线性规划练习题Word格式.docx

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，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、ACxx点．

（1）求证：

DE∥平面PBC；

（2）求证：

AB⊥PE；

（3）求二面角A－PB－E的大小．

13．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为边长为2对的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°

，E，F分别是BC，PC的中点．

（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由；

（2）若PA=2，求二面角E﹣AF﹣C的xx值．

14．如图，在四棱锥中，底面是正方形．点是棱的中点，平面与棱交于点．

∥；

（Ⅱ）若，且平面平面，试证明平面；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段上是否存在点,使得平面?

（请说明理由）

15．如图，在长方体中，面与棱分别交于点，且均为中点．

面；

（2）xx的中点．上是否存在动点，使得面？

若存在，求出点的位置，并加以证明；

参考答案

1．C

【解析】

试题分析：

，显然表示点与点连线的斜率．作出题设不等式表示的平面区域，如图内部（含边界），是内任意一点，显然当与重合时，最小，，即的最小值为．故选C．

考点：

简单线性规划的非线性应用．

2．C

将化成，将其代入，得，即，由题意，得有解，即，解得，即m的取值范围是；

故选C．

不等式组与平面区域．

【技巧点睛】本题考查二元一次不等式组和平面区域、不等式组的解的存在性，属于中档题；

学生解决本题的常用方法是先画出可行域再思考如何处理，难度较大；

本题的解题技巧在于，将平面区域内存在点使成立，利用消元法将其转化为关于的不等式组有解的问题，再利用集合间的关系进行求解．

3．C

根据题意作出满足约束条件下的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，所以，解得，故选C．

简单的线性规划问题．

4．A

作出可行域如图，，当目标函数过点时纵截距最大，此时最大．即．

，当且仅当，即时取．故选A．

1线性规划；

2基本不等式．

5．

作出满足不等式组的平面区域，如图所示，因为对任意的实数不等式xx成立，由图可知斜率或，解得，所以实数的取值范围是．

【技巧点睛】

（1）求解与平面区域有关的问题的关键是作出平面区域，在含有参数的问题中注意对参数的聚会范围进行讨论；

（2）在刻有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．

6．．

作出可行域，令，则由的几何意义可知取点时，取得最大值，取点时，取得最小值，则，又，由及单调递增，可知单调递增，故，，所以的取值范围是．

1、线性规划；

2、函数单调性求最值．

【思路点睛】本题主要考查目标函数求取最值（范围）问题，属困难题．由题给不等式组作出相应可行域，取目标函数中，由的几何意义：

可行域中的点与原点的连线斜率，可知，取得最大值和最小值的最优解分别为点和点，从而，此时目标函数为，结合函数单调性可求．

7．

由得，平移直线由图象可知，当过时目标函数的最大值为，即，则

，当且仅当，即时，取等号，故的最小值为．

1、利用可行域求线性目标函数的最值；

2、利用基本不等式求最值．

【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题．含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键．

8．

设，因为其一根在区间内，另一根在区间内，所以，即，设，即表示过定点（1，3）的斜率，所以答案应填：

．

1、函数的零点；

2、二次函数的性质；

3、线性规划．

【思路点睛】本题主要考查的是函数的零点二次函数的性质利用线性规划的方法来解决，属于中档稍难题，分析问题结合图象利用斜率知识点解决问题．

9．-1.

由题意作出其平面区域，当|y|最小，x最大，即过（1，0）时，最小．

由题意作出其平面区域，由图可知，|y|﹣x的最小值为0﹣1=﹣1．

故答案为：

﹣1．

简单线性规划．

10．11

作出不等式组作出平面区域如图所示，由，得，平移直线

由图象可知当过点时，直线截距最大，此时最大，由，得，即

此时，故答案为11.

线性规划的应用.

11．（I）证明见解析；

（II）当为棱中点时，平面．

（I）取中点，连接，，先证⊥，再证⊥，进而可证平面；

（II）连接，，欲证平面，需在平面找出两条相交的直线与垂直，由（I）知⊥，关键是证明，当为棱中点时，，在直角梯形中，，通过三角形相似易证直角梯形的对角线互相垂直，进而根据线面垂直的判定定理可得平面．

试题解析：

（I）取中点，连接，，

∵为中点，∴，又⊥平面，

∴⊥平面，

∴⊥.

∵△为正三角形，∴⊥又∩，

∴平面

又∵平面∴.

（II）当为棱中点时，平面.证明如下：

连接,.因为⊥平面,平面,

所以,又,,

四边形是矩形，

，,

当为棱中点时，

所以，

所以，

所以

又因为，,

所以平面，即当为棱中点时，平面.

