完整word版幂法反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量.docx
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完整word版幂法反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量
数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量
一.幂法
1.幂法简介:
当矩阵A满足一定条件时,在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。
矩阵A需要满足的条件为:
(1)
(2)存在n个线性无关的特征向量,设为
1.1计算过程:
不全为0,则有
可见,当
越小时,收敛越快;且当k充分大时,有
,对应的特征向量即是
。
2算法实现
3matlab程序代码
function[t,y]=lpowerA,x0,eps,N)%t为所求特征值,y是对应特征向量
k=1;
z=0;%z相当于
y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量
x=A*y;%迭代格式
b=max(x);%b相当于
ifabs(z-b)t=max(x);
return;
end
whileabs(z-b)>eps&&kk=k+1;
z=b;
y=x./max(abs(x));
x=A*y;
b=max(x);
end
[m,index]=max(abs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值
t=x(index);%是原值,而非其绝对值。
end
4举例验证
选取一个矩阵A,代入程序,得到结果,并与eig(A)的得到结果比较,再计算A*y-t*y,验证y是否是对应的特征向量。
结果如下:
结果正确,表明算法和代码正确,然后利用此程序计算15阶Hilb矩阵,与eig(A)的得到结果比较,再计算A*y-t*y,验证y是否是对应的特征向量。
设置初始向量为x0=ones(15,1),结果显示如下
可见,结果正确。
得到了15阶Hilb矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。
二.反幂法
1.反幂法简介及其理论
在工程计算中,可以利用反幂法计算矩阵按模最小特征值及其对应特征向量。
其基本理论如下,与幂法基本相同:
,可知,A和A-1的特征值互为倒数,求A按模最小特征值即求A-1的按模最大特征值,取倒数即为A的按模最小特征值所以算法基本相同,区别就是在计算
2.算法实现
3matlab程序代码
function[s,y]=invpower(A,x0,eps,n)%s为按模最小特征值,y是对应特征向量
k=1;r=0;%r相当于
y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量
[L,U]=lu(A);
z=L\y;
x=U\z;
u=max(x);
s=1/u;%按模最小为A-1按模最大的倒数.
ifabs(u-r)return
end
whileabs(u-r)>eps&&kk=k+1;
r=u;
y=x./max(abs(x));
z=L\y;
x=U\z;
u=max(x);
end
[m,index]=max(abs(x));%这两步保证取出来的按模最大特征值
s=1/x(index);%是原值,而非其绝对值。
end
4举例验证
同幂法一样,选取一个矩阵A,代入程序,得到结果,并与eig(A)的得到结果比较,再计算A*y-t*y,验证y是否是对应的特征向量。
可见结果正确,然后利用此程序计算15阶Hilb矩阵,eig(A)的得到结果比较,再计算A*y-s*y,验证y是否是对应的特征向量。
设置初始向量为x0=ones(15,1),结果显示如下
可见,结果真确。
得到了15阶Hilb矩阵的按模最大特征值和对应的特征向量。
3.计算条件数
矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积,即cond(A)=‖A‖·‖A^(-1)‖,对应矩阵的3种范数,可以定义3种条件数。
函数cond(A,1)、cond(A)或cond(Ainf)是判断矩阵病态与否的一种度量,条件数越大表明矩阵的病态程度越大.
