高中数学必修五第三章《不等式》32一元二次不等式及其解法 第2课时.docx
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高中数学必修五第三章《不等式》32一元二次不等式及其解法第2课时
第2课时 一元二次不等式及其解法
学习目标
1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
知识点一 分式不等式的解法
思考
>0与(x-3)(x+2)>0等价吗?
将
>0变形为(x-3)(x+2)>0,有什么好处?
答案 等价;好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式.
梳理 一般的分式不等式的同解变形法则:
(1)
>0⇔f(x)·g(x)>0;
(2)
≤0⇔
(3)
≥a⇔
≥0.
知识点二 一元二次不等式恒成立问题
思考 x-1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么?
区间[2,3]与不等式x-1>0的解集有什么关系?
答案 x-1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y=x-1在区间[2,3]上的图象恒在x轴上方.区间[2,3]内的元素一定是不等式x-1>0的解,反之不一定成立,故区间[2,3]是不等式x-1>0的解集的子集.
梳理 一般地,“不等式f(x)>0在区间[a,b]上恒成立”的几何意义是函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象全部在x轴上方.区间[a,b]是不等式f(x)>0的解集的子集.
恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题,即:
k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max;
k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.
知识点三 含参数的一元二次不等式的解法
思考 解不等式-x2+3x-2<0第一步需要干什么?
解ax2+3x-2<0呢?
答案 解-x2+3x-2<0,第一步先把二次项系数化为正数:
x2-3x+2>0.
解ax2+3x-2<0,由于不知道a的正负,故需要分a>0,a=0,a<0讨论.
梳理 解含参数的一元二次不等式,仍可按以前的步骤,即第一步先处理二次项系数,第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根,第三步若有根,区分根的大小写出解集,若无根,结合图象确定解集是R还是∅.
在此过程中,因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时,为了确定展开讨论.
1.由于
>0等价于(x-5)(x+3)>0,故y=
与y=(x-5)(x+3)图象也相同.(×)
2.x2+1≥2x等价于(x2+1)min≥2x.(×)
3.对于ax2+3x+2>0,当a=1时与a=-1时,对应的不等式是两个独立的不等式,所以解集也是相对独立的,不能求并集.(√)
类型一 分式不等式的解法
例1 解下列不等式:
<0;
≤1.
考点 分式不等式的解法
题点 分式不等式的解法
解
<0⇔(2x-5)(x+4)<0⇔-4,∴原不等式的解集为.(2)∵≤1,∴-1≤0,∴≤0,即≥0.此不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0,解得x<或x≥4,∴原不等式的解集为.反思与感悟 分式不等式的解法:先通过移项、通分整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0),再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负,直接去分母即可.跟踪训练1 解下列不等式.(1)≥0;(2)>1.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法解 (1)原不等式可化为解得∴x<-或x≥,∴原不等式的解集为.(2)方法一 原不等式可化为或解得或∴-3,∴原不等式的解集为.方法二 原不等式可化为>0,化简得>0,即<0,∴(2x+1)(x+3)<0,解得-3.∴原不等式的解集为.类型二 不等式恒成立问题例2 设函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;(2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立解 (1)要使mx2-mx-1<0恒成立,若m=0,显然-1<0,满足题意;若m≠0,则即-4(2)方法一 要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,就要使m2+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.令g(x)=m2+m-6,x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,∴g(x)max=g(3)=7m-6<0,∴0;当m=0时,-6<0恒成立;当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,∴g(x)max=g(1)=m-6<0,得m<6,∴m<0.综上所述,m的取值范围是.方法二 当x∈[1,3]时,f(x)<-m+5恒成立,即当x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-6<0恒成立.∵x2-x+1=2+>0,又m(x2-x+1)-6<0,∴m<.∵函数y==在[1,3]上的最小值为,∴只需m<即可.综上所述,m的取值范围是.引申探究把例2(2)改为:对于任意m∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求实数x的取值范围.解 f(x)<-m+5,即mx2-mx-1<-m+5,m(x2-x+1)-6<0.设g(m)=m(x2-x+1)-6.则g(m)是关于m的一次函数且斜率x2-x+1=2+>0.∴g(m)在[1,3]上为增函数,要使g(m)<0在[1,3]上恒成立,只需g(m)max=g(3)<0,即3(x2-x+1)-6<0,x2-x-1<0,方程x2-x-1=0的两根为x1=,x2=,∴x2-x-1<0的解集为,即x的取值范围为.反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围,通常处理方法有两种(1)考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函数,转化为求函数的最大(小)值,从而建立参变量的不等式.(2)若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数),并结合图象建立参变量的不等式求解.跟踪训练2 当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 (-∞,-5]解析 构造函数f(x)=x2+mx+4,x∈[1,2],则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2).由于当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立.则有即可得所以m≤-5.类型三 含参数的一元二次不等式例3 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 当a<0时,不等式可化为(x-1)>0,∵a<0,∴<1,∴不等式的解集为.当a=0时,不等式可化为-x+1<0,解集为{x|x>1}.当a>0时,不等式可化为(x-1)<0.当0>1,不等式的解集为.当a=1时,不等式的解集为∅.当a>1时,<1,不等式的解集为.综上,当a<0时,解集为;当a=0时,解集为{x|x>1};当0;当a=1时,解集为∅;当a>1时,解集为.反思与感悟 解含参数的不等式,可以按常规思路进行:先考虑开口方向,再考虑判别式的正负,最后考虑两根的大小关系,当遇到不确定因素时再讨论.跟踪训练3 解关于x的不等式(x-a)(x-a2)<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 当a<0或a>1时,有a当0当a=0或a=1时,原不等式无解.综上,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|a当0当a=0或a=1时,解集为∅.1.若不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是( )A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 D解析 由题意,得Δ=m2-4≤0,∴-2≤m≤2.2.不等式≥0的解集为( )A.[1,2]B.(-∞,1]∪[2,+∞)C.[1,2)D.(-∞,1]∪(2,+∞)考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 由题意可知,不等式等价于∴x>2或x≤1.3.当不等式x2+x+k>0恒成立时,k的取值范围为________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 由题意知Δ<0,即1-4k<0,得k>,即k∈.4.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.因为函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以①当a<-1时,原不等式的解集为{x|a②当a=-1时,原不等式的解集为∅;③当a>-1时,原不等式的解集为{x|-11.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时,分母不为零.2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1一、选择题1.不等式≥2的解集是( )A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 ≥2⇔⇔∴不等式的解集为.2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( )A.1B.-1C.-3D.3考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 C解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈(0,1]恒成立,又f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,∴f(x)min=f(1)=-3,∴m≤-3,∴m的最大值为-3.3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为( )A.B.C.D.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 A解析 ∵a<-1,∴a(x-a)<0⇔(x-a)·>0.又a<-1,∴>a,∴x>或x∴不等式的解集为.4.若a>0,b>0,则不等式-b<A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 A解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )A.B.RC.D.∅考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 A解析 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )A.13C.12考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 B解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 C解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,依题意得f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
,
∴原不等式的解集为
.
