第四讲导数偏导数计算.docx
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第四讲导数偏导数计算
第四讲导数及偏导数计算
实验目的
１．进一步理解导数概念及其几何意义.
２．学习matlab的求导命令与求导法.
实验内容
１．学习matlab命令.
建立符号变量命令sym和syms调用格式:
x=sym（'x'），建立符号变量x；
symsxyz，建立多个符号变量x，y，z；
matlab求导命令diff调用格式:
diff（函数
），求
的一阶导数
；
diff（函数
，n），求
的n阶导数
（n是具体整数）；
diff（函数
，变量名
），求
对
的偏导数
；
diff（函数
，变量名
，n），求
对
的n阶偏导数
；
matlab求雅可比矩阵命令jacobian，调用格式:
jacobian（[函数
；函数
；函数
]，[
]）给出矩阵:
２．导数概念.
导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率.
（１）点导数是一个极限值.
例3.1.设
，用定义计算
.
解:
在某一点
的导数定义为极限:
我们记
，输入命令:
symsh；limit（（exp（0+h）-exp（0））/h，h，0）
得结果:
ans=１．可知
（２）导数的几何意义是曲线的切线斜率.
例3.2.画出
在
处（
）的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势.
解:
在曲线
上另取一点
，则
的方程是:
.即
取
，分别作出几条割线.
h=[3,2,1,0.1,0.01];a=（exp（h）-1）./h;x=-1:
0.1:
3;
plot（x,exp（x）,'r.'）;holdon
fori=1:
5;
plot（h（i）,exp（h（i））,'r.'）
plot（x,a（i）*x+1）
end
axissquare
作出
在
处的切线
plot（x,x+1,'r.'）
从图上看，随着
与
越来越接近，割线
越来越接近曲线的割线．
３．求一元函数的导数.
（１）
的一阶导数.
例3.3.求
的导数.
解:
打开matlab指令窗，输入指令:
>>symsx;dy_dx=diff（sin（x）/x）
得结果:
dy_dx=cos（x）/x-sin（x）/x^2.
matlab的函数名允许使用字母、空格、下划线及数字，不允许使用其他字符，在这里我们用dy_dx表示
例3.4.求
的导数.
解:
输入命令:
dy_dx=diff（log（sin（x）））
得结果:
dy_dx=cos（x）/sin（x）.
在matlab中，函数
用log（x）表示，而log10（x）表示
例3.5.求
的导数.
解:
输入命令:
dy_dx=diff（（x^2+2*x）^20）.
得结果:
dy_dx=20*（x^2+2*x）^19*（2*x+2）.
注意
输入时应为2*x.
例3.6.求
的导数.
解:
输入命令:
dy_dx=diff（x^x）.
得结果:
dy_dx=x^x*（log（x）+1）.
利用matlab命令diff一次可以求出若干个函数的导数.
例3.7.求下列函数的导数:
1.
2.
3.
4.
解:
输入命令:
a=diff（[sqrt（x^2-2*x+5），cos（x^2）+2*cos（2*x），4^（sin（x）），
log（log（x））]）.
得结果:
a=
[1/2/（x^2-2*x+5）^（1/2）*（2*x-2），-2*sin（x^2）*x-4*sin（2*x），
4^sin（x）*cos（x）*log（4），1/x/log（x）].
dy1_dx=a
（1）
dy1_dx=1/2/（x^2-2*x+5）^（1/2）*（2*x-2）.
dy2_dx=a
（2）
dy2_dx=-2*sin（x^2）*x-4*sin（2*x）.
dy3_dx=a（3）
dy3_dx=4^sin（x）*cos（x）*log（4）.
dy4_dx=a（4）
dy4_dx=1/x/log（x）.
由本例可以看出，matlab函数是对矩阵或向量进行操作的，a（i）表示向量a的第i个分量.
（２）参数方程所确定的函数的导数.
设参数方程
确定函数
，则
的导数
例3.8.设
，求
解:
输入命令:
dx_dt=diff（a*（t-sin（t）））；dy_dt=diff（a*（1-cos（t）））；
dy_dx=dy_dt/dx_dt.
