形全等时，常常要通过证明边与角相等来实现，而证明角或边相等的思路是：
（1）平行线性质、余角或外角的性质．
（2）垂直定义．（3）等线段的和或差（等量加等量和相等，等量减等量差相等）．（4）三角形的内角和定理及推论．
知识点3角边角定理
例4如图，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，求证：
AC=DB．
答案：
证明在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA）．
∴AC=DB。
点睛：
（1）用ASA来判断两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边对应相等，证明时要加强对夹边的认识．
（2）在书写两个三角形全等时，一定要把夹边相等写在中间，以突出边角的位置关系．
知识点4角角边定理
例5下列说法中正确的个数有（）
①一个角及其对边对应相等的两个三角形全等；
②有三个角对应相等的两个三角形全等；
③有两个角和一边对应相等的两个三角形全等；
④有两个角和其中一角对边对应相等的两个三角形全等；
⑤有两个角相等，一对边相等的两个三角形全等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：
B
点睛：
①错误，如：
斜边相等的等腰直角三角形与其他直角三角形不一定全等；②错误，如：
两个等边三角形不一定是全等三角形；③正确，因为它满足AAS或ASA；④正确，它满足AAS；⑤错误．因为ASA定理或AAS定理中的边是指两对等角的夹边或其中一对等角的对边，这里并没有指出其边是否为等角的夹边或一对等角的对边，因此满足条件的两个三角形不一定全等．
知识点6直角三角形全等的判定
例8下列能推出两个三角形全等的是（）
①有两边和夹角对应相等的两个三角形；
②有两角和夹边对应相等的两个三角形；
③有两角和一边对应相等的两个三角形；
④有两边和一角对应相等的两个三角形；
⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形；
⑥有三个角对应相等的两个三角形；
⑦有三边对应相等的两个三角形．
A．①②③⑤⑦B．①②③④⑤⑦
C．①②③⑤⑥⑦D．①②③④⑤⑥⑦
答案：
A
点睛：
判定两个一般三角形全等共有四种方法SAS（如①）、ASA（如②或③）、AAS（如③）、SSS（如⑦）；判定两个直角三角形全等除了上述四种方法外还有HL（如⑤），在这些方法中不能缺的条件是至少要有一条边，否则就不能成立．
如图a，已知三个角对应相等的△ABC和△ADE不能全等，即“AAA”是不能成立的，故⑥不成立；如图b，两边和一角对应相等的△ABC和△ABD也不能全等，即“SSA”不能成立，故④不能成立，所以本题选A．
典型题解
例1如图所示，△BDC′是将长方形纸片△BCD沿BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）的全等三角形共有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
答案C
点睛：
由折叠可知△CDB≌△C′DB．
由长方形的性质可知AB=DC，AD=BC．
在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB．
∴△ABD≌△C′DB．
即△ABD≌△C′DB≌△CDB．
在△ABE与△C′DE中，
△ABE≌△C′DE．
∴共有4对全等的三角形，故选C．
例2如图所示，D为等边三角形ABC内一点，DB=DA，BF=AB，DF=DC，求∠BFD的度数．
答案：
解△ABC为等边三角形，∴AC=BC．
在△ACD和△BCD中，
∴△ACD≌△BCD．
∴∠3=∠4．
又∵∠3+∠4=∠ACB=60°，
∴∠4=30°．
在△BFD和△BCD中，
∴△BFD≌△BCD．
∴∠BFD=∠4.
故∠BFD=30°．
点睛：
由于等边三角形的每个内角都为60°，欲求∠BFD，必须使∠BFD与等边三角形联系起来，由已知条件易知△ACD≌△BCD≌△BFD，从而∠BFD=∠4=30°．
例3如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．过顶点A作直线MN，分别过B、C点作MN的垂线，垂足分别为D、E，若DB=3cm，EC=7cm，求DE的长．
答案：
解∵∠BAC=90°，∴∠1+∠EAC=90°．
∴BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
∴∠2+∠EAC=90°∴∠1=∠2．
在△ABD与△CAE中，
∴△ABD≌△CAE．
∴AD=CE，BD=AE.