(2)∵
≤1,∴
-1≤0,∴
≤0,即
此不等式等价于(x-4)
≥0且x-
≠0,
解得x<
或x≥4,
反思与感悟 分式不等式的解法:
先通过移项、通分整理成标准型
>0(<0)或
≥0(≤0),再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负,直接去分母即可.
跟踪训练1 解下列不等式.
≥0;
>1.
(1)原不等式可化为
解得
∴x<-
或x≥
(2)方法一 原不等式可化为
或
∴-3,∴原不等式的解集为.方法二 原不等式可化为>0,化简得>0,即<0,∴(2x+1)(x+3)<0,解得-3.∴原不等式的解集为.类型二 不等式恒成立问题例2 设函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;(2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立解 (1)要使mx2-mx-1<0恒成立,若m=0,显然-1<0,满足题意;若m≠0,则即-4(2)方法一 要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,就要使m2+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.令g(x)=m2+m-6,x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,∴g(x)max=g(3)=7m-6<0,∴0;当m=0时,-6<0恒成立;当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,∴g(x)max=g(1)=m-6<0,得m<6,∴m<0.综上所述,m的取值范围是.方法二 当x∈[1,3]时,f(x)<-m+5恒成立,即当x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-6<0恒成立.∵x2-x+1=2+>0,又m(x2-x+1)-6<0,∴m<.∵函数y==在[1,3]上的最小值为,∴只需m<即可.综上所述,m的取值范围是.引申探究把例2(2)改为:对于任意m∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求实数x的取值范围.解 f(x)<-m+5,即mx2-mx-1<-m+5,m(x2-x+1)-6<0.设g(m)=m(x2-x+1)-6.则g(m)是关于m的一次函数且斜率x2-x+1=2+>0.∴g(m)在[1,3]上为增函数,要使g(m)<0在[1,3]上恒成立,只需g(m)max=g(3)<0,即3(x2-x+1)-6<0,x2-x-1<0,方程x2-x-1=0的两根为x1=,x2=,∴x2-x-1<0的解集为,即x的取值范围为.反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围,通常处理方法有两种(1)考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函数,转化为求函数的最大(小)值,从而建立参变量的不等式.(2)若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数),并结合图象建立参变量的不等式求解.跟踪训练2 当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 (-∞,-5]解析 构造函数f(x)=x2+mx+4,x∈[1,2],则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2).由于当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立.则有即可得所以m≤-5.类型三 含参数的一元二次不等式例3 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 当a<0时,不等式可化为(x-1)>0,∵a<0,∴<1,∴不等式的解集为.当a=0时,不等式可化为-x+1<0,解集为{x|x>1}.当a>0时,不等式可化为(x-1)<0.当0>1,不等式的解集为.当a=1时,不等式的解集为∅.当a>1时,<1,不等式的解集为.综上,当a<0时,解集为;当a=0时,解集为{x|x>1};当0;当a=1时,解集为∅;当a>1时,解集为.反思与感悟 解含参数的不等式,可以按常规思路进行:先考虑开口方向,再考虑判别式的正负,最后考虑两根的大小关系,当遇到不确定因素时再讨论.跟踪训练3 解关于x的不等式(x-a)(x-a2)<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 当a<0或a>1时,有a当0当a=0或a=1时,原不等式无解.综上,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|a当0当a=0或a=1时,解集为∅.1.若不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是( )A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 D解析 由题意,得Δ=m2-4≤0,∴-2≤m≤2.2.不等式≥0的解集为( )A.[1,2]B.(-∞,1]∪[2,+∞)C.[1,2)D.(-∞,1]∪(2,+∞)考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 由题意可知,不等式等价于∴x>2或x≤1.3.当不等式x2+x+k>0恒成立时,k的取值范围为________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 由题意知Δ<0,即1-4k<0,得k>,即k∈.4.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.因为函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以①当a<-1时,原不等式的解集为{x|a②当a=-1时,原不等式的解集为∅;③当a>-1时,原不等式的解集为{x|-11.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时,分母不为零.2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1一、选择题1.不等式≥2的解集是( )A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 ≥2⇔⇔∴不等式的解集为.2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( )A.1B.-1C.-3D.3考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 C解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈(0,1]恒成立,又f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,∴f(x)min=f(1)=-3,∴m≤-3,∴m的最大值为-3.3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为( )A.B.C.D.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 A解析 ∵a<-1,∴a(x-a)<0⇔(x-a)·>0.又a<-1,∴>a,∴x>或x∴不等式的解集为.4.若a>0,b>0,则不等式-b<A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 A解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )A.B.RC.D.∅考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 A解析 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )A.13C.12考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 B解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 C解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,依题意得f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