1、柱体的结构特征；

2、线面垂直；

3、线线垂直．

【方法点晴】证明线线垂直的常有方法有等腰三角形底边上的高线，菱形的对角线，勾股定理，圆中直径所对的圆周角为直角，直线与平面垂直的定义；

证明线面垂直的常用方法有定义法，线面垂直的判断定理.本题主要考查的是空间直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，属于中档题．考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，将空间问题转化为平面问题的能力．

12．

（1）见解析；

（2）见解析；

（3）60°

（1）由于是三角形的中位线，因此有，再写上线面平行的条件，线在面内，线在面外可得线面平行；

（2）由

（1）可得，如果有，则必有平面，因此可先证明平面后可得，而为此可证，这由等腰三角形的性质可得；

（3）要求二面角，可以为坐标轴建立空间直角坐标系后，写出各点坐标，求出平面和平面的xx向量，由xx向量的夹角可得二面角大小（它们相等或互补，注意判别二面角的大小）．

（1）D、E分别为AB、AC中点，

\DE∥BC．DEË

平面PBC，BCÌ

平面PBC，

∴DE∥平面PBC

（2）连结PD，PA=PB，PD⊥AB．

DE∥BC，BC⊥AB，

∴DE⊥AB．

又∵，∴AB⊥平面PDE．∵PEÌ

平面PDE，

∴AB⊥PE．

（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD⊥AB，

PD⊥平面ABC．

如图，以D为原点建立空间直角坐标系

B（1,0,0），P（0,0,），E（0,,0）,

∴=（1,0,），=（0,,）

设平面PBE的法向量，

则，

令得．

DE⊥平面PAB，平面PAB的法向量为（0,1,0）．

设二面角的A－PB－E大小为，由图知，，

所以，即二面角的A－PB－E的大小为60°

线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，二面角．

【名师点睛】求二面角的大小

如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=<

>

.

如图②③,,分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cosθ=cos<

>

或-cos<

13．

（1）垂直，理由见解析；

（2）所求二面角的xx值为．

（1）判断垂直．证明AE⊥BC．PA⊥AE．推出AE⊥平面PAD，然后证明AE⊥PD．

（2）由

（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面AEF的一个法向量，平面AFC的一个法向量．通过向量的数量积求解二面角的xx值．

解：

（1）垂直．

证明：

由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°

，

可得△ABC为正三角形．

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．

又BC∥AD，因此AE⊥AD．

因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，

所以PA⊥AE．

而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD=A，

所以AE⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，

所以AE⊥PD．

（2）由

（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，

建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，∴A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，2），，，

所以，．

设平面AEF的一个法向量为，则，

因此，取z1=﹣1，则．

因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一个法向量．

又，所以．

因为二面角E﹣AF﹣C为锐角，所以所求二面角的xx值为．

二面角的平面角及求法；

直线与平面垂直的性质．

14．（I）证明见解析；

（II）证明见解析；

（III）线段上不存在点，使得平面．

（I）先证明平面，即可证明；

（II）利用平面平面，证明，所以，即可证明平面；

（III）在（II）的条件下，线段上存在点，使得平面．

（Ⅰ）证明：

因为底面是正方形，

所以∥．

又因为平面，平面，

所以∥平面．

又因为四点共面，且平面平面，

（Ⅱ）在正方形中，．

又因为平面平面，

且平面平面，

所以平面．

又平面所以．

由（Ⅰ）可知∥，

又因为∥,所以∥.

由点是棱中点，所以点是棱中点．

在△中，因为，所以．

又因为，所以平面．

（Ⅲ）不存在．假设线段上是否存在点,使得平面

取AB中点N,连接NE,xx∥,∥,过E有两条直线与AF平行矛盾

线段上不存在点,使得平面

直线与平面垂直的判定；

空间直线与直线的位置关系的判定．

15．

（1）证明见解析；

（2）当点满足时，直线面．

（1）证明，且，得四边形为平行四边形，所以；

（2）当点满足时，利用线面位置的判定定理，证明、，从而得到直线面．

（1）连接，因为均为中点，所以，

又因为，且，所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以，

又因为面面，所以面；

（2）当点满足时，面面，证明如下：

连接交于，则经过点，取中点，连接，

则为三角形边上的中位线，所以，

因为，且为的中点，所以，所以，

因为底面为正方形，所以，又底面，所以，

又，所以面，又面，所以，

由第

（1）问知，所以，

又是平面四边形的对角线，所以它们必相交，所以面．

线面位置关系的判定与证明；

立体几何的xx问题的证明．