中考数学第九章圆复习人教版.docx

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中考数学第九章圆复习人教版

2017年中考数学第九章圆复习（人教版）

第十二讲圆

李树臣

121圆的性质

基础盘点

1圆是的集合

2．圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是

图形，是它的对称中心

3．垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦（不是直径）的直径于弦，并且平分

4．如果在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别

．同弧或等弧所对的圆周角；半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是

6圆内接四边形的对角

考点呈现

考点1圆周角与圆心角的关系

例1（201•眉）如图1，⊙是△AB的外接圆，∠A=4°，则∠B的度数为（）

A30°B3°40°D4°

解析：

如图2，连接A因为A=，∠A=4°，所以∠A=4°，所以∠A=180°﹣4°﹣4°=90°所以∠B=∠A=4°．故选D．

评注：

熟知“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”是解答此题的关键．

考点2圆内接四边形的性质

例2（201•常德）如图3，四边形ABD为⊙的内接四边形已知∠BD＝100°，则∠BD的度数为（）

A0°B80°100°D130°

解析：

因为∠BD＝100°，所以∠A=0°，所以∠BD=180°-∠A=180°-0°=130°故选D

评注：

本题用到了圆周角与圆心角的关系及圆内接四边形的对角互补的性质

考点3垂径定理

例3（201•衢州）一条排水管的截面如图4所示，已知排水管的半径A=1，水面宽AB=12，某天下雨后，水管水面上升了02,则此时排水管水面宽D等于

解析：

如图，连接，过点作E⊥AB于点E，交D于点F，则E⊥D，AE=BE，F=DF因为A=1，AB=12，所以AE=06，所以E==08（）

因为下雨后，水管水面上升了02，即EF=02，所以F=06

所以F===08（）所以D=2F=16（）

评注：

作出辅助线E⊥AB构造直角三角形是解答本题的基本思路，而首先利用勾股定理求出E进而得到F是关键的一步，然后利用勾股定理求出F

考点4圆的性质的综合应用

例4（201•威海）如图6，在△AB中，AB=A，以A为直径的⊙交AB于点D，交B于点E．

（1）求证：

BE=E；

（2）若BD=2，BE=3，求A的长．

分析：

对于第

（1）问，连接AE，根据圆周角定理，由A为直径得到∠AE=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=E；对于第

（2）问，要先连接DE，证明△BED∽△BA，然后利用相似三角形的性质可计算出AB的长，从而得到A的长．

解：

（1）连接AE，如图7因为A为⊙的直径，所以∠AE=90°，所以AE⊥B

又AB=A，所以BE=E

（2）连接DE，D,如图7因为BE=E=3，所以B=6因为A为⊙的直径，所以∠AD=90°所以∠BA=90°-∠AD因为∠BED=90°-∠DEA,∠DEA=∠AD,所以∠BED=∠BA又因为∠DBE=∠BA，所以△BED∽△BA，所以，即，所以BA=9，所以A=BA=9．

评注：

本题考查了圆周角定理及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条，以充分发挥基本图形的作用

误区点拨

1．对圆内接四边形的概念理解不清致错

例1（201•临沂）如图8，A，B，是⊙上的三个点，若∠A=1000，则∠AB等于（）

A0°B80°100°D130°

错解：

B

剖析：

此题主要考查圆内接四边形的对角的性质，解答的前提是正确理解圆内接四边形的概念圆内接四边形的四个顶点都要在圆上，本题中的点不在⊙上，所以不能利用“对角互补”的性质错解的原因就在于没有搞清楚概念的本质正确的解答为：

如图9，因为∠A=100°，所以∠D=∠A=0°，因为圆内接四边形的对角互补，所以∠AB=180°-0°=130°故选D

2．忽视分类讨论致错

例2（201•绍兴）在Rt△AB中，∠=90°，B=3，A=4，点P在以为圆心，为半径的圆上，连接PA，PB若PB=4，则PA的长为

错解：

3

剖析：

本题应分两种情况，如图10所示，当点P与点A在B同侧时，四边形BAP1是矩形，P1A=B=3；当点P与点A在B异侧时，四边形P2EAP1是矩形，P1A==

所以PA的长为3或

跟踪训练

1（201•泰安）如图，⊙是△AB的外接圆，∠B=60°，⊙的半径为4，则A的长等于（）

A．B．．D．8

2（201•上海）如图，已知在⊙中，AB是弦，半径⊥AB，垂足为点D，要使四边形AB为菱形，还需要添加一个条，这个条可以是（）

AAD＝BDBD＝D∠AD＝∠BDD∠A＝∠B

3（201•丽水）如图，圆心角∠AB=20°，将AB旋转得到D，则D的度数是度

4（201•绍兴）如图，已知点A（0，1），B（0，-1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交轴的正半轴于点，则∠BA等于度

