九年级数学下册第3章圆38圆内接正多边形同步测试新版北师大版.docx

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九年级数学下册第3章圆38圆内接正多边形同步测试新版北师大版

2019-2020年九年级数学下册第3章圆3.8圆内接正多边形同步测试新版北师大版

◆基础题

1．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（　　）

A．互余B．互补C．互余或互补D．不能确定

2．正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（　　）

A．3：

2：

1B．4：

3：

2C．4：

2：

1D．6：

4：

3

3．正六边形的边心距是，则它的边长是（　　）

A．1B．2C．2D．3

4．如图，⊙O的一条弦AB垂直平分半径OC，且AB=2，则这个圆的内接正十二边形的面积为（　　）

A．6B．6C．12D．12

5．正八边形的中心角等于　　度．

6．如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为　　．

7．如图，在正八边形ABCDEFGH中，若四边形BCFG的面积是12cm2，则正八边形的面积为　　cm2．

8．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、GC是两条对角线，则∠ACG=　　°．

9．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=2cm，求⊙O的半径．

10．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．

（1）求证：

△ABG≌△BCH；

（2）求∠APH的度数．

◆能力题

1．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（　　）

A．B．2C．D．3

2．若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（　　）

A．3B．4C．5D．6

3．古代数学家祖冲之和他的儿子根据刘徽的“割圆术”（用圆内接正多边形的周长代替圆周长），来计算圆周率π的近似值．他从正六边形算起，一直算到正24576边形，将圆周率精确到小数后七位，在世界上领先一千多年．根据这个办法，由圆内接正六边形算得的圆周率π的近似值是（　　）

A．2.9B．3C．3.1D．3.14

4．如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为　　．（用锐角α的三角比表示）

5．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于　　．

6．如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ=　　．

7．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．

（1）求证：

四边形PEQB为平行四边形；

（2）填空：

①当t=　　s时，四边形PBQE为菱形；

②当t=　　s时，四边形PBQE为矩形．

8．

（1）如图1，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，求正六边形的边长．

（2）如图2，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12．求证：

AB=AC．

◆提升题

1．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（　　）

A．△CDF的周长等于AD+CDB．FC平分∠BFD

C．AC2+BF2=4CD2D．DE2=EF•CE

2．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为何（　　）

A．40B．50C．60D．80

【答案】A

3．小刚在纸上画了一个面积为6分米2的正六边形，然后连接相隔一点的两点得到如图所示的对称图案，他发现中间也出现了一个正六边形，则中间的正六边形的面积是　　分米2．

4．阅读下面材料：

对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．

例如：

图中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖．

已知长宽分别为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，则r的最小值是　　cm．

5．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．

（1）求∠AED的度数．

（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．

6．教材的《课题学习》要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形，小明同学按照如下步骤折叠：

请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题：

（1）如果设正三角形ABC的边长为a，那么CO=　　（用含a的式子表示）；

（2）根据折叠性质可以知道△CDE的形状为　　三角形；

（3）请同学们利用

（1）、

（2）的结论，证明六边形KHGFED是一个六边形．

答案和解析

◆基础题

1．【答案】B

解：

设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为，正多边形的一个外角等于，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．

2．【答案】A

解：

如图，△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，∴BO=2OD，而OA=OB，∴AD=3OD，∴AD：

OA：

OD=3：

2：

1．

3．【答案】B

解：

∵正六边形的边心距为，∴OB=，AB=OA，∵OA2=AB2+OB2，∴OA2=（OA）2+（）2，解得OA=2．

4．【答案】C

解：

如图，连接OA；取的中点D，连接AD、CD、OD；过点D作DE⊥OC于点E；∵OF=OA，且∠OFA=90°，∴∠OAF=30°，∠AOC=60°，∠AOD=∠COD=30°；∵圆的内接正十二边形的中心角==30°，∴AD、DC为该圆的内接正十二边形的两边；∵OC⊥AB，且AB=2，∴AF=；在△AOF中，由勾股定理得：

；在△ODE中，∵∠EOD=30°，∴DE=OD=1，，∴这个圆的内接正十二边形的面积为12．

5．【答案】45

解：

正八边形的中心角等于360°÷8=45°．

6．【答案】6cm

解：

设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=6cm，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=，∴AM=6×=3（cm），∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=AC，∴AC=2AM=6（cm）．

7．【答案】24

解：

连接HE，AD，在正八边形ABCDEFGH中，可得：

HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，∵正八边形每个内角为：

=135°，∴∠HGM=45°，∴MH=MG，设MH=MG=x，则HG=AH=AB=GF=x，∴BG×GF=2（+1）x2=12，∴四边形ABGH面积=（AH+BG）×HM=（+1）x2=6，∴正八边形的面积为：

