自考慨率论讲议 8.docx

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自考慨率论讲议8

第八章　假设检验

本章主要介绍统计假设检验的基本思想和概念以及参数的假设检验方法。

　　8.1　假设检验的基本思想和概念

（一）统计假设的概念

　　为了引入统计假设的概念，先请看例8-1。

　　例8-1　味精厂用一台包装机自动包装味精，已知袋装味精的重量，机器正常时，其均值=0.5（0.5，0.015的单位都是公斤）。

某日开工后随机抽取9袋袋装味精，其净重（公斤）为：

　　0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512

　　问这台包装机是否正常？

　　【答疑编号10080101】

　　此例随机抽样取得的9袋味精的重量都不正好是0.5公斤，这种实际重量和标准重量不完全一致的现象，在实际中是经常出现的。

造成这种差异不外乎有两种原因：

一是偶然因素的影响，二

　　是条件因素的影响。

由于偶然因素而发生的（例如电网电压的波动、金属部件的不时伸缩

、衡量仪器的误差而引起的）差异称为随机误差；由于条件因素（生产设备的缺陷、机械部件

的过度损耗）而产生的差异称为条件误差。

若只存在随机误差，我们就没有理由怀疑标准重量

不是0.5公斤；如果我们有十足的理由断定标准重量已不是0.5公斤，那么造成这种现象的主要原因是条件误差，即包装机工作不正常，那么，怎样判断包装机工作是否正常呢？

　　我们通过解例8-1来找出解假设检验问题的思想方法。

　　解已知袋装味精重，假设现在包装机工作正常，即提出如下假设：

　　，

　　这是两个对立的假设，我们的任务就是要依据样本对这样的假设之一作出是否拒绝的判断。

　　由于样本均值是的一个很好的估计，故当为真时，应很小。

当过分大时，我们就应当怀疑不正确而拒绝。

怎样给出的具体界限值呢？

　　当为真时，由于，对于给定的很小的数0<α<1，例如取α=0.05，考虑

　　，

　　其中是标准正态分布上侧分位数，而事件

　　（8.1.1）

　　是一个小概率事件，小概率事件在一次试验中几乎不可能发生。

　　我们查附表1得,又n=9,=0.015，由样本算得，又由（8.1.1）得：

　　小概率事件居然发生了，这与实际推断原理相矛盾，于是拒绝，而认为这台包装机工作不正常。

　　从上面的例8-1中，我们看出为了

对总体的某一参数进行检验，通常提出两个对立假设

。

然后引入一个与被检参数有关的服从某种分布的统计量，根据事先给出的一概率标准α（叫显著水平）用反证法进行判断，由于小概率事件一般是不会发生的，如果引进的样本是一个小概率事件，因为它的确出现了，则可认为假设不能接受，否则便接受。