（201•台州）如图，四边形ABD内接于⊙，点E在对角线A上，E=B=D

（1）若∠BD=39°，求∠BAD的度数；

（2）求证：

∠1=∠2

122与圆有关的位置关系

基础盘点

1．点和圆的位置关系有三种：

点在、点在和点在

2直线和圆的位置关系有三种：

（1）如果一条直线与一个圆公共点，那么就说这条直线与这个圆；

（2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆，此时这条直线就做圆的，这个公共点叫做切点；

（3）如果一条直线与一个圆有个公共点，那么就说这条直线与这个圆，此时这条直线就做圆的，这两个公共点叫做点

3圆的切线于经过切点的；经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线

4过圆外一点可以引圆的切线，其相等

经过三角形的三个顶点可以确定一个圆，该圆的是这个三角形的外心；和三角形各边都相切的圆是三角形的，其圆心叫做三角形的内心

考点呈现

考点1点和圆的位置关系

例1（201•上海改编）在矩形ABD中，AB＝，B＝12．如果点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于_____．（只需写出一个符合要求的数）

解析：

BD==13，要保证点B在⊙D内，那么⊙D的半径长应大于13这样的数有无数个，只要是大于13的数就可以例如14就符合要求

评注：

点和圆的位置关系有三种，要保证一个点B在⊙D内，那么点B到圆心D的距离应小于⊙D的半径

考点2三角形的外接圆和内切圆

例2201•台州）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆的半径为（）

AB2-22-D-1

解析：

如图1，等腰直角三角形AB中，∠AB=90°,⊙D为外接圆，可知D为AB的中点，因此AD=2，AB=2AD=4，根据勾股定理可求得A=2根据内切圆性质可知，四边形EFG是正方形，AF=AD，因此EF=F=A-AF=2-2故选B评注：

首先根据等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，求出等腰三角形的腰长，然后根据内切圆判定出四边形EFG为正方形是．

考点3切线长定理

例3（201•南京）如图2，在矩形ABD中，AB=4，AD=，AD，AB，B分别与⊙相切于E，F，G三点，过点D作⊙的切线交B于点，切点为N，则D的长为（）

ABD2解析：

如图2，连接E，D，N，F因为AB=4，所以⊙的半径为2易证四边形AEF是正方形，所以AE=AF=BF=2由切线长定理，得DN=DE=AD-AE=-2=3，BG=BF=2设N=G=x，则=B-BG-G=3-x，D=DN+N=3+x因为D2=D2+2，所以（3+x）2=42+（3-x）2，所以x=,所以D=3+=故选A

评注：

本题由切线长定理得出DN=DE及N=G，并利用勾股定理建立方程是

考点4切线的性质

例4（201•舟）如图3，在△AB中，AB=，B=3，A=4，以点为圆心的圆与AB相切，则⊙的半径为（）

A23B242D26解析：

如图3，作D⊥AB于D,则D是⊙的半径因为2=32+42，即AB2=B2+A2，所以△AB是直角三角形所以由面积公式，得AB•D=A•B，即D=4×3，所以D=24，即⊙的半径为24故选B