方法二 原不等式可化为
>0,
化简得
>0,即
<0,∴(2x+1)(x+3)<0,
解得-3.∴原不等式的解集为.类型二 不等式恒成立问题例2 设函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;(2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立解 (1)要使mx2-mx-1<0恒成立,若m=0,显然-1<0,满足题意;若m≠0,则即-4(2)方法一 要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,就要使m2+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.令g(x)=m2+m-6,x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,∴g(x)max=g(3)=7m-6<0,∴0;当m=0时,-6<0恒成立;当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,∴g(x)max=g(1)=m-6<0,得m<6,∴m<0.综上所述,m的取值范围是.方法二 当x∈[1,3]时,f(x)<-m+5恒成立,即当x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-6<0恒成立.∵x2-x+1=2+>0,又m(x2-x+1)-6<0,∴m<.∵函数y==在[1,3]上的最小值为,∴只需m<即可.综上所述,m的取值范围是.引申探究把例2(2)改为:对于任意m∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求实数x的取值范围.解 f(x)<-m+5,即mx2-mx-1<-m+5,m(x2-x+1)-6<0.设g(m)=m(x2-x+1)-6.则g(m)是关于m的一次函数且斜率x2-x+1=2+>0.∴g(m)在[1,3]上为增函数,要使g(m)<0在[1,3]上恒成立,只需g(m)max=g(3)<0,即3(x2-x+1)-6<0,x2-x-1<0,方程x2-x-1=0的两根为x1=,x2=,∴x2-x-1<0的解集为,即x的取值范围为.反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围,通常处理方法有两种(1)考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函数,转化为求函数的最大(小)值,从而建立参变量的不等式.(2)若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数),并结合图象建立参变量的不等式求解.跟踪训练2 当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 (-∞,-5]解析 构造函数f(x)=x2+mx+4,x∈[1,2],则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2).由于当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立.则有即可得所以m≤-5.类型三 含参数的一元二次不等式例3 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 当a<0时,不等式可化为(x-1)>0,∵a<0,∴<1,∴不等式的解集为.当a=0时,不等式可化为-x+1<0,解集为{x|x>1}.当a>0时,不等式可化为(x-1)<0.当0>1,不等式的解集为.当a=1时,不等式的解集为∅.当a>1时,<1,不等式的解集为.综上,当a<0时,解集为;当a=0时,解集为{x|x>1};当0;当a=1时,解集为∅;当a>1时,解集为.反思与感悟 解含参数的不等式,可以按常规思路进行:先考虑开口方向,再考虑判别式的正负,最后考虑两根的大小关系,当遇到不确定因素时再讨论.跟踪训练3 解关于x的不等式(x-a)(x-a2)<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 当a<0或a>1时,有a当0当a=0或a=1时,原不等式无解.综上,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|a当0当a=0或a=1时,解集为∅.1.若不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是( )A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 D解析 由题意,得Δ=m2-4≤0,∴-2≤m≤2.2.不等式≥0的解集为( )A.[1,2]B.(-∞,1]∪[2,+∞)C.[1,2)D.(-∞,1]∪(2,+∞)考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 由题意可知,不等式等价于∴x>2或x≤1.3.当不等式x2+x+k>0恒成立时,k的取值范围为________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 由题意知Δ<0,即1-4k<0,得k>,即k∈.4.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.因为函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以①当a<-1时,原不等式的解集为{x|a②当a=-1时,原不等式的解集为∅;③当a>-1时,原不等式的解集为{x|-11.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时,分母不为零.2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1一、选择题1.不等式≥2的解集是( )A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 ≥2⇔⇔∴不等式的解集为.2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( )A.1B.-1C.-3D.3考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 C解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈(0,1]恒成立,又f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,∴f(x)min=f(1)=-3,∴m≤-3,∴m的最大值为-3.3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为( )A.B.C.D.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 A解析 ∵a<-1,∴a(x-a)<0⇔(x-a)·>0.又a<-1,∴>a,∴x>或x∴不等式的解集为.4.若a>0,b>0,则不等式-b<A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 A解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )A.B.RC.D.∅考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 A解析 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )A.13C.12考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 B解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 C解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,依题意得f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
类型二 不等式恒成立问题
例2 设函数f(x)=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;
(2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.
