人狼羊草过河问题数学建模.docx
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人狼羊草过河问题数学建模
数学建模
——题目：
过河问题一（人狼羊草）
摘要
在本次数学建模中，我们主要讨论的是人狼羊草问题：
一位渔民带了狼、羊、草，准备过河。
可是小船每次只能容下渔民和一件物品。
渔民不在时，狼会吃羊、羊会吃草。
要求我们设计一个方案，使农夫可以无损失的过河。
此过河问题可以视为一个多步决策过程，确定每一步的决策，达到过河的目标。
而且，我们假设人不在时，狼或羊在农夫不在时不会自己跑掉或被人牵走且农夫会划船。
于是我们得到一下集中状态：
狼羊草人/，/狼羊草人，狼羊人/草，草/狼羊人，狼草人/羊，羊/狼草人，羊草人/狼，狼/羊草人，羊人/狼草，狼草/羊人。
题目要求找出“狼羊草人/”到“/狼羊草人”的路径，本论文根据题目要求而讨论了人、狼、羊、草怎样安全过河的模型。
提出了算法和计算机编程法两种解决问题的方法，并且通过计算机编程法得出了一种方法。
一、问题的提出
人、狼、羊、草均需过河，船需要人划，最多载一物。
人不在时，狼吃羊、羊吃草，问如何过河？
这个问题可以简单的解释为：
一位渔民带了狼、羊、草，准备过河。
可是小船每次只能容下渔民和一件物品。
另有一条件为，渔民不在时，狼会吃羊、羊会吃草。
也就是说，狼与羊、羊与草、或狼羊草不能单独在一起。
现要求为过河人提出某种过河的方法，使人、狼、羊、草都安全度过河且方法最简单为宜
二、问题分析及假设
过河问题相当于状态的转移。
初状态是人，狼，羊，草均在此岸，目标终状态是人，狼，羊，草均在对岸。
（此岸）状态向量：
用四维向量（人，狼，羊，草）表示人，狼，羊，草各自的状态，记“在此岸”时各分量为“1”，否则记为“0”。
例如：
（1，1，1，1）表示人，狼，羊，草均在此岸，（0，0，0，0）表示人，狼，羊，草均在对岸。
允许状态向量：
满足系统限定条件的状态向量。
穷举所有允许状态向量如下：
（1，1，1，1），（1，1，1，0），（1，1，0，1），（1，0，1，1），（1，0，1，0），（0，1，0，1），（0，0，0，1），（0，0，1，0）（0，1，0，0），（0，0，0，0）。
运载状态向量：
用四维向量（人，狼，羊，草）表示他们各自被运载的情况，记“被运载”时各分量为“1”，否则记为“0”。
例如：
（1，1，0，0）表示被运载的是人和狼，又如（1，0，1，0）表示被运载的是人和羊。
允许运载向量：
满足系统限定条件下的运载向量。
穷举所有允许运载向量如下：
（1，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1）。
转移：
一允许状态向量逻辑加以允许运载向量。
状态转移方程：
原状态⊕运载=现状态
运算规则：
1+1=0，1+0=1，0+1=1，0+0=0。
允许运载方式：
若可取状态向量+可取运载向量=可取状态向量，则此运载为可取运载方式，其中“+”为按上述运算规则定义的运算符。
三、模型的参数及符号
（1）S：
表示所有允许状态向量的集合
S={（1，1，1，1），（1，1，1，0），（1，1，0，1），（1，0，1，1），（1，0，1，0），（0，1，0，1），（0，0，0，1），（0，0，1，0），（0，1，0，0），（0，0，0，0）}
（2）D：
表示所有允许运载向量
D={（1，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1）}
（3）Sk：
表示第K步允许状态向量
（4）Dk：
表示第K步允许运载向量
（5）k：
表示第几步，k=1,2,3…n
四、模型及解
模型：
在计算规则“1+1=0，1+0=1，0+1=1，0+0=0”下，且满足Sk+Dk=Sk+1，问题：
（1）求Dk属于D，使得Sk+1属于S;
（2）求最优的n。
其中：
初始条件S=（1，1，1，1），最终状态Sn+1=（0，0，0，0）
解法
（1）：
算法
4.1（0，1，0，1）与上述第二步重复，必定不是最优解，故不用进行下去。
4.2.1（1，1，0，1）与上述第3步重复，必定不是最优解，不用进行下去
4.2.2.1（0，0，0，1）与上述4.2重复，必定不是最优解，不用进行下去
4.2.2.2.1（1，0，1，1）与上述4.2.2重复，必定不是最优解，不用进行下去
已得最终状态向量（0，0，0，0），过程无重复，此即为最优解。
