华师大版九年级数学下第章《圆》全章导学案.docx

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华师大版九年级数学下第章《圆》全章导学案

学校_______班级_______小组_______姓名________小组评价______教师评价_____

27.1圆的认识

第1课时27.1.1圆的基本元素

【学习目标】

1．理解圆的两种定义，理解并掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧、圆心角等基本概念，能够从图形中识别；

2．理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念；

3．能应用圆的有关概念解决问题.

【学习重难点】

重点：

理解圆的定义，并掌握圆的基本元素，能从图形中识别；

难点：

理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念；

【学法指导】

通过生活中圆形物体的感性认识，并自己动手操作画图，理解圆的定义，通过阅读教材理解圆的相关概念并在图中识别，澄清相关概念，并能用相关概念来解决问题．

【自学互助】

一、自学教材P36-37

（一）知识链接

1．自己回忆一下，小学学习过圆的哪些知识？

2．结合生活实际，说说生活中有哪些物体是圆形的？

并思考圆有什么特征？

（二）根据以下题目自主学习并完成

1．理解圆的定义：

（自己动手画圆）

（1）描述性定义：

____________________________________________________。

从圆的定义中归纳：

①圆上各点到定点（圆心）的距离都等于______；

②到定点的距离等于定长的点都在_____.

（2）集合性定义：

__________________________________________________。

（3）圆的表示方法：

以点为圆心的圆记作______，读作______.

（4）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是______，另一个是_____，其中_____

确定圆的位置，______确定圆的大小.

2．圆的相关概念：

（1）弦、直径；

（2）弧及其表示方法；（3）等圆、等弧。

如图1，弦有线段，直径是，最长的弦是，优弧有；劣弧有。

【展示互导】

活动1．学生展示自主学习内容并相互交流

活动2.判断下列说法是否正确，为什么？

（1）直径是弦.（）

（2）弦是直径.（）

（3）半圆是弧.（）（4）弧是半圆.（）

（5）等弧的长度相等.（）（6）长度相等的两条弧是等弧.（）

活动3．⊙O的半径为2㎝，弦AB所对的劣弧为圆周长的，则∠AOB＝，AB＝

活动4．已知：

如图2，为⊙O的半径，分别为的中点，

求证：

（1）

（2）

活动4．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O中不过圆心的任意一条弦，求证：

AB＞CD。

【质疑互究】

通过自学和同学展示你还有哪些困惑或新的思考：

【检测互评】

1．教材P37练习1、2题

2．下列说法正确的有（）

①半径相等的两个圆是等圆；②半径相等的两个半圆是等弧；

③过圆心的线段是直径；④分别在两个等圆上的两条弧是等弧.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图3，点以及点分别在一条直线上，则圆中有条弦.

4.⊙O的半径为3，则⊙O中最长的弦长为

5.如图4，在中，以为圆心，为半径的圆交于点，求的度数.

【总结提升】

1、知识小结

（1）圆的两种定义：

①；

②.

（2）什么是弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧？

（3）同圆或等圆的半径有什么性质？

2、拓展提升

已知：

如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，

∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．

学校_______班级_______小组_______姓名________小组评价______教师评价_____

第2课时27.1.2圆的对称性

（1）

【学习目标】

1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程

2、理解圆的中心对称性及有关性质

3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题

【学习重难点】

重点：

理解圆的中心对称性及有关性质

难点：

运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题

【学法指导】

通过观察、动手操作、合作交流等方法探索圆中的圆心角、弦、弧之间的关系，运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题。

【自学互助】

1、自学教材p37-38内容

2、按照下列步骤进行小组活动：

⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O

⑵在⊙O和⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB、∠，连接AB、

⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O重合（如图）

⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA重合

在操作的过程中，你有什么发现？

___________________________

3、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？

你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?

4、圆心角、弧、弦之间的关系：

___________________________________________________________________。

5、试一试：

如图，已知⊙O、⊙O半径相等，AB、CD分别是⊙O、⊙O的两条弦填空：

（1）若AB=CD，则，

（2）若AB=CD，则，

（3）若∠AOB=∠COD，则，

6、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？

弧的大小：

圆心角的度数与它所对的弧的度数相等

【展示互导】

活动1．学生展示自主学习内容并相互交流

活动2．如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC，∠ABC与∠BAC相等吗？

为什么？

【质疑互究】

通过自学和同学展示你还有哪些困惑或新的思考：

【检测互评】

1、教材P39练习1、2题

2、画一个圆和圆的一些弦，使得所画图形满足下列条件：

（1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；

（2）既是轴对称图形，又是中心对称图形。

3、如图,在⊙O中,,∠1=30°,则∠2=_______

4、一条弦把圆分成1：

3两部分，则劣弧所对的圆心角为________。

5、⊙O中，直径AB∥CD弦，，则∠BOD=______。

6、在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为

7、如图，AB是直径，︵BC＝︵CD＝︵DE，∠BOC＝40°，∠AOE的度数是。

【总结提升】

1、知识小结

（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别_________；

（2）圆心角的度数与它所对的弧的度数________。

2、拓展提升

（1）已知，如图，AB是⊙O的直径，M,N分别为AO,BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M,N。