∴DE=AD+AE=DB+EC=3+7=10（cm）．
点睛：
已知线段是DB、EC，未知线段是DE，解题的关键是建立三者之间的联系．
观察图形由已知条件可得△ABD≌△CAE，∴DE=AD+AE=DB+EC=10cm．
例4如图，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE。
求证：
AB=AC．
答案：
证明∵∠BAC=∠DAE．
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△BAD与△CAE中，
∴△BAD≌△CAE．
∴AB=AC．
点睛：
从结论分析，要证明AB=AC，显然应当考虑证△ABD≌△ACE．从已知条件可知∠ABD=∠ACE，BD=CE，∠BAD=∠CAE（由已知∠BAC=∠DAE可推得）。
即可证．
例5如图，已知D、E分别是线段AB、AC上的点，AB=AC，AD=AE．求证：
∠DEB=∠EDC．
答案：
证明在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD．
∴BE=CD．
又∵AB=AC，AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE．
在△DEB和AEDC中，
∴△DEB≌△EDC，
∴∠DEB=∠EDC．
点睛：
要证∠DEB=∠EDC可考虑将这两个危分别放入含有这两个角的三角形中，即放入△DEB和△EDC中，证明这两个三角形全等即可，虽然直接证明这两个三角形全等的条件不具备．但由已知AB=AC，AD=AE，可得DB=EC。
结合DE是公共边，另外还要证明∠EDB=∠DEC或证明BE=CD，但前者证明较难．而后者由△ABE≌△ACD很容易证明．
例6如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线，BD、AC相交于点M，求证：
（1）∠A=∠D；
（2）AM=DM．
答案：
证明
（1）∵BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠DGB．
又∵∠ABC=∠DCB，
∴∠1=∠2．
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠A=∠D.
（2）∵△ABC≌△DCB，
∴AB=CD.
在△ABM和△DCM中，
∴△ABM≌△DCM，
∴AM=DM.
点睛：
（1）要证明∠A=∠D，则只要把∠A和∠D分别放在两个三角形中，再证明这两个三角形全等即可；
（2）同样要证明AM=DM也只需将这两条线段分别放在两个全等的三角形中即可．
例7已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且∠B+∠D=180°．
求证：
AE=AD+BE．
答案：
证明证法一（截长法）：
如图①所示，在EA上截取EF=EB，连接FC．
在△CFF和△CBE中，
∴△CFE≌△CBE，∴∠B=∠CFE.
又∵∠CFE+∠AFC=180°，∠B+∠D=180°，
∴∠CFA=∠D.
在△AFC和△ADC中，
∴△AFC≌△ADC，∴AF=AD.
又∵AE=AF+EF，EB=EF，
∴AE=AD+BE．
证法二（补短法）：
如图②所示，延长AD到F点，使AF=AE，连接CF．
在△EAC和△FAC中，
∴△EAC≌△FAC∴CE=CF，∠CEA=∠CFA．
∵CE⊥AB，∠CEA=∠CEB=90°，∴∠CEB=∠CFD．
又∵∠CDF+∠CDA=180°，∠B+∠CDA=180°，∴∠B=∠CDF，
在△BEC和△DFC中，
∴△BEC≌△DFC，∴DF=BE，
又∵AE=AF，且AF=AD+DF，∴AE=AD+BE．
点睛：
本题从结论分析，宜采用补短法（或截长法），把AD+BE组成一条线段；或把AE截成与AD、BE分别相等的两段．
例8如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是AC上一点，CF⊥BD于点F，AE⊥BD交BD的延长线于点E，求证：
EF=BE-AE。
点睛：
结论中的三条线段中，EF、BE是在同一条直线上，而AE是与EF和BE垂直的一条线段，不与它们在同一条直线上，由图可知EF=BE-BF，这与结论中只有一条线段不同，所以只需证明AE与BF相等即可．因此将这两条线段分别放入两个全等的三角形中即可．
但：
证明∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°．
又∵CF⊥BE．
∴∠BFC=90°，
∴∠FBC+∠BCF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
又∵AE⊥BF，
∴∠AEB=90°.
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF，
∴EF=BE-BF=BE-AE.
例9如图所示，已知D是BC的中点，∠BOF=∠CAE，CE⊥AD于点E，BF⊥AD交AD的延长线于F点，求证：
AO=2DE．
答案：
证明∵D是BC的中点，
∴BD=CD．
∵CE⊥AD，BF⊥AD．
∴∠CED=∠BFD=90°．
在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE.
∴BF=CE，DF=DE．
∴EF=2DE．
在△BOF和△CAE中，
∴△BOF≌△CAE．
∴OF=AE.