6×2+12=24（cm2）．

8．【答案】45°

解：

设正八边形ABCDEFGH的外接圆为⊙O；∵正八边形ABCDEFGH的各边相等，∴圆周长，∴的度数为=90°，∴圆周角∠ACG=．

9．解：

过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，∴cos30°=，解得：

BO=2，即⊙O的半径为2cm．

10．

（1）证明：

∵在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠C=120°，

在△ABG与△BCH中

，∴△ABG≌△BCH；

（2）解：

由

（1）知：

△ABG≌△BCH，∴∠BAG=∠HBC，∴∠BPG=∠ABG=120°，∴∠APH=∠BPG=120°．

◆能力题

1．【答案】B

解：

延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．

正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是，则△BCE的边EC上的高是，△ACE边EC上的高是，则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC=×4×（﹣）=2．

2．【答案】B

解：

360°÷n=．故这个正多边形的边数为4．

3．【答案】B

解：

由题意n=6时，π≈=3．

4．【答案】

解：

如图所示：

∵正n边形的中心角为2α，边长为5，∵边心距OD=．

5．【答案】12

解：

连接AO，BO，CO．∵AB、AC分别为⊙O的内接正六边形、内接正方形的一边，∴∠AOB==60°，∠AOC==90°，∴∠BOC=30°，∴n==12．

6．【答案】72°

解：

连接OA、OB、OC，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠AOB=∠BOC=72°，∵OA=OB，OB=OC，∴∠OBA=∠OCB=54°，在△OBP和△OCQ中，

，∴△OBP≌△OCQ，∴∠BOP=∠COQ，∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，∴∠BOP=∠QOC，∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，∴∠POQ=∠BOC=72°．

7．

（1）证明：

∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP=DQ=t，PF=QC=4﹣t，在△ABP和△DEQ中，

，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP=EQ，同理可证PE=QB，∴四边形PEQB是平行四边形．

（2）解：

①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s．

②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，∴∠BPE=120°﹣30°=90°，∴此时四边形PBQE是矩形．当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形．

综上所述，t=0s或4s时，四边形PBQE是矩形．

8．

（1）解：

连接OD，如图所示：

∵六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，∴∠O==60°，∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形，∴CD=OC=4，即正六边形的边长为4；

（2）证明：

∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD=BC=5，∵AB=13，AD=12，∴BD2+AD2=52+122=169=132=AB2，∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，又∵BD=CD，∴AB=AC．

◆提升题

1．【答案】B

解：

∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，∴四边形ABCF是菱形，∴CF=AF，∴△CDF的周长等于CF+DF+CD，即△CDF的周长等于AD+CD，故A选项正确；

∵四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，设AC与BF交于点O，由勾股定理得OB2+OC2=BC2，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，∴AC2+BF2=4CD2．故C选项正确；

由正五边形的性质得，△ADE≌△CDE，∴∠DCE=∠EDF，∴△CDE∽△DFE，∴，∴DE2=EF•CE，故D选项正确．

2．【答案】A

解：

取AE中点I，则点I为圆的圆心，圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成．易得△IDE的面积为5，则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40．

3．【答案】2

解：

设O是原正六边形的中心，连接AO，FO，MO，设FO与AE交于点Q，AO与BE交于P，∵一个面积为6分米2的正六边形，连接相隔一点的两顶点得到如图所示的对称图案，∴∠AOF=×360°=60°，S△AOF=×6=1（分米2），

∴△OAF是等边三角形，∵AB=AF，∴OA⊥BF，∴AP=OP，∴AM=OM，同理：

OF⊥AE，OQ=FQ，∴OM=FM，∴点M是△AOF的外心，∴S△OAM=S△AOF=（分米2），∴S△OPM=S△OAM=（分米2），∴中间的正六边形的面积是：

12×S△OPM=2（分米2）．

4．【答案】

解：

如图：

矩形ABCD中AB=1，BC=2，则覆盖ABCD的两个圆与矩形交于E、F两点，由对称性知E、F分别是AD和BC的中点，则四边形ABFE、EFCD是两个边长为1的正方形，所以圆的半径r=，两圆心距=1．

5．解：

（1）如图1中，连接OA、OD．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．

（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．

∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC=，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或，∴DE=DH=或．　

6．解：

（1）∵正三角形ABC的边长为a，由折叠的性质可知，点O是三角形的重心，∴CO=a；

（2）△CDE为等边三角形；

（3）由

（2）知△CDE为等边三角形，∴CD=CE=DE=CO÷cos30°=a，

∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH=a，BG=BF=GF=a，∠CKH=∠BHK=120°，∵AB=BC=AC=a，∴DE=DK=KH=HG=GF=FE=a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°，∴六边形KHGFED是一个正六边形．