第十一章全等三角形.docx

1、第十一章 全等三角形第十一章 全等三角形111 全等三角形知识点1 全等形的概念例1 观察图中的备个图形，指出其中的全等形答案：解 和，和，和是全等形点睛：在判断两个图形是否为全等形时，只要将它们放在一起，看能否完全重合即可本题中和，和，和分别是全等形，各组图形的形状完全相同，通过平移、旋转、翻折等变换能使两个图形完全重合知识点2 全等三角形及其对应元素的概念例2 如图，ABCACD，1=2，B=C，指出其他的对应边和对应角答案：解 AB与AC、AE与AD、BE与CD是对应边，BAE与CAD是对应角点睛：(1)在两个全等三角形中，最长边与最长边、最短边与最短边、最大角与最大角、最小角与最小角是

2、对应元素 (2)公共角、对顶角必为对应角，公共边必为对应边 (3)对应边所对的角是对应角，对应边所夹的角是对应角；对应角所对的边是对应边，对应角所夹的边是对应边知识点3 全等三角形的性质例3 如图，ABDCDB，且AB、CD是对应边，下面四个结论中不正确的是 ( ) AABD和CDB的面积相等 BABD和CDB的周长相等 C4+ABD=C+CBD DADBC且AD=BC答案：C点睛：由于ABD和CDB是全等的，所以这两个三角形完全重合故面积相等A正确；由全等三角形的三对对应边相等，故周长相等，即B正确；4与C是对应角，但ABD与CBD不是对应角，故这两个角不一定相等所以C不正确：AD与BC是对

3、应边，所以AD=BC；ADB与CBD是对应角，所以ADB=CBD故ADBC即D正确，本题选C知识点4 全等变换例4 如图，将ABC绕其顶点A顺时针旋转30后得到ADE (1)ABC与ADE的关系如何? (2)求BAD的度数答案： 解 (1)由题意可得ABCADE (2)ABCADE BAC=DAE BAD=DAE-BAE =DAE-(BAC-EAC) =EAC=30 故BAD=30点睛：旋转变换是一种重要的全等变换，旋转前后的图形是全等的典型题解例1 如图，ABCADE，且CAD=10，B=D=25，EAB=120，试求DFB和DGB的度数答案： 解 ABCADE， DAE=BAC DAE=B

4、AC = (EAB-CAD) = (120-10)=55 DFB=FAB+B =FAC+CAB+B =10+55+25=90 DGB=DFB-D=90-25=65.DFB和DGB的度数分别为90和65点睛：根据全等三角形对应角相等的性质并结合三角形的内角和定理进行计算求解例2 如图，ACFDBE，E=F，若AD=11，BC=7，求线段AB的长答案：解ACFDBE，AC=DB AC-BC=DB-BC，AB=DC 又AD=11，BC=7 AB=DC= (AD-BC)=4=2。 AB=2点睛：利用全等三角形的性质及等式性质解决问题例3 如图，ABCDEF，点B与点E、点C与点F是对应顶点，通过怎样的

5、全等变换可以使它们重合?并指出它们相等的边和角答案：解 如图，把DEF沿EF翻折180，再把翻折后的三角形沿CB方向平移，使点E与点B重合，则DEF就能与ABC重合 相等的边有：AB=DE，BC=EF，AC=DF 相等的角有：A=D，B=DEF，ACB=DFE.点睛：使两个图形完全重合的方法有三种：一是平移，沿着某条边的方向平行移动；二是翻转，沿着某条直线翻折180得到；三是旋转，以某个点为中心把图形转一个角度例4 如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BG边上的F点处，若BC=8 cm，BAF=40，求DAE的度数与AF的长度答案：解 由题意可得AFEADE， AF=AD，FAE=DA

6、E 在长方形ABCD中，AD=BC=8 cm， DAF=90-BAF=50 AF=8 cm，DAE=DAF=25点睛：因为折叠后AFE与ADE完全重合，所以AFEADE，可以得到AF=AD，FAE=DAE又因为长方形的对边相等，每个角都是直角，所以可求出角度与线段长度例5 如图所示，ABC绕着点B顺时针旋转90得到DBE，且ABC=90 (1)ABC和DBE是否全等?若全等请指出对应边和对应角； (2)直线AC与直线DE有怎样的位置关系?答案：解 (1)由题意可得ABCDBE。 对应边：AC和DE，AB和DB，BC和BE 对应角：A和D，ACB和DEB，ABC和DBE(2)延长AC交DE于点F