∴OF-DE=AE-OE．
即EF=AO．
又∵EF=2DE．
∴AO=2DE．
点睛：
由已知D是BC的中点，可知BD=CD．再由∠BDF=∠CDE，CE⊥AD．BF⊥AD，易得△CDE≌△BDF.从而为△BOF与△CAE的全等提供了条件：
BF=CE，再加上已知条件∠BOF=∠CAE，从而得到△BOF≌△CAE，所以有AE=DF即有AO=EF，故只需证明EF=2DE．
例10如图，已知∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM，垂足为点E，且交BC于点D．求证：
∠AMB=∠CMD．
证明如图，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点F，
∵AE⊥BM．
∴∠MAE+∠AMB=90°．
∵∠BAC=90°．
∴∠ABM+∠AMB=90°．
∴∠ABM=∠MAE．
在△ABM和△CAF中，
∴△ABM≌△CHF
∴AM=CF．∠AMB=∠CFA．
又AM=CM，∴CM=CF
在△CMD和△CFD中，
∴△CMD≌△CFD．
∴∠CFD=∠CMD．
即∠AMB=∠CMD．
点睛：
如果把∠AMB进行移动，放到与△CDM有公共边的三角形内，即过点C作AC的垂线交AD的延长线于点F，设法证明△ABM≌△CAF，得到∠AMB=∠F，再证明△CMD≌△CFD便达到了目的．
例11如图，在△ABC中，AB=12，AC=8，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围．
答案：
解延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD．
在△BDE和△CDA中，
∴△BDE≌△CDA．
∴BE=AC=8．
在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，
即12-8＜2AD＜12+8
即2＜AD＜10．
点睛：
欲求AD的取值范围，联想到三角形三边的关系定理，必须把AD和与AD相关的已知线段移到同一个三角形中去，故可延长AD到点E，使DE=AD．连接BE．若能证明△BDE≌△CDA，则有BE=AC，而AE=2AD，在AABE中不难求出AD的取值范围．
例12如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．
（1）观察猜想BE与DG之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）图中是否存在通过旋转能够完全重合的两个三角形?
若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
点睛：
由题意可知BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG，则△BCE≌ADCG，可知BE=DG．
解
（1）BE=DG，证明如下：
∵四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形，
在△BCE和△DCG中，
∴△BCE≌△DCG．
∴BE=DG．
（2）由
（1）可知，Rt△BCE旋转后与Rt△DCG完全重合．
旋转过程：
将△BCE绕点C顺时针旋转90°可与Rt△DCG完全重合（或将Rt△DCG绕点C逆时针旋转90°与△BCE完全重合）．
例13公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一张小石凳E、M、F，且BE=CF，M在BC的中点，试判断三张石凳E、F、M是否在一条直线上．
点睛：
只要说明∠EMF=180°，就表示E、M、F在一条直线上．
答案：
解连接ME、MF，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C．
在△BEM与△CFM中，
∴△BEM≌△CFM．
∠1=∠2．
∴∠EMF=∠1+∠BMF=∠2+∠BMF=∠BMC=180°．
∴E、M、F在一条直线上．
例14通光中学八年级
（1）班的学生到野外进行教学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案：
方案一：
如图①，先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC=AC，EC=BC，最后量出DE的长就是A、B之间的距离．
方案二：
如图②，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC=CD．过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为AB的距离．
（1）方案一是否可行?
并说明理由；
（2）方案二是否可行?
并说明理由；
（3）小明说在方案二中，并不一定必须要BF⊥AB，DE⊥BF，只需＿＿＿＿就可以了，请把小明所说的条件补上．
点睛：
（1）在方案一中，AC=CD，∠ACB=∠DCE，BC=CE，由SAS知△ACB≌△DCE，则AB=DE；
（2）在方案二中，∠ABC=∠EDC=90°，BC=CD．∠ACB=∠ECD，由ASA知△ABC≌△EDC，则AB=DE；（3）由于BC=CD，∠ACB=∠ECD．还差一角相等就能判定△ABC≌△EDC，故只需把BF⊥AB和BF⊥DE改为AB∥DE就可以了．
答案：
解
（1）方案一可行，理由：
由SAS知△ABC≌△DEC．∴AB=DE。
（2）方案二可行，理由：
由ASA知△ABC≌△EDC．∴AB=DE．
（3）AB∥DE
例15如图①，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B、C在AE的两侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．
（1）求证：
BD=DE+CE；
（2）
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