考点 一元二次不等式恒成立问题
题点 一元二次不等式在区间上恒成立
(1)要使mx2-mx-1<0恒成立,
若m=0,显然-1<0,满足题意;
若m≠0,则
即-4(2)方法一 要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,就要使m2+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.令g(x)=m2+m-6,x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,∴g(x)max=g(3)=7m-6<0,∴0;当m=0时,-6<0恒成立;当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,∴g(x)max=g(1)=m-6<0,得m<6,∴m<0.综上所述,m的取值范围是.方法二 当x∈[1,3]时,f(x)<-m+5恒成立,即当x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-6<0恒成立.∵x2-x+1=2+>0,又m(x2-x+1)-6<0,∴m<.∵函数y==在[1,3]上的最小值为,∴只需m<即可.综上所述,m的取值范围是.引申探究把例2(2)改为:对于任意m∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求实数x的取值范围.解 f(x)<-m+5,即mx2-mx-1<-m+5,m(x2-x+1)-6<0.设g(m)=m(x2-x+1)-6.则g(m)是关于m的一次函数且斜率x2-x+1=2+>0.∴g(m)在[1,3]上为增函数,要使g(m)<0在[1,3]上恒成立,只需g(m)max=g(3)<0,即3(x2-x+1)-6<0,x2-x-1<0,方程x2-x-1=0的两根为x1=,x2=,∴x2-x-1<0的解集为,即x的取值范围为.反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围,通常处理方法有两种(1)考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函数,转化为求函数的最大(小)值,从而建立参变量的不等式.(2)若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数),并结合图象建立参变量的不等式求解.跟踪训练2 当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 (-∞,-5]解析 构造函数f(x)=x2+mx+4,x∈[1,2],则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2).由于当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立.则有即可得所以m≤-5.类型三 含参数的一元二次不等式例3 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 当a<0时,不等式可化为(x-1)>0,∵a<0,∴<1,∴不等式的解集为.当a=0时,不等式可化为-x+1<0,解集为{x|x>1}.当a>0时,不等式可化为(x-1)<0.当0>1,不等式的解集为.当a=1时,不等式的解集为∅.当a>1时,<1,不等式的解集为.综上,当a<0时,解集为;当a=0时,解集为{x|x>1};当0;当a=1时,解集为∅;当a>1时,解集为.反思与感悟 解含参数的不等式,可以按常规思路进行:先考虑开口方向,再考虑判别式的正负,最后考虑两根的大小关系,当遇到不确定因素时再讨论.跟踪训练3 解关于x的不等式(x-a)(x-a2)<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 当a<0或a>1时,有a当0当a=0或a=1时,原不等式无解.综上,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|a当0当a=0或a=1时,解集为∅.1.若不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是( )A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 D解析 由题意,得Δ=m2-4≤0,∴-2≤m≤2.2.不等式≥0的解集为( )A.[1,2]B.(-∞,1]∪[2,+∞)C.[1,2)D.(-∞,1]∪(2,+∞)考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 由题意可知,不等式等价于∴x>2或x≤1.3.当不等式x2+x+k>0恒成立时,k的取值范围为________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 由题意知Δ<0,即1-4k<0,得k>,即k∈.4.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.因为函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以①当a<-1时,原不等式的解集为{x|a②当a=-1时,原不等式的解集为∅;③当a>-1时,原不等式的解集为{x|-11.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时,分母不为零.2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1一、选择题1.不等式≥2的解集是( )A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 ≥2⇔⇔∴不等式的解集为.2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( )A.1B.-1C.-3D.3考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 C解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈(0,1]恒成立,又f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,∴f(x)min=f(1)=-3,∴m≤-3,∴m的最大值为-3.3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为( )A.B.C.D.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 A解析 ∵a<-1,∴a(x-a)<0⇔(x-a)·>0.又a<-1,∴>a,∴x>或x∴不等式的解集为.4.若a>0,b>0,则不等式-b<A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 A解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )A.B.RC.D.∅考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 A解析 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )A.13C.12考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 B解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 C解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,依题意得f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
(2)方法一 要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,
就要使m
2+
m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
令g(x)=m
m-6,x∈[1,3].
当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
∴g(x)max=g(3)=7m-6<0,∴0;当m=0时,-6<0恒成立;当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,∴g(x)max=g(1)=m-6<0,得m<6,∴m<0.综上所述,m的取值范围是.方法二 当x∈[1,3]时,f(x)<-m+5恒成立,即当x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-6<0恒成立.∵x2-x+1=2+>0,又m(x2-x+1)-6<0,∴m<.∵函数y==在[1,3]上的最小值为,∴只需m<即可.综上所述,m的取值范围是.引申探究把例2(2)改为:对于任意m∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求实数x的取值范围.解 f(x)<-m+5,即mx2-mx-1<-m+5,m(x2-x+1)-6<0.设g(m)=m(x2-x+1)-6.则g(m)是关于m的一次函数且斜率x2-x+1=2+>0.∴g(m)在[1,3]上为增函数,要使g(m)<0在[1,3]上恒成立,只需g(m)max=g(3)<0,即3(x2-x+1)-6<0,x2-x-1<0,方程x2-x-1=0的两根为x1=,x2=,∴x2-x-1<0的解集为,即x的取值范围为.反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围,通常处理方法有两种(1)考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函数,转化为求函数的最大(小)值,从而建立参变量的不等式.(2)若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数),并结合图象建立参变量的不等式求解.跟踪训练2 当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 (-∞,-5]解析 构造函数f(x)=x2+mx+4,x∈[1,2],则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2).由于当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立.则有即可得所以m≤-5.类型三 含参数的一元二次不等式例3 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 当a<0时,不等式可化为(x-1)>0,∵a<0,∴<1,∴不等式的解集为.当a=0时,不等式可化为-x+1<0,解集为{x|x>1}.当a>0时,不等式可化为(x-1)<0.当0>1,不等式的解集为.当a=1时,不等式的解集为∅.当a>1时,<1,不等式的解集为.综上,当a<0时,解集为;当a=0时,解集为{x|x>1};当0;当a=1时,解集为∅;当a>1时,解集为.反思与感悟 解含参数的不等式,可以按常规思路进行:先考虑开口方向,再考虑判别式的正负,最后考虑两根的大小关系,当遇到不确定因素时再讨论.跟踪训练3 解关于x的不等式(x-a)(x-a2)<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 当a<0或a>1时,有a当0当a=0或a=1时,原不等式无解.综上,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|a当0当a=0或a=1时,解集为∅.1.若不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是( )A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 D解析 由题意,得Δ=m2-4≤0,∴-2≤m≤2.2.不等式≥0的解集为( )A.[1,2]B.(-∞,1]∪[2,+∞)C.[1,2)D.(-∞,1]∪(2,+∞)考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 由题意可知,不等式等价于∴x>2或x≤1.3.当不等式x2+x+k>0恒成立时,k的取值范围为________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 由题意知Δ<0,即1-4k<0,得k>,即k∈.4.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.因为函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以①当a<-1时,原不等式的解集为{x|a②当a=-1时,原不等式的解集为∅;③当a>-1时,原不等式的解集为{x|-11.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时,分母不为零.2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1一、选择题1.不等式≥2的解集是( )A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 ≥2⇔⇔∴不等式的解集为.2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( )A.1B.-1C.-3D.3考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 C解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈(0,1]恒成立,又f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,∴f(x)min=f(1)=-3,∴m≤-3,∴m的最大值为-3.3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为( )A.B.C.D.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 A解析 ∵a<-1,∴a(x-a)<0⇔(x-a)·>0.又a<-1,∴>a,∴x>或x∴不等式的解集为.4.若a>0,b>0,则不等式-b<A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 A解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )A.B.RC.D.∅考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 A解析 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )A.13C.12考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 B解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 C解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,依题意得f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
;
当m=0时,-6<0恒成立;
当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,
∴g(x)max=g
(1)=m-6<0,得m<6,∴m<0.