求证：

AC=BD

（2）已知，如图，在⊙O中，弦，

你能用多种方法证明吗？

学校_______班级_______小组_______姓名________小组评价______教师评价_____

第3课时27.1.2圆的对称性

（2）

【学习目标】

1．理解圆的轴对称性；

2．掌握垂径定理及其推论，能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明.

【学习重难点】

重点：

“垂径定理”及其应用

难点：

垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明

【学法指导】

本节课的学习中通过动手操作、观察、猜想、归纳、验证得出相关结论，并加以应用.

【自学互助】

1、自主学习教材P39-40相关内容

2.阅读教材p39“试一试”内容，按下面的步骤做一做：

（如图1）

第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，作⊙O的一条弦；

第二步，作直径,使，垂足为；

第三步，将⊙O沿着直径折叠.

你发现了什么？

归纳：

（1）图1是对称图形，对称轴是.

（2）相等的线段有，相等的弧有.

【展示互导】

活动1：

（1）如图2，怎样证明“自主学习2”得到的第

（2）个结论.

叠合法证明：

（2）垂径定理：

垂直于弦的直径弦，并且的两条弧.

定理的几何语言：

如图2是直径（或经过圆心），且

（3）推论：

_________________________________________________________________．

活动2：

垂径定理的应用

如图3，已知在⊙O中，弦的长为8，圆心到的距离（弦心距）为3，求⊙O的半径.（分析：

可连结，作于）

解：

【质疑互究】

通过自学和同学展示你还有哪些困惑或新的思考：

【检测互评】

1.教材p40练习1，2题

2.圆的半径为5，圆心到弦的距离为4，则．

3.如图5，是⊙O的直径，为弦，于，则下列结论中不成立的是（）

A.B.C.D.

3.如图6，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．

【总结提升】

1、知识小结

（1）垂径定理是，定理有两个条件，三个结论。

（2）定理可推广为：

在五个条件①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧中，知推。

2、方法小结：

（1）在运用垂径定理解决问题是辅助线的常用作法：

连半径，过圆心向弦作垂线段。

（2）如图4，根据垂径定理和勾股定理，“半弦、半径、弦心距”

构成直角三角形，则的关系为，

知道其中任意两个量，可求出第三个量.

3、拓展提升

（1）已知：

如图7，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，

AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．

（2）如图9，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动（点C与A，点D与B不重合），CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．

（1）求证：

AE=BF；

（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?

若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．

学校_______班级_______小组_______姓名________小组评价______教师评价_____

第4课时27.1.2圆的对称性（3）

【学习目标】

1．熟练掌握垂径定理及其推论；

2．能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明，进一步应用垂径定理解决实际问题.

【学习重难点】

重点：

“垂径定理及其推论”及其在实际问题中的应用

难点：

分清垂径定理及其推论的题设和结论、垂径定理及其在实际问题中的应用

【学法指导】

本节课学习中通过对比理解垂径定理及其推论，应用中善于将实际问题转化为数学问题，培养建模思想和提高分析问题、解决问题的能力。

【自学互助】

阅读教材P40并完成下列各题

1．垂径定理：

2.推论：

3.如图1，的直径为10，圆心到弦的距离的长为3，则弦的长是.

【展示互导】

活动1：

如图3，用表示主桥拱，设所在圆的圆心是点O，半径为.

归纳：

（1）如图4，半弦、半径、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理可得.

（2）在弦长、弦心距、半径、弓形高中，知道其中任意两个，可求出其它两个.

活动2：

如图5，已知，请你利用尺规作图的方法作出的中点，说出你的作法．

作法：

【质疑互究】

通过自学和同学展示你还有哪些困惑或新的思考：

【检测互评】

1.（长春中考）如图6，是的直径，弦，垂足为，如果,那么线段的长为（）圆心到弦的距离的长为3，则弦的长是.

A.10B.8C.6D.4

2.如图7，在中，若于点，为直径,试填写出三个你认为正确的结论：

，，.

3.P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为______；