7、，如图所示。 ABCDBE，A=D 又ACB=DCF，A+ACB=90， D+DCF=90，即AFE=90 AC与DE互相垂直点睛：(1)在旋转的过程中图形的形状、大小没变，所以ABCDBE；(2)延长AC交DE于点F，如图所示，由ABCDBE可得A=D，又ACB=DCF(对顶角相等)，A+ACB=90，D+DCF=90，ACDE例6 如图所示是用10根火柴棒搭成的一个三角形，你能否移动其中的3根，摆出一对全等三角形?答案： 解 如图所示：点睛：本题主要考查同学们的动手能力和创新能力例7 如图，正方形中有12棵树，请你把这个正方形划分为四块，要求每块的形状、大小都相同，并且每块中恰好有三棵树答

8、案：划分方法如图所示点睛：由图可知，这12棵树是在88的正方形网格中，现要把这个正方形划分为四块形状、大小都相同的图形，那么，每块图形都是由16块小正方形所拼成的趁热打铁4在ABC中，B=C，若与ABC全等的一个三角形中，有一个角为91，那么91在ABC中的对应角是 ( ) A4 BB CC DB或C答案：A点睛：因为91的角为一个钝角，在一个三角形内不能出现两个或两个以上的钝角，且由于B=C，所以这两个角都不可能为91，所以本题只能选A.5如图，将ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度后，恰好使点C转动到点F的位置，且点F正好在BC上答案：C点睛：旋转前后的两个三角形全等，AC=AF，EF=B

9、C，EAF=BAC，EAF-BAF=BAC-BAF，即EAB=FAC故正确，选C.112 三角形全等的判定知识点1 边边边定理例1 如图，已知AB=AD，CB=CD求证：DAC=BAC答案： 证明 在ABC与ADC中， ABCADC (SSS) DAC=BAC点睛：(1)要证明两个三角形全等，应设法确定这两个三角形的三条边对应相等(2)证明两个三角形全等的关键是找够条件(例如运用边边边定理证明三角形全等时，要找三对对应边相等)。(3)在证明两个三角形全等时，应特别注意公共元素，如本题中公共边AC。(4)判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等知识点2 边角边定理例2 如图，已知AB=A

10、C，AD=AE求证：ABEACD答案： 证明 在ABE与ACD中， ABEACD点睛：(1)用SAS判定两个三角形全等的条件是两条边及这两条边的夹角对应相等，应特别注意是夹角而不是其中一边的对角(2)在书写两个三角形全等的条件时，一定要把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角对应相等例3 如图，点D、E、F、B在一条直线上，AB=CD，B=D，BF=DE求证： (1)AE=CF； (2)AECF答案： 证明 (1)BF=DE，BF+EF=DE+EF DF=BE 在ABE与CDF中， ABECDF(SAS) AE=CF (2)ABECDF， AEB=CFD AECF点睛：在证明两个三角形全等时，常

11、常要通过证明边与角相等来实现，而证明角或边相等的思路是：(1)平行线性质、余角或外角的性质(2)垂直定义(3)等线段的和或差(等量加等量和相等，等量减等量差相等)(4)三角形的内角和定理及推论知识点3 角边角定理例4如图，ABC=DCB，ACB=DBC，求证：AC=DB答案： 证明 在ABC和DCB中， ABCDCB (ASA) AC=DB。点睛：(1)用ASA来判断两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边对应相等，证明时要加强对夹边的认识(2)在书写两个三角形全等时，一定要把夹边相等写在中间，以突出边角的位置关系知识点4 角角边定理例5 下列说法中正确的个数有 ( )

12、 一个角及其对边对应相等的两个三角形全等； 有三个角对应相等的两个三角形全等； 有两个角和一边对应相等的两个三角形全等； 有两个角和其中一角对边对应相等的两个三角形全等； 有两个角相等，一对边相等的两个三角形全等 A1个 B2个 C3个 D4个答案：B点睛：错误，如：斜边相等的等腰直角三角形与其他直角三角形不一定全等；错误，如：两个等边三角形不一定是全等三角形；正确，因为它满足AAS或ASA；正确，它满足AAS；错误因为ASA定理或AAS定理中的边是指两对等角的夹边或其中一对等角的对边，这里并没有指出其边是否为等角的夹边或一对等角的对边，因此满足条件的两个三角形不一定全等知识点6 直角三角形全

13、等的判定例8 下列能推出两个三角形全等的是 ( ) 有两边和夹角对应相等的两个三角形； 有两角和夹边对应相等的两个三角形； 有两角和一边对应相等的两个三角形； 有两边和一角对应相等的两个三角形； 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形； 有三个角对应相等的两个三角形； 有三边对应相等的两个三角形 A B C D答案：A点睛：判定两个一般三角形全等共有四种方法SAS(如)、ASA(如或)、AAS(如)、SSS(如)；判定两个直角三角形全等除了上述四种方法外还有HL(如)，在这些方法中不能缺的条件是至少要有一条边，否则就不能成立 如图a，已知三个角对应相等的ABC和ADE不能全等，即“AAA”是