评注：

由切线的性质得到D为半径是关键

例（201•资阳）如图4，在△AB中，B是以AB为直径的⊙的切线，且⊙与A相交于点D，E为B的中点，连接DE

（1）求证：

DE是⊙的切线；

（2）连接AE，若∠=4°，求sin∠AE的值

解析：

（1）如图4，连接D，BD，则D=B，所以∠DB=∠BD．

因为AB是直径，所以∠ADB=90°，所以∠DB=90°．

因为E为B的中点，所以DE=BE，

所以∠EDB=∠EBD

所以∠DB+∠EDB=∠BD+∠EBD，

即∠ED=∠EB．

因为B是以AB为直径的⊙的切线，

所以AB⊥B，所以∠EB=90°所以∠DE=90°，

所以DE是⊙的切线

（2）如图4，作EF⊥D于F，设EF=x因为∠=4°，

所以△EF，△AB都是等腰直角三角形，所以F=EF=x，

所以BE=E=x，所以AB=B=2x

在Rt△ABE中，AE=x，所以sin∠AE=．

评注：

本题属于圆的综合问题，主要考查了圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理等知识

误区点拨

1．对切线的性质理解不清致错

例1（201•梅州）如图1，AB是⊙的弦，A是⊙的切线，A为切点，B经过圆心若∠B=20°，则∠的大小等于（）

A．20°B．2°．40°D．0°

错解：

剖析：

本题由于不能正确理解圆的切线的性质，导致无从下手，凭直观错误的认为∠应该是∠B的2倍正确的解答过程应为：

如图，连接A因为A是⊙的切线，所以∠A=90°因为A=B，所以∠B=∠AB=20°，所以∠A=40°，所以∠=0°．正确答案应选D

2．不能灵活运用切线的判定条导致证明错误

例2如图2，AB是⊙的直径，点，D为半圆的三等分点，过点作E⊥AD，交AD的延长线于点E．求证：

E为⊙的切线．

错证：

因为E⊥AD，并且点在⊙上，所以E为⊙的切线．

剖析：

错误的原因在于不理解切线的判定方法根据切线的判定方法，只要证明⊥E即可正确的证明过程如下：

连接D，如图2因为点，D为半圆的三等分点，所以∠B＝∠BD因为A=D,所以∠AD＝∠DA又∠BD＝∠BAD+∠DA，所以∠BAD＝∠BD，所以∠B＝∠BAD，所以AE∥

因为AD⊥E，所以⊥E，所以E为⊙的切线．

跟踪训练

1（201•广州）已知⊙的半径是，直线是⊙的切线，则点到直线的距离是（）

A2BD10

2（201•湖州）如图，以点为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点，A交小圆于点D若D=2，tan∠AB=，则AB的长是（）

A4B28D4

3（201•宁波）如图，在矩形ABD中，AB=8，AD=12，过点A，D两点的⊙与B边相切于点E，则⊙的半径为4（201•常德）已知如图，以Rt△AB的边A为直径作⊙交斜边AB于点E，连接E并延长，交B的延长线于点D，点F为B的中点，连接EF

（1）求证：

EF是⊙的切线；

（2）若⊙的半径为3，∠EA＝60°，求AD的长（201•呼和浩特）如图，⊙是△AB的外接圆，P是⊙外的一点，A是⊙的直径，∠PA=∠AB

（1）求证：

PA是⊙的切线；

（2）连接PB与A交于点D，与⊙交于点E，F为BD上的一点，若为B⌒的中点，且∠DF=∠P，求证：

123有关圆的计算

基础盘点

1．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的，外接圆的半径叫做正多边形的，正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的

