全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题9 几何综合问题.docx

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全国中考数学压轴题分类解析汇编专题9几何综合问题

2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编

专题9：

几何综合问题

24.（2012湖北恩施12分）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．

（1）求证：

BC是⊙O的切线；

（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；

（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．

【答案】解：

（1）证明：

连接OB，

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。

又∵CD⊥OA，

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。

∴∠OBA+∠ABC=90°。

∴OB⊥BC。

∴BC是⊙O的切线。

（2）连接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴△OAF是等边三角形。

∴∠AOF=60°。

∴∠ABF=∠AOF=30°。

（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，

∴EG=BE=5。

易证Rt△ADE∽Rt△CGE，

∴sin∠ECG=sin∠A=，

∴。

∴。

又∵CD=15，CE=13，∴DE=2，

由Rt△ADE∽Rt△CGE得，即，解得。

∴⊙O的半径为2AD=。

【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。

【分析】

（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。

（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：

同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。

（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。

25.（2012黑龙江哈尔滨10分）已知：

在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN．

（1）如图l，求证：

PC=AN；

（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：

CF=2：

3，求DQ的长．

【答案】解：

（1）证明：

∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=90°。

∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，∴∠PAQ=∠AMN。

∵PQ⊥ABMN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=90°。

∴AQ=MN。

∴△AQP≌△MNA（ASA）。

∴AN=PQ，AM=AP。

∴∠AMB=∠APM。

∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠PBC。

∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=PC（角平分线的性质）。

∴PC=AN。

（2）∵NP=2PC=3，∴由

（1）知PC=AN=3。

∴AP=NC=5，AC=8。

∴AM=AP=5。

∴。

∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=90°，∴∠ABC=∠MAN。

∴。

∵，∴BC=6。

∵NE∥KC，∴∠PEN=∠PKC。

又∵∠ENP=∠KCP，∴△PNE∽△PCK。

∴。

∵CK：

CF=2：

3，设CK=2k，则CF=3k。

∴，。

过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形。

∴NE=TF=，∴CT=CF－TF=3k－。

∵EF⊥PM，∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。

∴∠BPC=∠BFH。

∵EF∥NT，∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。

∴。

∴，。

∴CT=。

∴。

∴CK=2×=3，BK=BC－CK=3。

∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC。

∴。

∴tan∠BDK=1。

过K作KG⊥BD于G。

∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=，∴设GK=4n，则BG=3n，GD=4n。

∴BK=5n=3，∴n=。

∴BD=4n+3n=7n=。

∵，AQ=4，∴BQ=AB－AQ=6。

∴DQ=BQ－BD=6－。

【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。

【分析】

（1）确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN。

（2）由已知条件，求出线段KC的长度，从而确定△PKC是等腰直角三角形；然后在△BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。

26.（2012湖北十堰10分）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．

（1）求证：

BD是⊙O的切线；

（2）若点E为线段OD的中点，证明：

以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；

（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求的值．

【答案】解：

（1）证明：

∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°。

∴∠ABC+∠BAC=90°。

又∵∠CBD=∠BAC，∴∠ABC+∠CBD=90°。

∴∠ABD=90°。

∴OB⊥BD。

∴BD为⊙O的切线。

（2）证明：

如图，连接CE、OC，BE，

∵OE=ED，∠OBD=90°，∴BE=OE=ED。

∴△OBE为等边三角形。

∴∠BOE=60°。

又∵OD∥AC，∴∠OAC=60°。

又∵OA=OC，∴AC=OA=OE。

∴AC∥OE且AC=OE。

∴四边形OACE是平行四边形。

而OA=OE，∴四边形OACE是菱形。

（3）∵CF⊥AB，∴∠AFC=∠OBD=90°。

又∵OD∥AC，∴∠CAF=∠DOB。

∴Rt△AFC∽Rt△OBD。

∴，即。

又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD。

∴，即。

∴。

【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。

【分析】

（1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，则∠ABC+∠BAC=90°，

而∠CBD=∠BA，得到∠ABC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切

线。

（2）连接CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则△OBE为等边三角形，于是∠BOE=60°，又因为AC∥OD，则∠OAC=60°，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形。

（3）由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°，而OD∥AC，则∠CAF=∠DOB，根据相似三角形的

判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有，即，再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD，则，即，然后求FG与FC的比即可。

27.（2012江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。

（1）求证：

AM=AN；

（2）设BP=x。

若，BM=，求x的值；

记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；

连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？

并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。

【答案】解：

（1）证明：

∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，

∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=600，∠ADM=∠APN=600。

∴∠DAM=∠PAN。

∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。

（2）易证△BPM∽△CAP，∴，

∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴，即。

解得x=或x=。

四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。

∵△ADM≌△APN，∴。

∴。

如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。

在Rt△BPS中，∵∠P=600，BP=x，

∴PS=BPsin600=x，BS=BPcos600=x。

∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x。

∴。

∴。

∴。

∴当x=1时，S的最小值为。

连接PG，设DE交AP于点O。

若∠BAD=150，

∵∠DAP=600，∴∠PAG=450。

∵△APD和△APE都是等边三角形，

∴AD=DP=AP=PE=EA。

∴四边形ADPE是菱形。

∴DO垂直平分AP。

∴GP=AG。

∴∠APG=∠PAG=450。

∴∠PGA=900。

设BG=t，

在Rt△BPG中，∠B=600，∴BP=2t，PG=。

∴AG=PG=。

∴，解得t=－1。

∴BP=2t=2－2。

∴当BP=2－2时，∠BAD=150。

猜想：

以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。

∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=300。

∵∠BAD=150，∴易得∠AGO=450，∠HAO=150，∠EAH=450。

设AO=a，则AD=AE=2a，OD=a。

∴DG=DO－GO=（－1）a。

又∵∠BAD=150，∠BAC=600，∠ADO=300，∴∠DHA=∠DAH=750。

∵DH=AD=2a，

∴GH=DH－DG=2a－（－1）a=（3－）a，

HE=2DO－DH=2a－2a=2（－1）a。

∵，

，

∴。

∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。

【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。

【分析】

（1）由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。

（2）由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。

应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得，

用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。

由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。

求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。

28.（2012福建三明14分）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

（1）当点P与点C重合时（如图①）．求证：

△BOG≌△POE；（4分）

（2）通过观察、测量、猜想：

=▲，并结合图②证明你的猜想；（5分）

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，

求的值．（用含α的式子表示）（5分）

【答案】解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°。

∵PF⊥BG，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO。

∴∠GBO=∠EPO。

∴△BOG≌△POE（AAS）。

（2）。

证明如下：

如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB。

∵∠OBC=∠OCB=450，∴∠NBP=∠NPB。

∴NB