综上所述,m的取值范围是
方法二 当x∈[1,3]时,f(x)<-m+5恒成立,
即当x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-6<0恒成立.
∵x2-x+1=
又m(x2-x+1)-6<0,∴m<
∵函数y=
=
在[1,3]上的最小值为
,∴只需m<
即可.
引申探究
把例2
(2)改为:
对于任意m∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求实数x的取值范围.
解 f(x)<-m+5,即mx2-mx-1<-m+5,
m(x2-x+1)-6<0.
设g(m)=m(x2-x+1)-6.
则g(m)是关于m的一次函数且斜率
x2-x+1=
>0.
∴g(m)在[1,3]上为增函数,要使g(m)<0在[1,3]上恒成立,只需g(m)max=g(3)<0,
即3(x2-x+1)-6<0,x2-x-1<0,
方程x2-x-1=0的两根为x1=
,x2=
∴x2-x-1<0的解集为
即x的取值范围为
反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围,通常处理方法有两种
(1)考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函数,转化为求函数的最大(小)值,从而建立参变量的不等式.
(2)若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数),并结合图象建立参变量的不等式求解.
跟踪训练2 当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是________.
答案 (-∞,-5]
解析 构造函数f(x)=x2+mx+4,x∈[1,2],
则f(x)在[1,2]上的最大值为f
(1)或f
(2).
由于当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立.
则有
即
可得
所以m≤-5.
类型三 含参数的一元二次不等式
例3 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
考点 一元二次不等式的解法
题点 含参数的一元二次不等式的解法
解 当a<0时,不等式可化为
(x-1)>0,
∵a<0,∴
<1,∴不等式的解集为
当a=0时,不等式可化为-x+1<0,解集为{x|x>1}.
当a>0时,不等式可化为
(x-1)<0.
当0>1,不等式的解集为.当a=1时,不等式的解集为∅.当a>1时,<1,不等式的解集为.综上,当a<0时,解集为;当a=0时,解集为{x|x>1};当0;当a=1时,解集为∅;当a>1时,解集为.反思与感悟 解含参数的不等式,可以按常规思路进行:先考虑开口方向,再考虑判别式的正负,最后考虑两根的大小关系,当遇到不确定因素时再讨论.跟踪训练3 解关于x的不等式(x-a)(x-a2)<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 当a<0或a>1时,有a当0当a=0或a=1时,原不等式无解.综上,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|a当0当a=0或a=1时,解集为∅.1.若不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是( )A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 D解析 由题意,得Δ=m2-4≤0,∴-2≤m≤2.2.不等式≥0的解集为( )A.[1,2]B.(-∞,1]∪[2,+∞)C.[1,2)D.(-∞,1]∪(2,+∞)考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 由题意可知,不等式等价于∴x>2或x≤1.3.当不等式x2+x+k>0恒成立时,k的取值范围为________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 由题意知Δ<0,即1-4k<0,得k>,即k∈.4.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.因为函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以①当a<-1时,原不等式的解集为{x|a②当a=-1时,原不等式的解集为∅;③当a>-1时,原不等式的解集为{x|-11.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时,分母不为零.2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1一、选择题1.不等式≥2的解集是( )A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 ≥2⇔⇔∴不等式的解集为.2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( )A.1B.-1C.-3D.3考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 C解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈(0,1]恒成立,又f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,∴f(x)min=f(1)=-3,∴m≤-3,∴m的最大值为-3.3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为( )A.B.C.D.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 A解析 ∵a<-1,∴a(x-a)<0⇔(x-a)·>0.又a<-1,∴>a,∴x>或x∴不等式的解集为.4.若a>0,b>0,则不等式-b<A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 A解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )A.B.RC.D.∅考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 A解析 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )A.13C.12考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 B解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 C解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,依题意得f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
>1,不等式的解集为
当a=1时,不等式的解集为∅.