而如果A为对称矩阵,如Hilb矩阵,
的最大最小特征值,分别为A的最大最小特征值的平方。
所以cond(A)为A的最大最小特征值得比值。
对于本例中的15阶Hilb矩阵来说,利用上面计算结果得其条件数(选择第二种条件数)为:
3.0934e+017;这与直接利用cond(A)得到的结果:
2.5083e+017在同一数量级,再次表明了上述算得得最大最小特征值的正确性,同时又表明Hilb矩阵是病态矩阵。
4.Aitken商加速法
1.简介与原理
同幂法和反幂法计算最大和最小特征值类似,如果计算最大特征值,则迭代格式为
;计算最小特征值时,迭代格式为
。
2.算法实现
计算按模最大特征值算法如下:
类似幂法和反幂法可以写出按模最小特征值算法,此处不再赘述。
3.matlab程序代码
function[r,y]=aitken(A,x0,eps,n)%r按模最大特征值,y为对应特征向量
k=1;
a0=0;%a相当于
a1=1;%a1相当于
r0=1;%相当于2中的
y=x0./max(abs(x0));%规范化初始向量
x=A*y;
a2=max(abs(x));%a2相当于
r=a0-(a1-a0)^2/(a2-2*a1+a0);%相当于
if(a2-2*a1+a0)==0%若上式中分母为0,则迭代失败,返回
disp"初始向量迭代失败"
return;
end
ifabs(r-r0)return
end
whileabs(r-r0)>eps&&kk=k+1;
a0=a1;
a1=a2;
r0=r;
y=x./max(abs(x));
x=A*y;%迭代格式
a2=max(abs(x));
if(a2-2*a1+a0)==0%若分母为0,则迭代失败,返回
return;
end
r=a0-(a1-a0)^2/(a2-2*a1+a0);
[m,index]=max(abs(eig(A)));%以下代码保证取出来的按模最大特征值
aa=eig(A);%是原值,而非其绝对值。
ifaa(index)>0||aa(index)==0
r=r;
else
r=-r;
end
end
end
类似可得按模最小特征值和特征向量的代码如下:
与上面类似,所不同的只是迭代格式不同.
function[r,y]=invaitken(A,x0,eps,n)
k=1;
a0=0;
a1=1;
r0=1;
y=x0./max(abs(x0));
[L,U]=lu(A);%迭代格式的不同
z=L\y;
x=U\z;
a2=max(abs(x));
r=a0-(a1-a0)^2/(a2-2*a1+a0);
if(a2-2*a1+a0)==0
disp"初始向量迭代失败"
return;
end
ifabs(r-r0)return
end
whileabs(r-r0)>eps&&kk=k+1;
a=b;
b=c;
r0=r;
y=x./max(abs(x));
z=L\y;
x=U\z;
a2=max(abs(x));
if(a2-2*a1+a0)==0
return;
end
r=a0-(a1-a0)^2/(a2-2*a1+a0);
end
[m,index]=min(abs(eig(A)));%以下代码保证取出来的按模最大特征值aa=eig(A);%是原值,而非其绝对值。
ifaa(index)>0||aa(index)==0
r=1/r;
else
r=-1/r;
end
end
4.计算Hilb矩阵特征值
此处不再举例,而是直接应用于15阶Hilb矩阵,初始向量选为ones(15,1),结果如下,并将结果与幂法和反幂法得到结果比较
这与幂法得到的特征值和特征向量一致,表明算法和代码正确;同理,最小特征值结果如下:
这与反幂法得到的结果一致,表明结果正确。
五,对称矩阵的Rayleigh商加速法
1.简介与原理
原理如下:
2.算法实现
3.Matlab程序代码
function[r,y]=rayleigh(A,x0,eps,n)%r是特征值,y是特征向量
k=1;r0=0;
y=x0./max(abs(x0));
x=A*y;%迭代格式计算新的x
r=dot(y,x)/dot(y,y);%Reyleigh商
ifabs(r-r0)return
end
whileabs(r-r0)>eps&&kk=k+1;
r0=r;
y=x./max(abs(x));
x=A*y;
r=dot(y,x)/dot(y,y);
end
end
类似得计算按模最小特征值的Rayleigh商加速法,如下:
function[r,y]=invrayleigh(A,x0,eps,n)
k=1;r0=0;
y=x0./max(abs(x0));
[L,U]=lu(A);%迭代格式不同
z=L\y;
x=U\z;
r=dot(y,x)/dot(y,y);
ifabs(r-r0)return
end
whileabs(r-r0)>eps&&kk=k+1;
r0=r;
y=x./max(abs(x));
z=L\y;
x=U\z;
r=dot(y,x)/dot(y,y);
end
r=1/r;
end
4.计算Hilb矩阵特征值
此处不再举例,而是直接应用于15阶Hilb矩阵,初始向量选为ones(15,1),结果如下,并将结果与幂法和反幂法得到结果比较
这与幂法得到结果一致,表明算法和代码正确。
同理,最小特征值如下:
与反幂法得到结果一致,表明代码和算法正确。