（二）假设检验的程序

根据以上的讨论与分析，可将假设检验的基本步骤概括如下：

（1）根据实际问题提出原假设及备择假设。

这里要求与有且仅有一个为真。

（2）选取合适的统计量，即要求所选的统计量与假设无关且服从某种分布，常见的有

标准正态分布t（n-1）分布，（n-1）分布及F（m,n）公布。

（3）规定小概率标准α的大小，也叫显著水平，通常可取

α=0.01，α=0.05或α=0.1。

（4）在显著水平α下，根据统计量的分布将样本空间划分为两部分，其一是接受的叫

接受域，另一个是拒绝的叫拒绝域，记为W。

（5）根据样本值计算统计量的大小。

（6）作出判断：

若统计量的观测值落在拒绝域W内。

则知小概率事件发生了，拒绝，

接受。

若统计量的观测值落在接受域则认为小概率事件没有发生，可以接受拒绝。

　　8.2总体均值的假设检验

　　本节讨论的总体均值的假设检验，多数是在正态总体下进行的。

　　8.2.1u检验

1.方差已知时，单个正态总体均值检验

设x1,…,xn是从正态总体中抽取的一个样本,是已知常数,欲检验假设：

，

其中为已知数，它的程序：

（1）提出假设

（2）引入统计量

（3）规定显著水平α，查标准正态分布表求的上侧分位数为临界值，写出相应的拒绝域

其中常用的有α=0.1时，

α=0.05时，

α=0.01时，

（4）根据样本值x1，x2，…，xn计算统计量u。

（5）判断：

若u落入拒绝域W内时，则拒绝接受，

　　　　　若u落入接受域内时，则接受，拒绝。

　　例8-2某产品的重量X～N（12，1）（单位：

克），更新设备后，从新生产的产品中抽样100件，测试样本均值（克），如果产品的方差没有改变，请问更新设备后，产品的平均重量是否有明显变化？

（α=0.01）

　　【答疑编号10080102】

　　解

（1）设

（2）引入

　　（3）根据α=0.01，查标准正态分布函数表，得的上侧分位数

　　∴拒绝域为（-∞，-2.58）,（2.58，+∞）

　　（4）计算

　　（5）∵u落入拒绝域W中，故拒绝，即有明显差别。

2.方差已知时，两个正态总体值差的检验

设，其中为已知常数。

x1，…，xm和y1，…，yn分别是取自X和Y的样本且相互独立。

欲检验假设：

检验假设，等价于检验假设。

而是的一个好估计量，且当为真时，有

（8.2.1）

于是对给定的水平α，查附表1，可得临界值，使

，（8.2.2）

从而得拒绝域

，

若u∈W，则拒绝；否则接受。

　　由上述讨论可知，由服从标准正态分布的检验统计量作检验的方法称为u检验法。

　　例8-3设从中各抽样25件

　　测得=90，=89。

设X，Y独立，请问是否可以认与基本相同？

（α=0.05）

　　【答疑编号10080103】

　　解

（1）

（2）引进统计量

　　（3）根据α=0.05，查标准正态分布函数表将

　　∴拒绝域W为（-∞，-1.96），（1.96,+∞）

　　（4）计算

　　（5）∵u在接受域内，∴接受，即与差别不大。

　　8.2.2　t检验

1.方差未知时，单个正态总体均值检验

设x1，…，xm是从正态总体中抽取的一个样本，其中未知，欲检验

（1），其中为已知数。

（2）构造统计量

（3）给定显著水平α，查t（n-1）表求分位数

则拒绝域

（4）根据样本x1，x2，…，xn计算

（5）若t落在拒绝域W内，则拒绝，接受。

　　若t未落在拒绝域内，则接受，拒绝。

　　例8-4车辆厂生产的螺杆直径X服从正态分布，现从中抽取5枝，测得直径（单位：

毫米）为22.3，21.5，22.0，21.8，21.4。

如果未知，试问直径均值=21是否成立？

（α=0.05）

　　【答疑编号10080104】

　　解检验假设

（1），

　　由样本观测值算得

（2），

　　（3）计算

　　（4）根据α=0.05，查t（n-1）分布表

　　临界值。

　　∴拒绝域为

　　（5）∵t=4.87在拒绝域内

　　∴否定，接受。

　　即认为直径均值不是21。

2.方差未知时，两个正态总体均值检验

设和分别是取自X和Y的样本且相互独立。

（1）（未知）。

欲检验假设

（2）构造统计量

。

t即为我们构造的检验统计量。