得结果:
dy_dx=sin（t）/（1-cos（t））.
其中分号的作用是不显示结果.
４．求多元函数的偏导数.
例3.9.设
求u的一阶偏导数.
解:
输入命令:
diff（（x^2+y^2+z^2）^（1/2），x）.
得结果:
ans=1/（x^2+y^2+z^2）^（1/2）*x.
在命令中将末尾的x换成y将给出y的偏导数:
ans=1/（x^2+y^2+z^2）^（1/2）*y.
也可以输入命令:
jacobian（（x^2+y^2+z^2）^（1/2），[xy]）.
得结果:
ans=[1/（x^2+y^2+z^2）^（1/2）*x，1/（x^2+y^2+z^2）^（1/2）*y]
给出矩阵
例3.10.求下列函数的偏导数:
1.
2.
解:
输入命令:
diff（atan（y/x）.
得结果:
ans=-y/x^2/（1+y^2/x^2）.
输入命令:
diff（atan（y/x），y）.
得结果:
ans=1/x/（1+y^2/x^2）.
输入命令:
diff（x^y，x）.
得结果:
ans=x^y*y/x.
输入命令:
diff（x^y，y）.
得结果:
ans=x^y*log（x）.
使用jacobian命令求偏导数更为方便.
输入命令:
jacobian（[atan（y/x），x^y]，[x，y]）.
得结果:
ans=[-y/x^2/（1+y^2/x^2），1/x/（1+y^2/x^2）]
[x^y*y/x，x^y*log（x）].
５．求高阶导数或高阶偏导数.
例3.11.设
，求.
解:
输入指令:
diff（x^2*exp（2*x），x，20）.
得结果:
ans=
99614720*exp（2*x）+20971520*x*exp（2*x）+1048576*x^2*exp（2*x）
例3.12.设
，求
解:
输入命令:
diff（x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x，2）
可得到
:
ans=30*x^4+4*y^2.
将命令中最后一个x换为y得
:
ans=-36*y^2+4*x^2.
输入命令:
diff（diff（x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x），y）
可得
:
ans=8*x*y
同学们可自己计算
比较它们的结果.
注意命令:
diff（x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x，y），是对y求偏导数，不是求
６．求隐函数所确定函数的导数或偏导数
例3.13.设
，求
解:
，先求
，再求
输入命令:
df_dx=diff（log（x）+exp（-y/x）-exp
（1），x）
得到
:
df_dx=1/x+y/x^2*exp（-y/x）.
输入命令:
df_dy=diff（log（x）+exp（-y/x）-exp
（1），y）
得到
:
df_dy=-1/x*exp（-y/x）
输入命令:
dy_dx=-df_dx/df_dy
可得所求结果:
dy_dx=-（-1/x-y/x^2*exp（-y/x））*x/exp（-y/x）.
例3.14.设
，求
解:
输入命令:
a=jacobian（sin（x*y）+cos（y*z）+tan（z*x），[x，y，z]）
可得矩阵
a=
[cos（x*y）*y+（1+tan（z*x）^2）*z，cos（x*y）*x-sin（y*z）*z，
-sin（y*z）*y+（1+tan（z*x）^2）*x].
输入命令:
dz_dx=-a
（1）/a（3）
得:
dz_dx=
（-cos（x*y）*y-（1+tan（z*x）^2）*z）/（-sin（y*z）*y+（1+tan（z*x）^2）*x）
输入命令:
dz_dy=-a
（2）/a（3）
得:
dz_dy=
（-cos（x*y）*x+sin（y*z）*z）/（-sin（y*z）*y+（1+tan（z*x）^2）*x）
练习
1.求下列函数的导数.
（1）
（2）
（3）
（4）
2.求下列参数方程所确定的函数的导数.
（1）
（2）
3.求下列隐函数的导数.
（1）
（2）
4.设
，求
.
5.验证
满足关系式:
6.求下列函数的偏导数.
（1）
（2）
7.设
，求
，
，
.
8.求下列多元隐函数的偏导数
.
（1）
（2）
9.证明函数
（
为常数）满足拉普拉斯方程:
（提示：
对结果用simplify化简）
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