人狼羊草过河问题数学建模.docx

1、人狼羊草过河问题数学建模数 学 建 模题目：过河问题一（人狼羊草） 摘要 在本次数学建模中，我们主要讨论的是人狼羊草问题：一位渔民带了狼、羊、草，准备过河。可是小船每次只能容下渔民和一件物品。渔民不在时，狼会吃羊、羊会吃草。要求我们设计一个方案，使农夫可以无损失的过河。此过河问题可以视为一个多步决策过程，确定每一步的决策，达到过河的目标。而且，我们假设人不在时，狼或羊在农夫不在时不会自己跑掉或被人牵走且农夫会划船。于是我们得到一下集中状态：狼羊草人/， /狼羊草人， 狼羊人/草， 草/狼羊人， 狼草人/羊， 羊/狼草人， 羊草人/狼， 狼/羊草人， 羊人/狼草， 狼草/羊人。题目要求找出“狼羊

2、草人/”到“/狼羊草人”的路径，本论文根据题目要求而讨论了人、狼、羊、草怎样安全过河的模型。提出了算法和计算机编程法两种解决问题的方法，并且通过计算机编程法得出了一种方法。一、问题的提出人、狼、羊、草均需过河，船需要人划，最多载一物。人不在时，狼吃羊、羊吃草，问如何过河？这个问题可以简单的解释为：一位渔民带了狼、羊、草，准备过河。可是小船每次只能容下渔民和一件物品。另有一条件为，渔民不在时，狼会吃羊、羊会吃草。也就是说，狼与羊、羊与草、或狼羊草不能单独在一起。现要求为过河人提出某种过河的方法，使人、狼、羊、草都安全度过河且方法最简单为宜二、问题分析及假设过河问题相当于状态的转移。初状态是人，狼

3、，羊，草均在此岸，目标终状态是人，狼，羊，草均在对岸。（此岸）状态向量：用四维向量（人，狼，羊，草）表示人，狼，羊，草各自的状态，记“在此岸”时各分量为“1”，否则记为“0”。例如：（1，1，1，1）表示人，狼，羊，草均在此岸，（0，0，0，0）表示人，狼，羊，草均在对岸。允许状态向量：满足系统限定条件的状态向量。穷举所有允许状态向量如下：（1，1，1，1），（1，1，1，0），（1，1，0，1），（1，0，1，1），（1，0，1，0），（0，1，0，1），（0，0，0，1），（0，0，1，0）（0，1，0，0），（0，0，0，0）。运载状态向量：用四维向量（人，狼，羊，草）表示他们各自被运载

4、的情况，记“被运载”时各分量为“1”，否则记为“0”。例如：（1，1，0，0）表示被运载的是人和狼，又如（1，0，1，0）表示被运载的是人和羊。允许运载向量：满足系统限定条件下的运载向量。穷举所有允许运载向量如下：（1，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1）。转移：一允许状态向量逻辑加以允许运载向量。状态转移方程：原状态运载=现状态运算规则：1+1=0，1+0=1，0+1=1，0+0=0。允许运载方式：若可取状态向量 + 可取运载向量 = 可取状态向量，则此运载为可取运载方式，其中“+”为按上述运算规则定义的运算符。三、模型的参数及符号 （1）S：表示所有允许

5、状态向量的集合 S=（1，1，1，1），（1，1，1，0），（1，1，0，1），（1，0，1，1），（1，0，1，0），（0，1，0，1），（0，0，0，1），（0，0，1，0），（0，1，0，0），（0，0，0，0） （2）D：表示所有允许运载向量 D=（1，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1） （3）Sk：表示第K步允许状态向量 （4）Dk：表示第K步允许运载向量 （5）k：表示第几步，k=1,2,3n四、模型及解模型：在计算规则“1+1=0，1+0=1，0+1=1，0+0=0”下， 且满足Sk + Dk = Sk+1，问题：（1）求Dk属于D，使得Sk