当a>1时,
<1,不等式的解集为
综上,当a<0时,解集为
当a=0时,解集为{x|x>1};
当0;当a=1时,解集为∅;当a>1时,解集为.反思与感悟 解含参数的不等式,可以按常规思路进行:先考虑开口方向,再考虑判别式的正负,最后考虑两根的大小关系,当遇到不确定因素时再讨论.跟踪训练3 解关于x的不等式(x-a)(x-a2)<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 当a<0或a>1时,有a当0当a=0或a=1时,原不等式无解.综上,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|a当0当a=0或a=1时,解集为∅.1.若不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是( )A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 D解析 由题意,得Δ=m2-4≤0,∴-2≤m≤2.2.不等式≥0的解集为( )A.[1,2]B.(-∞,1]∪[2,+∞)C.[1,2)D.(-∞,1]∪(2,+∞)考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 由题意可知,不等式等价于∴x>2或x≤1.3.当不等式x2+x+k>0恒成立时,k的取值范围为________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 由题意知Δ<0,即1-4k<0,得k>,即k∈.4.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.因为函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以①当a<-1时,原不等式的解集为{x|a②当a=-1时,原不等式的解集为∅;③当a>-1时,原不等式的解集为{x|-11.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时,分母不为零.2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1一、选择题1.不等式≥2的解集是( )A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 ≥2⇔⇔∴不等式的解集为.2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( )A.1B.-1C.-3D.3考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 C解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈(0,1]恒成立,又f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,∴f(x)min=f(1)=-3,∴m≤-3,∴m的最大值为-3.3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为( )A.B.C.D.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 A解析 ∵a<-1,∴a(x-a)<0⇔(x-a)·>0.又a<-1,∴>a,∴x>或x∴不等式的解集为.4.若a>0,b>0,则不等式-b<A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 A解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )A.B.RC.D.∅考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 A解析 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )A.13C.12考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 B解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 C解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,依题意得f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
当a=1时,解集为∅;
当a>1时,解集为
反思与感悟 解含参数的不等式,可以按常规思路进行:
先考虑开口方向,再考虑判别式的正负,最后考虑两根的大小关系,当遇到不确定因素时再讨论.
跟踪训练3 解关于x的不等式(x-a)(x-a2)<0.
解 当a<0或a>1时,有a当0当a=0或a=1时,原不等式无解.综上,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|a当0当a=0或a=1时,解集为∅.1.若不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是( )A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 D解析 由题意,得Δ=m2-4≤0,∴-2≤m≤2.2.不等式≥0的解集为( )A.[1,2]B.(-∞,1]∪[2,+∞)C.[1,2)D.(-∞,1]∪(2,+∞)考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 由题意可知,不等式等价于∴x>2或x≤1.3.当不等式x2+x+k>0恒成立时,k的取值范围为________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 由题意知Δ<0,即1-4k<0,得k>,即k∈.4.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.因为函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以①当a<-1时,原不等式的解集为{x|a②当a=-1时,原不等式的解集为∅;③当a>-1时,原不等式的解集为{x|-11.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时,分母不为零.2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1一、选择题1.不等式≥2的解集是( )A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 ≥2⇔⇔∴不等式的解集为.2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( )A.1B.-1C.-3D.3考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 C解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈(0,1]恒成立,又f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,∴f(x)min=f(1)=-3,∴m≤-3,∴m的最大值为-3.3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为( )A.B.C.D.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 A解析 ∵a<-1,∴a(x-a)<0⇔(x-a)·>0.又a<-1,∴>a,∴x>或x∴不等式的解集为.4.若a>0,b>0,则不等式-b<A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 A解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )A.B.RC.D.∅考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 A解析 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )A.13C.12考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 B解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 C解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,依题意得f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
当0当a=0或a=1时,原不等式无解.综上,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|a当0当a=0或a=1时,解集为∅.1.若不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是( )A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 D解析 由题意,得Δ=m2-4≤0,∴-2≤m≤2.2.不等式≥0的解集为( )A.[1,2]B.(-∞,1]∪[2,+∞)C.[1,2)D.(-∞,1]∪(2,+∞)考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 由题意可知,不等式等价于∴x>2或x≤1.3.当不等式x2+x+k>0恒成立时,k的取值范围为________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 由题意知Δ<0,即1-4k<0,得k>,即k∈.4.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.因为函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以①当a<-1时,原不等式的解集为{x|a②当a=-1时,原不等式的解集为∅;③当a>-1时,原不等式的解集为{x|-11.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时,分母不为零.2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1一、选择题1.不等式≥2的解集是( )A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 ≥2⇔⇔∴不等式的解集为.2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( )A.1B.-1C.-3D.3考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 C解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈(0,1]恒成立,又f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,∴f(x)min=f(1)=-3,∴m≤-3,∴m的最大值为-3.3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为( )A.B.C.D.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 A解析 ∵a<-1,∴a(x-a)<0⇔(x-a)·>0.又a<-1,∴>a,∴x>或x∴不等式的解集为.4.若a>0,b>0,则不等式-b<A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 A解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )A.B.RC.D.∅考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 A解析 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )A.13C.12考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 B解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 C解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,依题意得f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
当a=0或a=1时,原不等式无解.