4.3.1（1，1，0，1）与上述第3步重复，必定不是最优解，不用进行下去
4.3.2.1（0，1，0，0）与上述4.3重复，必定不是最优解，不用进行下去
4.3.2.2（0，0，1，0）与按上述4.2.2.2步骤进行即可得相同的最优解
模型的解
最终结果：
解一：
D1（1，1，1，1）→D2（0，1，0，1）→D3（1，1，0，1）→D4（0，1，0，0）→D5（1，1，1，0）→D6（0，0，1，0）→D7（1，0，1，0）→D8（0，0，0，0）
解二：
D1（1，1，1，1）→D2（0，1，0，1）→D3（1，1，0，1）→D4（0，0，0，1）→D5（1，0，1，1）→D6（0，0，1，0）→D7（1，0，1，0）→D8（0，0，0，0）
n=7
解法
（2）:
图解法
绘图要求：
（1）连线两端必须是允许状态向量；
（2）相邻两点（通过一次运载得到的点）相连；
（3）从（1，1，1，1）至（0，0，0，0）结束。
连线如下：
最终结果：
模型的解
解一：
D1（1，1，1，1）→D2（0，1，0，1）→D3（1，1，0，1）→D4（0，1，0，0）→D5（1，1，1，0）→D6（0，0，1，0）→D7（1，0，1，0）→D8（0，0，0，0）
解二：
D1（1，1，1，1）→D2（0，1，0，1）→D3（1，1，0，1）→D4（0，0，0，1）→D5（1，0，1，1）→D6（0，0，1，0）→D7（1，0，1，0）→D8（0，0，0，0）
n=7
与解法
（1）解相同
五、计算机编程法（C语言）
要解决这个问题就要使过河时载两个过河，返回时尽量只有一个回来。
用一个字符串数组来存人，狼，羊，草；下标依次为0，1，2，3；但他们都有河这边和那边两种状态；为方便则定义一个结构，只含一个int型变量n；当在河这边时n设为0；在河那边时n设为1。
由于每次过河与返回都要考虑狼能否吃羊或羊能否吃草；则需要一个函数来判断每次选择是否满足条件。
源代码：
#include"stdio.h"
typedefstructnode
{intn;
}node;
intp（node*a）
inti,j=1;
if（a->n==1）
{for（i=1;i<3;i++）
if（（a+i）->n==0&&（a+i+1）->n==0）{j=0;break;}
}
if（a->n==0）
{for（i=1;i<3;i++）
if（（a+i）->n&&（a+i+1）->n）{j=0;break;}
}
returnj;
}
intmain（）
{
inti,k=0,m=0,l,j=0,q;
charstr[4][7]={"人","狼","羊","草"};
nodea[4];
for（i=0;i<4;i++）（a+i）->n=0;
while
（1）
{
a[0].n=1;
for（l=1;l<4;l++）
{
if（l==j）{j=0;continue;}
if（（a+l）->n==0）
{
（a+l）->n=1;
if（p（a））break;
else（a+l）->n=0;
}
}
printf（"%s,%s过河; ",str[m],str[l]）;
for（q=0;q<4;q++）
if（（a+q）->n）m=1;
else{m=0;break;}
if（m）break;
a->n=0;
if（p（a）==0） {
k=1;
for（j=1;j<4;j++）
{
if（j==l）{l=0;continue;}
if（（a+j）->n==1）
{
（a+j）->n=0;
if（p（a））break;
else（a+j）->n=1;
}
}
}
if（k）{printf（"%s,%s返回\n",str[m],str[j]）;k=0;}
elseprintf（"%s返回\n",str[m]）;
}
printf（"\n"）;
return0;
}
图为计算机运行结果
六、参考文献
1、数学建模精讲精练，哈尔滨工程大学出版社，沈继红主编，2007
2、数学建模，哈尔滨工业大学出版社，白凤山等主编，2003
3，数学模型，高等教育出版社，姜启源主编，1993
4、C语言程序设计教程，电子工业出版社，凌云主编，2008
5、数学建模，浙江大学出版社，杨启帆主编，1999
6、数学建模导论，北京邮电大学出版社，陈理荣主编，2000
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