2圆的半径为R，n°的圆心角所对的弧的长为l，则l=

3圆心角为n°，半径为R，弧长为L的扇形的面积计算公式S扇形=

考点呈现

考点1圆内接多边形

例1（201•青岛）如图1，正六边形ABDEF内接于⊙，若直线PA与⊙相切于点A，则∠PAB等于（）

A．30°B．3°．4°D．60°

解析：

如图2，过点A作⊙的切线PA，连接A，B，则A⊥PA因为∠AB=60°，所以∠PAB=900-60°=30°故选A

评注：

解答此题的关键是利用正六边形的半径等于其边长，从而得到△AB是等边三角形

考点2弧长的计算

例2（201•滨州）如图3,⊙的直径AB的长为10，弦A的长为，∠AB的平分线交⊙于点D

（1）求B的长；

（2）求弦BD的长解析：

（1）如图4，连接因为AB为⊙的直径，所以∠AB=∠ADB=90°

在Rt△AB中，因为s∠BA=,所以∠BA=60°，所以∠B=2∠BA=120°所以B的长为

（2）如图4，连接D因为D平分∠AB，所以∠AD=∠BD,所以AD=BD

因为AB为⊙的直径，所以∠ADB=90°，∠BAD=∠ABD=4°，BD=

评注：

（1）熟记弧长计算公式l=是关键

考点3扇形的面积公式

例3（201•自贡）如图，AB是⊙的直径，弦D⊥AB，∠DB＝30°，D＝，则阴影部分的面积为（）

A2πBπD

解析：

如图，连接D，则阴影部分的面积即为扇形BD的面积

因为D⊥AB，∠DB＝30°，所以∠DB＝60°

因为B=D，所以△BD为等边三角形因为D＝，D⊥AB，所以，所以r=2所以扇形的面积为，即阴影部分的面积故选D

评注：

本题抓住圆的相关性质切入，把阴影部分的面积转化到一个扇形中求根据圆是轴对称图形和垂径定理，利用题中条得知是弦D的中点,B是D的中点是关键

误区点拨

1不能熟记有关的计算公式从而导致错误

例1（201•绍兴）如图1，四边形ABD是⊙的内接四边形，⊙的半径为2，∠B=13°，则的长（）

ABD错解：

如图2，连接A，因为∠B=13°，所以∠D=180°﹣13°=4°，

则的长==故选

剖析：

错解的原因在于不能正确理解并记住弧长的计算公式，在弧长计算公式l=中，R为圆的半径，n是圆心角的度数，错解中误把它当成圆周角的度数正确的解答为：

如图7，连接A,因为∠B=13°，所以∠D=180°﹣13°=4°，所以∠A=90°，

则的长==π．应选B

2考虑问题不全面造成解答错误

例2（201•泉州）在以为圆心3为半径的圆周上，依次有A，B，三个点，若四边形AB为菱形，则该菱形的边长等于；弦A所对的弧长等于．

错解：

3，2π．

剖析：

本题的第一问正确，第二问有两个答案，A所对的弧可以是优弧也可以是劣弧本题漏掉了一解，考虑问题不全面，这是常出现的问题当弦A所对的弧是是劣弧是，弧长为2π，当弦A所对的弧为优弧时，弧长为4π，所以正确答案为3，2π或4π．

跟踪训练

1．（201•广东）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为（）

A6B78D9

2（201•苏州）如图，AB为⊙的切线，切点为B，连接A，A与⊙交于点，BD为⊙的直径，连接D．若∠A=30°，⊙的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）

A．B．．D．

3．如图，正六边形ABDEF内接于⊙，⊙的半径为1，则的长为

4（201•丽水）如图，在△AB中，AB=A，以AB为直径的⊙分别与B，A交于点D，E，过点D作⊙的切线DF，交A于点F

（1）求证：

DF⊥A；

（2）若⊙的半径为4，∠DF=22°，求阴影部分的面积

参考答案

121圆的性质

1A2B320460

解：

（1）因为B=D，∠BD=39°，所以∠BD=∠BD=39°

因为四边形ABD内接于⊙，所以∠BA=∠BD，∠AD=∠BD

所以∠BAD=∠BA+∠AD=∠BD+∠BD=78°

（2）证明：

因为B=D，所以∠BD=∠BD

因为E=B，所以∠BE=∠EB

因为四边形ABD内接于⊙，所以∠BA=∠BD

所以∠1=∠BE-∠BD=∠EB-∠BD=∠2+∠BA-∠BD

=∠2+∠BD-∠BD=∠2

122与圆有关的位置关系

123

4

（1）证明：

连接F，则F∥AB因为A为⊙的直径，所以E⊥AE，所以F⊥E，

所以F所在直线垂直平分E

所以F＝FE，E＝，所以∠FE＝∠FE，∠0E＝∠0E，

因为∠AB＝90°，即∠E＋∠FE＝90°，所以∠0E＋∠FE＝90°，即∠FE＝90°，

所以FE为⊙的切线

（2）解：

因为⊙的半径为3，所以A＝＝E＝3

因为∠EA＝60°，A＝E，所以∠EA＝60°，

所以∠D＝∠EA＝60°

所以D＝3，所以A＝6，所以AD＝=3

证明：

（1）连接因为A为⊙的直径，所以∠A=90°，

所以∠A+∠A=90°又因为∠A=∠AB，所以∠AB+∠A=90°

又因为∠AB=∠PA，所以∠PA+∠A=90°，所以∠PA=90°，即A⊥AP

所以AP为⊙的切线

（2）连接AE

因为为B⌒的中点，A为⊙的直径，所以A⊥B

又因为A⊥AP，所以AP∥B，所以△ADP∽△DB，所以

因为AP//B，所以∠BE=∠P

又因为∠BE=∠AE，所以∠P=∠AE

又因为∠P=∠DF，所以∠DF=∠AE

又因为∠ADE=∠DF，所以△ADE∽△DF，所以

综上，可得

123有关圆的计算

1D2A3

4

（1）证明：

连接D

因为B=D，所以∠AB=∠DB因为AB=A，所以∠AB=∠AB

所以∠DB=∠AB所以D∥A

因为DF是⊙的切线，所以DF⊥D所以DF⊥A

解：

（2）连接E

因为DF⊥A，∠DF=22°，所以∠AB=∠AB=∠DB=67°所以∠BD=4°因为D∥A,所以∠BA=4°因为A=E，所以∠AE=90°

因为⊙的半径为4，所以S阴影=S扇形AE-S△A=