这时，对给定的水平α，查附表3可得临界值，使

，

即得拒绝域

。

　　例8-5　在漂白工艺中考察温度对针织品断裂强度的影响，现在70℃与80℃下分别作8次和6次试验，测得各自的断裂度X和Y的观测值。

经计算得，。

根据以往的经验，可认为X和Y均服从正态分布，且方差相等，在给定α=0.10时，问70℃与80℃对断裂强度的无显著差异？

　　【答疑编号10080105】

　　解　由题设，可假定，于是若作统计假设为两个温度下的断裂强度无显著性差异，即相当于作假设

（1）。

（2）构造统计量

　　（3）α=0.10，查得t（m+n-2）=t（12）表，得临界值。

　　∴拒绝域W为（-∞，-1.782）∪（1.782，+∞）

　　（4）计算

　　（5）因为t落在拒绝域W内，所以拒绝，接受。

　　即认为断裂强度有明显差别。

　　8.3　正态总体方差的假设检验

　　在实际问题中，有关方差的检验问题也是常遇到的，如上节介绍的u检验和t检验中均与方差有密切的联系。

因此，讨论方差的检验问题尤为重要。

　　8.3.1　检验

设总体未知，x1，…，nx为取自X的样本，欲检验假设

其中为已知数。

自然想到，看的无偏估计s2有多大，当H0为真时，s2应在周围波动，如果很大或

很小，则应否定H0，因此构造检验统计量

。

对于给定的显著水平α，可查（n-1）表可得分位数

∴拒绝域W为。

若统计量落在拒绝域W内，则拒绝，接受。

若统计量落在接受域内，则接受，拒绝。

　　例8-6设某厂生产铜线的折断力，现从一批产品中抽查10根测其折断力后经计算得样本均值=575.2，样本方差s2=68.16。

试问能否认为这批铜线折断力的方差仍为82（公斤）（取α=0.05）？

　　【答疑编号10080201】

　　解按题意，欲检验假设

（1），

（2）引进统计量

　　（3）根据α=0.05，查（n-1）=（9）表得临界值

　　于是得拒绝域

　　（4）。

　　（5）计算

　　由于不在拒绝域W内，故不拒绝，即可认为该批铜线折断力的方差与82（公斤）无显著差异。

　　8.3.2F检验

　　前面介绍的用t检验法检验两个独立正态总体的均值是否相等时，曾假定它们的方差是相等的。

一般说来，两个正态总体方差是未知的，那么，如何来检验两独立正态总体方差是否相等呢？

为此介绍F检验法。

设有两正态总体和分别是取自X和Y的

样本且相互独立。

欲检验统计假设

。

由于是的无偏估计，是的无偏估计，当为真时，自然想到和应该差不多，

其比值不会太大或大小，现在关键在于统计量服从什么分布。

由§6.3节定理6-4推论我们知道，当为真时，

这样，取F为检验统计量，对给定的水平α，查附表5，确定临界值使

。

即得拒绝域。

若由样本观测值算得F值，当F∈W时，拒绝，即认为两总体方差有显著差异。

否则认为

与相容，即两总体方差无显著差异。

　　例8-7设甲、乙两台机床加工同一种轴，从这两台机床加工的轴中分别抽取若干根，测得直径数据如下

　　假定各台机床加工轴的直径X，Y分别服从正态分布，试比较甲、乙两台机床加工轴的精度有无显著差异（取α=0.05）。

　　【答疑编号10080202】

　　解　按题意，本题是要检验两正态总体的方差是否相等，即要检验统计假设

（1）

（2）引入统计量

　　（3）根据α=0.05查F（7，6）表得

　　于是

　　，

　　∴拒绝域W为（0，0.195）∪（5.70，+∞）

　　（4）计算

　　（5）∵F不在拒约域W内，

　　∴接受，即方差无明显差别。

　　8.4单边检验

　　实际问题中，有时我们只关心总体的均值是否会增大，例如，试验新工艺以提高产品的质量，如材料的强度、元件的使用寿命等，当然，总体的均值越大越好，此时，需要检验假设。

　　。

　　其中是已知常数。

　　类似地，如果只关心总体的均值是否变小，就需要检验假设

　　，

　　下面以单个正态总体方差已知情况为例，来讨论均值的单边检验的拒绝域。

　　设总体为已知。

x1，…，xn，是取自X的一个样本，给定检验水平，α考虑单边假设问题。

　　，

　　由于是的无偏估计，故当为真时，不应太大，而当u偏大时应拒绝，故拒绝域的形式为：

，c待定，

　　由于，故可找临界值α