14、不能成立的，故不成立；如图b，两边和一角对应相等的ABC和ABD也不能全等，即“SSA”不能成立，故不能成立，所以本题选A典型题解例1 如图所示，BDC是将长方形纸片BCD沿BD折叠得到的，图中(包括实线、虚线在内)的全等三角形共有 ( ) A2对 B3对 C4对 D5对答案C点睛：由折叠可知CDBCDB 由长方形的性质可知AB=DC，AD=BC 在ABD和CDB中， ABDCDB ABDCDB 即ABDCDBCDB 在ABE与CDE中， ABECDE共有4对全等的三角形，故选C例2 如图所示，D为等边三角形ABC内一点，DB=DA，BF=AB，DF=DC，求BFD的度数答案： 解 ABC为等

15、边三角形，AC=BC 在ACD和BCD中， ACDBCD 3=4 又3+4=ACB=60， 4=30 在BFD和BCD中， BFDBCD BFD=4. 故BFD=30点睛：由于等边三角形的每个内角都为60，欲求BFD，必须使BFD与等边三角形联系起来，由已知条件易知ACDBCDBFD，从而BFD=4=30例3 如图，ABC中，BAC=90，AB=AC过顶点A作直线MN，分别过B、C点作MN的垂线，垂足分别为D、E，若DB=3 cm，EC=7 cm，求DE的长答案： 解BAC=90，1+EAC=90 BDDE，CEDE， ADB=CEA=90， 2+EAC=901=2 在ABD与CAE中， AB

16、DCAE AD=CE，BD=AE.DE=AD+AE=DB+EC=3+7=10 (cm)点睛：已知线段是DB、EC，未知线段是DE，解题的关键是建立三者之间的联系观察图形由已知条件可得ABDCAE，DE=AD+AE=DB+EC=10 cm例4 如图，BAC=DAE，ABD=ACE，BD=CE。求证：AB=AC答案： 证明BAC=DAE BAC-DAC=DAE-DAC即BAD=CAE在BAD与CAE中，BADCAEAB=AC点睛：从结论分析，要证明AB=AC，显然应当考虑证ABDACE从已知条件可知ABD=ACE，BD=CE，BAD=CAE(由已知BAC=DAE可推得)。即可证例5 如图，已知D、

17、E分别是线段AB、AC上的点，AB=AC，AD=AE求证：DEB=EDC答案：证明 在ABE和ACD中， ABEACD BE=CD 又AB=AC，AD=AE， AB-AD=AC-AE，即BD=CE 在DEB和AEDC中， DEBEDC， DEB=EDC点睛：要证DEB=EDC可考虑将这两个危分别放入含有这两个角的三角形中，即放入DEB和EDC中，证明这两个三角形全等即可，虽然直接证明这两个三角形全等的条件不具备但由已知AB=AC，AD=AE，可得DB=EC。结合DE是公共边，另外还要证明EDB=DEC或证明BE=CD，但前者证明较难而后者由ABEACD很容易证明例6 如图，ABC=DCB，BD

18、、CA分别是ABC、DCB的平分线，BD、AC相交于点M，求证： (1)A=D； (2)AM=DM答案：证明(1)BD、CA分别是ABC、DCB的平分线， 1=ABC，2=DGB 又ABC=DCB， 1=2 在ABC和DCB中， ABCDCB， A =D.(2) ABCDCB， AB = CD.在 ABM和DCM中， ABMDCM， AM=DM.点睛：(1)要证明A=D，则只要把A和D分别放在两个三角形中，再证明这两个三角形全等即可；(2)同样要证明AM=DM也只需将这两条线段分别放在两个全等的三角形中即可例7 已知四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于点E，且B+D=180求证：AE=

19、AD+BE答案：证明 证法一(截长法)：如图所示，在EA上截取EF=EB，连接FC 在CFF和CBE中，CFECBE， B=CFE.又CFE+AFC=180，B+D=180，CFA=D.在AFC和ADC中，AFCADC，AF=AD.又AE=AF+EF，EB=EF，AE=AD+BE证法二(补短法)：如图所示，延长AD到F点，使AF=AE，连接CF在EAC和FAC中，EACFAC CE=CF，CEA=CFACEAB， CEA=CEB=90，CEB=CFD又CDF+CDA=180，B+CDA=180，B=CDF，在BEC和DFC中，BECDFC， DF=BE，又AE=AF，且AF=AD+DF，AE=

20、AD+BE点睛：本题从结论分析，宜采用补短法(或截长法)，把AD+BE组成一条线段；或把AE截成与AD、BE分别相等的两段例8 如图所示，在ABC中，ABC=90，AB=BC，D是AC上一点，CFBD于点F，AEBD交BD的延长线于点E，求证：EF=BE-AE。点睛：结论中的三条线段中，EF、BE是在同一条直线上，而AE是与EF和BE垂直的一条线段，不与它们在同一条直线上，由图可知EF=BE-BF，这与结论中只有一条线段不同，所以只需证明AE与BF相等即可因此将这两条线段分别放入两个全等的三角形中即可但： 证明ABC=90， ABE+CBE=90 又CFBEBFC=90，FBC+BCF=90，