6、+1属于S;（2）求最优的n。其中：初始条件S=（1，1，1，1），最终状态Sn+1=（0，0，0，0）解法（1）：算法 4.1 （0，1，0，1）与上述第二步重复，必定不是最优解，故不用进行下去。 4.2.1 （ 1，1，0，1 ）与上述第3步重复，必定不是最优解，不用进行下去 4.2.2.1 （0，0，0，1）与上述4.2重复，必定不是最优解，不用进行下去4.2.2.2.1 （1，0，1，1）与上述4.2.2重复，必定不是最优解，不用进行下去 已得最终状态向量（0，0，0，0），过程无重复，此即为最优解。4.3.1 （ 1，1，0，1 ）与上述第3步重复，必定不是最优解，不用进行下去4.3

7、.2.1 （0，1，0，0）与上述4.3重复，必定不是最优解，不用进行下去4.3.2.2 （ 0，0，1，0 ）与按上述4.2.2.2步骤进行即可得相同的最优解模型的解最终结果：解一： D1（1，1，1，1）D2（0，1，0，1）D3（ 1，1，0，1 ）D4（0，1，0，0）D5（ 1，1，1，0 ）D6（ 0，0，1，0 ）D7（1，0，1，0）D8（0，0，0，0）解二： D1（1，1，1，1）D2（0，1，0，1）D3（ 1，1，0，1 ）D4（0，0，0，1）D5（1，0，1，1）D6（ 0，0，1，0 ）D7（1，0，1，0）D8（0，0，0，0） n=7解法(2):图解法 绘图要

8、求：（1）连线两端必须是允许状态向量； （2）相邻两点（通过一次运载得到的点）相连； （3）从（1，1，1，1）至（0，0，0，0）结束。 连线如下：最终结果： 模型的解 解一： D1（1，1，1，1）D2（0，1，0，1）D3（ 1，1，0，1 ）D4（0，1，0，0）D5（ 1，1，1，0 ）D6（ 0，0，1，0 ）D7（1，0，1，0）D8（0，0，0，0）解二： D1（1，1，1，1）D2（0，1，0，1）D3（ 1，1，0，1 ）D4（0，0，0，1）D5（1，0，1，1）D6（ 0，0，1，0 ）D7（1，0，1，0）D8（0，0，0，0）n=7与解法（1）解相同五、计算机编程法

9、（C语言）要解决这个问题就要使过河时载两个过河，返回时尽量只有一个回来。用一个字符串数组来存人，狼，羊，草；下标依次为0，1，2，3；但他们都有河这边和那边两种状态；为方便则定义一个结构，只含一个int型变量n；当在河这边时n设为0；在河那边时n设为1。由于每次过河与返回都要考虑狼能否吃羊或羊能否吃草；则需要一个函数来判断每次选择是否满足条件。源代码：#includestdio.htypedef struct nodeint n;node;int p(node *a)int i,j=1;if(a-n=1) for(i=1;in=0&(a+i+1)-n=0) j=0;break;if(a-n=0

10、) for(i=1;in&(a+i+1)-n) j=0;break;return j; int main()int i,k=0,m=0,l,j=0,q;char str47=人,狼,羊,草;node a4; for(i=0;in=0;while(1) a0.n=1; for(l=1;ln=0) (a+l)-n=1;if(p(a) break;else (a+l)-n=0;printf(%s,%s 过河; ,strm,strl); for(q=0;qn) m=1;else m=0;break;if(m) break;a-n=0; if(p(a)=0) k=1; for(j=1;jn=1) (a+

11、j)-n=0;if(p(a) break;else (a+j)-n=1;if(k) printf(%s,%s 返回n,strm,strj);k=0; else printf(%s 返回n,strm);printf(n);return 0;图为计算机运行结果六、参考文献1、数学建模精讲精练，哈尔滨工程大学出版社，沈继红主编，20072、数学建模，哈尔滨工业大学出版社，白凤山等主编，20033，数学模型，高等教育出版社，姜启源主编，19934、C语言程序设计教程，电子工业出版社，凌云主编，20085、数学建模，浙江大学出版社，杨启帆主编，19996、数学建模导论，北京邮电大学出版社，陈理荣主编，2000