北京市昌平区高三期末数学文.docx
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北京市昌平区高三期末数学文
2013北京市昌平区高三期末数学文
昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷（文科）
（满分150分，考试时间120分钟）2013.1
考生须知：
1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I卷（选择题）必须用2B铅笔作答，第II卷（非选择题）必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）复数的虚部是
A.B.C.D.
（2）“”是“直线垂直”的
A.充分不必要条件B必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
（3）在数列中，则的值为
A．7B．8C．9D．16
（4）如图，在
③④
A.①③B.②④C.①④D.②③
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）在中，若,，，则=
（10）已知是等差数列的前项和，其中
（11）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时
输出的结果为．
（12）以双曲线的右焦点为圆心，并与其
渐近线相切的圆的标准方程是_______.
（13）已知函数则________;
若，则实数的取值范围是_______________.
（14）过椭圆上一点作直线交椭圆于两点，设的斜率分别为，若点关于原点对称，且则此椭圆的离心率为___________.
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（15）（本小题满分13分）已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最值.
（16）（本小题满分14分）
在四棱锥中，底面是正方形，为的中点.
（Ⅰ）求证：
∥平面；
（Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）若在线段上是否存在点，使？
若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
（17）（本小题满分13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.
甲组乙组
6X87
419003
（Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X及甲组同学数学成绩的方差；
（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率.（注：
方差其中）
（18）（本小题满分13分）已知函数.
（Ⅰ）若求函数上的最大值；
（Ⅱ）若对任意，有恒成立，求的取值范围.
19.（本小题满分13分）
已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为，且点在椭圆上.直线的斜率为,且与椭圆交于、两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求面积的最大值.
20.（本小题满分14分）
已知每项均是正整数的数列，其中等于的项有个，设，
（Ⅰ）设数列，
①求；②求的值；
（Ⅱ）若中最大的项为50，比较的大小.
昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷参考答案（文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
B
A
B
C
A
C
D
B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
（9）（10）6；9
（11）3（12）
（13）-5;（14）
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（15）（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）因为
.………………………………5分
所以的最小正周期．…………………7分
（II）由…………..9分
当，…………….11分
当.……………….13分
（16）（本小题满分14分）
解：
（I）连接.
由是正方形可知,点为中点.
又为的中点，
所以∥………………….2分
又
所以∥平面………….4分
（II）证明：
由
所以
由是正方形可知,
又
所以………………………………..8分
又
所以…………………………………………..9分
（III）在线段上存在点，使.理由如下：
如图，取中点，连接.
在四棱锥中，，
所以.…………………………………………………………………..11分
由（II）可知，而
所以，
因为
所以………………………………………………………….13分
故在线段上存在点，使.
由为中点，得……………………………………………14分
（17）（本小题满分13分）
解：
（I）乙组同学的平均成绩为，甲组同学的平均成绩为90，
所以…………………………………2分
甲组同学数学成绩的方差为……………6分
（II）设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为则所有的事件构成的基本事件空间为：
共16个基本事件.
设事件“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件包含的基本事件的空间为{共7个基本事件，
………………………………………………………………………….13分
（18）（本小题满分13分）
解：
（I）当时，，.............1分
令..................................2分
列表：
-
+
↘
↗
∴当时，最大值为.………………………7分
（Ⅱ）令
1若单调递减.
单调递增.
所以，在时取得最小值，
因为.
…………………..9分
②若，
所以当……………………………………..10分
③若单调递减.
单调递增.
所以，在取得最小值，
令
综上，的取值范围是.………………………………13分
（19）（本小题满分13分）
解:
（Ⅰ）由题意知，所以.
故所求椭圆方程为………………………………….5分
（Ⅱ）设直线的的方程为,则.设
代入椭圆方程并化简得,…………6分
由,可得.（）
由（），得,
故…..9分
又点到的距离为,…………………10分
故
当且仅当,即时取等号满足（）式.
所以面积的最大值为.……………………13分
（20）（本小题满分13分）
解:
（I）①因为数列，
所以，
所以.………8分
②……….10分
（II）一方面，，
根据的含义知，
故，即，
当且仅当时取等号.
因为中最大的项为50，所以当时必有，
所以
即当时，有；当时，有.14分
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