21、ABE=BCF，又 AEBF，AEB=90. 在ABE和BCF中，ABEBCF，AE=BF，EF=BE-BF=BE-AE.例9 如图所示，已知D是BC的中点，BOF=CAE，CEAD于点E，BFAD交AD的延长线于F点，求证：AO=2DE答案： 证明 D是BC的中点， BD=CD CEAD，BFAD CED=BFD=90 在BDF和CDE中， BDFCDE. BF=CE，DF=DE EF=2DE 在BOF和CAE中，BOFCAEOF=AE.OF-DE=AE-OE即EF=AO又EF=2DEAO=2DE点睛：由已知D是BC的中点，可知BD=CD再由BDF=CDE，CEADBFAD，易得CDEBDF

22、.从而为BOF与CAE的全等提供了条件：BF=CE，再加上已知条件BOF=CAE，从而得到BOFCAE，所以有AE=DF即有AO=EF，故只需证明EF=2DE例10 如图，已知BAC=90，AB=AC，M是AC边的中点，ADBM，垂足为点E，且交BC于点D求证：AMB=CMD证明 如图，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点F， AEBM MAE+AMB=90 BAC=90 ABM+AMB=90 ABM=MAE 在ABM和CAF中， ABMCHF AM=CFAMB=CFA 又AM=CM，CM=CF 在CMD和CFD中，CMDCFDCFD=CMD即AMB=CMD点睛：如果把AMB进行移动，放到与C

23、DM有公共边的三角形内，即过点C作AC的垂线交AD的延长线于点F，设法证明ABMCAF，得到AMB=F，再证明CMDCFD便达到了目的例11如图，在ABC中，AB=12，AC=8，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围答案： 解 延长AD到点E，使DE=AD，连接BE AD是BC边上的中线， BD=CD 在BDE和CDA中， BDECDA BE=AC=8 在ABE中，AB-BEAEAB+BE， 即12-82AD12+8 即2AD10点睛：欲求AD的取值范围，联想到三角形三边的关系定理，必须把AD和与AD相关的已知线段移到同一个三角形中去，故可延长AD到点E，使DE=AD连接BE若能证明BDEC

24、DA，则有BE=AC，而AE=2AD，在AABE中不难求出AD的取值范围例12 如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG(1)观察猜想BE与DG之间的数量关系，并证明你的结论；(2)图中是否存在通过旋转能够完全重合的两个三角形?若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由点睛：由题意可知BC=CD，CE=CG，BCE=DCG，则BCEADCG，可知BE=DG解(1)BE=DG，证明如下： 四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形， 在BCE和DCG中， BCEDCG BE=DG (2)由(1)可知，RtBCE旋转后与RtDCG完全重合 旋转过程：将BCE绕点C顺时

25、针旋转90可与RtDCG完全重合(或将RtDCG绕点C逆时针旋转90与BCE完全重合)例13 公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中ABCD，在AB、BC、CD三段路旁各有一张小石凳E、M、F，且BE=CF，M在BC的中点，试判断三张石凳E、F、M是否在一条直线上点睛：只要说明EMF=180，就表示E、M、F在一条直线上答案： 解 连接ME、MF， ABCD， B=C 在BEM与CFM中， BEMCFM 1=2 EMF=1+BMF=2+BMF=BMC=180 E、M、F在一条直线上例14 通光中学八年级(1)班的学生到野外进行教学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计

26、了如下两种方案： 方案一：如图，先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC=AC，EC=BC，最后量出DE的长就是A、B之间的距离 方案二：如图，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC=CD过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为AB的距离 (1)方案一是否可行?并说明理由； (2)方案二是否可行?并说明理由； (3)小明说在方案二中，并不一定必须要BFAB，DEBF，只需就可以了，请把小明所说的条件补上点睛：(1)在方案一中，AC=CD，ACB=DCE，BC=CE，由SAS知ACBDCE，则AB=DE；(2)在方案二中，ABC=EDC=90，BC=CDACB=ECD，由ASA知ABCEDC，则AB=DE；(3)由于BC=CD，ACB=ECD还差一角相等就能判定ABCEDC，故只需把BFAB和BFDE改为ABDE就可以了答案：解 (1)方案一可行，理由： 由SAS知ABCDECAB=DE。 (2)方案二可行，理由： 由ASA知ABCEDCAB=DE (3)ABDE例15 如图，已知ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B、C在AE的两侧，BDAE于点D，CEAE于点E (1)求证：BD=DE+CE； (2)