综上,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|a当0当a=0或a=1时,解集为∅.1.若不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是( )A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 D解析 由题意,得Δ=m2-4≤0,∴-2≤m≤2.2.不等式≥0的解集为( )A.[1,2]B.(-∞,1]∪[2,+∞)C.[1,2)D.(-∞,1]∪(2,+∞)考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 由题意可知,不等式等价于∴x>2或x≤1.3.当不等式x2+x+k>0恒成立时,k的取值范围为________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 由题意知Δ<0,即1-4k<0,得k>,即k∈.4.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.因为函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以①当a<-1时,原不等式的解集为{x|a②当a=-1时,原不等式的解集为∅;③当a>-1时,原不等式的解集为{x|-11.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时,分母不为零.2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1一、选择题1.不等式≥2的解集是( )A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 ≥2⇔⇔∴不等式的解集为.2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( )A.1B.-1C.-3D.3考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 C解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈(0,1]恒成立,又f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,∴f(x)min=f(1)=-3,∴m≤-3,∴m的最大值为-3.3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为( )A.B.C.D.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 A解析 ∵a<-1,∴a(x-a)<0⇔(x-a)·>0.又a<-1,∴>a,∴x>或x∴不等式的解集为.4.若a>0,b>0,则不等式-b<A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 A解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )A.B.RC.D.∅考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 A解析 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )A.13C.12考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 B解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 C解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,依题意得f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
当0当a=0或a=1时,解集为∅.1.若不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是( )A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 D解析 由题意,得Δ=m2-4≤0,∴-2≤m≤2.2.不等式≥0的解集为( )A.[1,2]B.(-∞,1]∪[2,+∞)C.[1,2)D.(-∞,1]∪(2,+∞)考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 由题意可知,不等式等价于∴x>2或x≤1.3.当不等式x2+x+k>0恒成立时,k的取值范围为________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 由题意知Δ<0,即1-4k<0,得k>,即k∈.4.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.因为函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以①当a<-1时,原不等式的解集为{x|a②当a=-1时,原不等式的解集为∅;③当a>-1时,原不等式的解集为{x|-11.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时,分母不为零.2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1一、选择题1.不等式≥2的解集是( )A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 ≥2⇔⇔∴不等式的解集为.2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( )A.1B.-1C.-3D.3考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 C解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈(0,1]恒成立,又f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,∴f(x)min=f(1)=-3,∴m≤-3,∴m的最大值为-3.3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为( )A.B.C.D.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 A解析 ∵a<-1,∴a(x-a)<0⇔(x-a)·>0.又a<-1,∴>a,∴x>或x∴不等式的解集为.4.若a>0,b>0,则不等式-b<A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 A解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )A.B.RC.D.∅考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 A解析 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )A.13C.12考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 B解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 C解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,依题意得f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
当a=0或a=1时,解集为∅.
1.若不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是( )
A.m≥2B.m≤-2
C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2
题点 一元二次不等式在R上恒成立问题
答案 D
解析 由题意,得Δ=m2-4≤0,∴-2≤m≤2.
2.不等式
≥0的解集为( )
A.[1,2]B.(-∞,1]∪[2,+∞)
C.[1,2)D.(-∞,1]∪(2,+∞)
解析 由题意可知,不等式等价于
∴x>2或x≤1.
3.当不等式x2+x+k>0恒成立时,k的取值范围为________.
答案
解析 由题意知Δ<0,即1-4k<0,
得k>
,即k∈
4.解关于x的不等式:
x2+(1-a)x-a<0.
解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.
因为函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以
①当a<-1时,原不等式的解集为{x|a②当a=-1时,原不等式的解集为∅;③当a>-1时,原不等式的解集为{x|-11.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时,分母不为零.2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1一、选择题1.不等式≥2的解集是( )A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 ≥2⇔⇔∴不等式的解集为.2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( )A.1B.-1C.-3D.3考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 C解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈(0,1]恒成立,又f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,∴f(x)min=f(1)=-3,∴m≤-3,∴m的最大值为-3.3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为( )A.B.C.D.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 A解析 ∵a<-1,∴a(x-a)<0⇔(x-a)·>0.又a<-1,∴>a,∴x>或x∴不等式的解集为.4.若a>0,b>0,则不等式-b<A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 A解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )A.B.RC.D.∅考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 A解析 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )A.13C.12考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 B解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 C解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,依题意得f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
②当a=-1时,原不等式的解集为∅;
③当a>-1时,原不等式的解集为{x|-11.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时,分母不为零.2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1一、选择题1.不等式≥2的解集是( )A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 ≥2⇔⇔∴不等式的解集为.2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( )A.1B.-1C.-3D.3考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 C解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈(0,1]恒成立,又f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,∴f(x)min=f(1)=-3,∴m≤-3,∴m的最大值为-3.3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为( )A.B.C.D.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 A解析 ∵a<-1,∴a(x-a)<0⇔(x-a)·>0.又a<-1,∴>a,∴x>或x∴不等式的解集为.4.若a>0,b>0,则不等式-b<A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 A解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )A.B.RC.D.∅考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 A解析 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )A.13C.12考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 B解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 C解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,依题意得f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
1.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时,分母不为零.
2.对于某些恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后,问题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然,这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时,经常要用到以下简单结论
(1)若f(x)有最大值f(x)max,则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;
(2)若f(x)有最小值f(x)min,则a3.含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1一、选择题1.不等式≥2的解集是( )A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 ≥2⇔⇔∴不等式的解集为.2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( )A.1B.-1C.-3D.3考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 C解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈(0,1]恒成立,又f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,∴f(x)min=f(1)=-3,∴m≤-3,∴m的最大值为-3.3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为( )A.B.C.D.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 A解析 ∵a<-1,∴a(x-a)<0⇔(x-a)·>0.又a<-1,∴>a,∴x>或x∴不等式的解集为.4.若a>0,b>0,则不等式-b<A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 A解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )A.B.RC.D.∅考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 A解析 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )A.13C.12考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 B解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 C解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,依题意得f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
3.含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论:
二次项系数a>0,a<0,a=0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论:
两根(Δ>0),一根(Δ=0),无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:
x1>x2,x1=x2,x1一、选择题1.不等式≥2的解集是( )A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 D解析 ≥2⇔⇔∴不等式的解集为.2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( )A.1B.-1C.-3D.3考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 C解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈(0,1]恒成立,又f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,∴f(x)min=f(1)=-3,∴m≤-3,∴m的最大值为-3.3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为( )A.B.C.D.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 A解析 ∵a<-1,∴a(x-a)<0⇔(x-a)·>0.又a<-1,∴>a,∴x>或x∴不等式的解集为.4.若a>0,b>0,则不等式-b<A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 A解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )A.B.RC.D.∅考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 A解析 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )A.13C.12考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 B解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 C解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,依题意得f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
一、选择题
1.不等式
≥2的解集是( )
A.
B.
C.
D.
解析
≥2⇔
⇔
∴不等式的解集为
2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为( )
A.1B.-1
C.-3D.3
答案 C
解析 由已知可得m≤x2-4x对一切x∈(0,1]恒成立,
又f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,
∴f(x)min=f
(1)=-3,
∴m≤-3,
∴m的最大值为-3.
3.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)
<0的解集为( )
答案 A
解析 ∵a<-1,
∴a(x-a)
<0⇔(x-a)·
>0.
又a<-1,∴
>a,
∴x>
或x∴不等式的解集为.4.若a>0,b>0,则不等式-b<A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 A解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )A.B.RC.D.∅考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 A解析 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )A.13C.12考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 B解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 C解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,依题意得f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
4.若a>0,b>0,则不等式-b<
A.B.C.D.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 A解析 原不等式即可得故不等式的解集为.5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )A.B.RC.D.∅考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式解法答案 A解析 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )A.13C.12考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立答案 B解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]⇔⇔⇔x<1或x>3.7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)考点 一元二次不等式的解法题点 根的分布答案 C解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,依题意得f(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
解析 原不等式
故不等式的解集为
5.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )
B.R
D.∅
题点 含参数的一元二次不等式解法
解析 因为Δ=a2+4m>0,
所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,
又m>0,所以原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.
6.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )
A.13
C.12
答案 B
解析 设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),
g(a)>0恒成立且a∈[-1,1]
⇔x<1或x>3.
7.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1小且另一根比1大,则a的取值范围是( )
A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
题点 根的分布
解析 令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,
依题意得f
(1)<0,即1+a2-1+a-2<0,
∴a2+a-2<0,∴-28.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2]考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 D解析 当a-2≠0时,即解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
8.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2)B.(-∞,2]
C.(-2,2)D.(-2,2]
解析 当a-2≠0时,
解得-2当a-2=0时,-4<0恒成立,综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
当a-2=0时,-4<0恒成立,
综上所述,-2二、填空题9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法答案 (-1,0]解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;当a≠0时,a满足条件解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
二、填空题
9.若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是∅,则实数a的取值范围是__________.
答案 (-1,0]
解析 当a=0时,-2≥0,解集为∅,满足题意;
当a≠0时,a满足条件
解得-110.不等式≥1的解集为________.考点 分式不等式的解法题点 分式不等式的解法答案 解析 因为≥1等价于≥0,所以≤0,等价于解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
10.不等式
≥1的解集为________.
解析 因为
≥1等价于
≥0,所以
≤0,等价于
解得-4.11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在R上恒成立问题答案 解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.若a=-1,则原不等式为2x-1<0,即x<,不合题意,舍去.②当a2-1≠0,即a≠±1时,原不等式的解集为R的条件是解得-综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
11.若不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,则实数a的取值范围是________.
解析 ①当a2-1=0时,a=1或a=-1.
若a=1,则原不等式为-1<0,恒成立,满足题意.
若a=-1,则原不等式为2x-1<0,
即x<
,不合题意,舍去.
②当a2-1≠0,即a≠±1时,
原不等式的解集为R的条件是
解得-
综上,a的取值范围是.12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值答案 (0,1]解析 由题意得解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
综上,a的取值范围是
12.若方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根,则m的取值范围是________.
考点 “三个二次”间对应关系的应用
题点 由“三个二次”的对应关系求参数值
答案 (0,1]
解析 由题意得
解得0三、解答题13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,∴由根与系数的关系得∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,则cx2+bx+a<0可化为x2+x+>0.①÷②,得==-<0.由②得==·>0.∴,为方程x2+x+=0的两根.又∵0<α<β,∴0<<,∴不等式x2+x+>0的解集为,即不等式cx2+bx+a<0的解集为.方法二 由题意知a<0,∴由cx2+bx+a<0,得x2+x+1>0.将方法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.又∵0<α<β,∴0<<.∴所求不等式的解集为.四、探究与拓展14.关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.考点 一元二次不等式的解法题点 含参数的一元二次不等式的解法解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.∴k<2,-k>-2>-,∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为,
三、解答题
13.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.
解 方法一 由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,
∴由根与系数的关系得
∵a<0,0<α<β,
∴由②得c<0,
则cx2+bx+a<0可化为x2+
x+
①÷②,得
=-
<0.
由②得
·
∴
为方程x2+
=0的两根.
又∵0<α<β,
∴0<
<
∴不等式x2+
>0的解集为
即不等式cx2+bx+a<0的解集为
方法二 由题意知a<0,
∴由cx2+bx+a<0,得
x2+
x+1>0.
将方法一中的①②代入,
得αβx2-(α+β)x+1>0,
即(αx-1)(βx-1)>0.
∴所求不等式的解集为
四、探究与拓展
14.关于x的不等式组
的整数解的集合为{-2},求实数k的取值范围.
解 ∵-2是2x2+(2k+5)x+5k<0的解,
∴2(-2)2+(2k+5)(-2)+5k=k-2<0.
∴k<2,-k>-2>-
∴2x2+(2k+5)x+5k=(x+k)(2x+5)<0的解集为
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