届高三数学一轮复习教案+课时作业 第11节 函数与方程函数的应用.docx

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届高三数学一轮复习教案+课时作业第11节函数与方程函数的应用

第11节　函数与方程、函数的应用

最新考纲　1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.

知识梳理

1.函数的零点

（1）函数零点的概念

对于函数y＝f（x），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点.

（2）函数零点与方程根的关系

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点.

（3）零点存在性定理

如果函数y＝f（x）满足：

①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f（a）·f（b）<0；则函数y＝f（x）在（a，b）上存在零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根.

2.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象与零点的关系

Δ＝b2－4ac

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

（a>0）的图象

与x轴的交点

（x1，0），

（x2，0）

（x1，0）

无交点

零点个数

2

1

0

3.常见的几种函数模型

（1）一次函数模型：

y＝kx＋b（k≠0）.

（2）反比例函数模型：

y＝（k≠0）.

（3）二次函数模型：

y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）.

（4）指数函数模型：

y＝a·bx＋c（b>0，b≠1，a≠0）.

（5）对数函数模型：

y＝mlogax＋n（a>0，a≠1，m≠0）.

4.指数、对数、幂函数模型性质比较

　　函数

性质　　　

y＝ax

（a>1）

y＝logax

（a>1）

y＝xn

（n>0）

在（0，＋∞）

上的增减性

单调递增

单调递增

单调递增

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

图象的变化

随x的增大逐渐表现为与y轴平行

随x的增大逐渐表现为与x轴平行

随n值变化

而各有不同

值的比较

存在一个x0，当x>x0时，有logax

[常用结论与微点提醒]

1.若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f（x）＝0的实根.

2.函数零点存在定理是零点存在的一个充分不必要条件.

3.“对勾”函数模型f（x）＝x＋（a>0）在区间（－∞，－]和[，＋∞）上单调递增，在区间（－，0）和（0，）上单调递减.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）

（1）函数f（x）＝lgx的零点是（1，0）.（　　）

（2）图象连续的函数y＝f（x）（x∈D）在区间（a，b）⊆D内有零点，则f（a）·f（b）<0.（　　）

（3）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.（　　）

（4）f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x，当x∈（4，＋∞）时，恒有h（x）

解析　

（1）f（x）＝lgx的零点是1，故

（1）错.

（2）f（a）·f（b）＜0是连续函数y＝f（x）在（a，b）内有零点的充分不必要条件，故

（2）错.

（3）二分法求零点必须满足条件：

①在区间（a，b）上图象连续不间断，②f（a）f（b）<0.因此③错.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2.（必修1P88例1改编）函数f（x）＝ex＋3x的零点个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

解析　由f′（x）＝ex＋3＞0，所以f（x）在R上单调递增，又f（－1）＝－3<0，f（0）＝1>0，因此函数f（x）有且只有一个零点.

答案　B

3.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　）

A.y＝cosxB.y＝sinx

C.y＝lnxD.y＝x2＋1

解析　由函数是偶函数，排除选项B，C；又选项D中函数没有零点，排除D；y＝cosx为偶函数且有零点.

答案　A

4.（2017·北京卷）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（　　）

（参考数据：

lg3≈0.48）

A.1033B.1053C.1073D.1093

解析　M≈3361，N≈1080，≈，

则lg≈lg＝lg3361－lg1080＝361lg3－80≈93.

∴≈1093.

答案　D

5.函数f（x）＝ax＋1－2a在区间（－1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是________.

解析　因为函数f（x）＝ax＋1－2a在区间（－1，1）上是单调函数，所以若f（x）在区间（－1，1）上存在一个零点，则满足f（－1）f

（1）＜0，即（－3a＋1）·（1－a）<0，解得

答案　

考点一　函数零点的判断与求解（多维探究）

命题角度1　判断函数零点所在的区间

【例1－1】

（1）已知函数f（x）＝－log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）

A.（0，1）B.（1，2）C.（2，4）D.（4，＋∞）

（2）设函数y＝x3与y＝的图象的交点为（x0，y0），若x0∈（n，n＋1），n∈N，则x0所在的区间是________.

解析　

（1）因为f

（2）＝－log22＝2>0，f（4）＝－log24＝－<0，所以f（x）零点所在的区间为（2，4）.

（2）设f（x）＝x3－，则x0是函数f（x）的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝的图象如图所示.

因为f

（1）＝1－＝－1<0，f

（2）＝8－＝7>0，所以f

（1）f

（2）<0，所以x0∈（1，2）.

答案　

（1）C　

（2）（1，2）

规律方法　确定函数f（x）的零点所在区间的常用方法：

（1）利用函数零点的存在性定理：

首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）<0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点.

（2）数形结合法：

通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

命题角度2　确定函数零点个数

【例1－2】

（1）（一题多解）函数f（x）＝的零点个数为（　　）

A.3B.2C.1D.0

（2）（2018·天津河东一模）函数f（x）＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为（　　）

A.0B.1C.2D.3

解析　

（1）法一　　由f（x）＝0得或

解得x＝－2或x＝e.

因此函数f（x）共有2个零点.

法二　函数f（x）的图象如图所示，

由图象知函数f（x）共有2个零点.

（2）由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞），在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|（x>0），y2＝lnx（x>0）的图象，如图所示.

由图可知函数f（x）在定义域内的零点个数为2.

答案　

（1）B　

（2）C

规律方法　函数零点个数的判断方法：

（1）直接求零点，令f（x）＝0，有几个解就有几个零点；

（2）零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；

（3）利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.

【训练1】

（1）（2018·太原一模）函数f（x）＝lnx＋x－－2的零点所在的区间是（　　）

A.B.（1，2）C.（2，e）D.（e，3）

（2）函数f（x）＝4cos2cos－2sinx－|ln（x＋1）|的零点个数为________.

解析　

（1）易知f（x）在（0，＋∞）上是单调增函数，且f

（2）＝ln2－<0，f（e）＝＋e－－2>0.∴f

（2）f（e）<0，故f（x）的零点在区间（2，e）内.

（2）f（x）＝4cos2sinx－2sinx－|ln（x＋1）|＝2sinx·－|ln（x＋1）|＝sin2x－|ln（x＋1）|，令f（x）＝0，得sin2x＝|ln（x＋1）|.

在同一坐标系中作出两个函数y＝sin2x与函数y＝|ln（x＋1）|的大致图象如图所示.

观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f（x）有2个零点.

答案　

（1）C　

（2）2

考点二　函数零点的应用

【例2】

（1）（2018·贵阳一中检测）已知函数f（x）＝（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（　　）

A.（－∞，－1）B.（－∞，0）

C.（－1，0）D.[－1，0）

（2）（2016·天津卷）已知函数f（x）＝

（a>0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|＝2－恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是________.

解析　

（1）当x>0时，f（x）＝3x－1有一个零点x＝.

因此当x≤0时，f（x）＝ex＋a＝0只有一个实根，

∴a＝－ex（x≤0），则－1≤a<0.

（2）y＝x2＋（4a－3）x＋3a，x<0，对称轴为x＝－＝.

∵f（x）为R上的单调递减函数.

∴解得≤a≤.

又∵|f（x）|＝2－恰有两个不相等的实数解，

令y1＝2－，则其与y轴的交点为（0，2），函数|f（x）|的大致图象如图，要使y1＝2－与y＝|f（x）|的图象有2个交点，需3a<2，即a<.∴≤a<.

答案　

（1）D　

（2）

规律方法　已知函数有零点（方根有根）求参数值常用的方法：

（1）直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.

【训练2】

（1）若函数f（x）＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________.

（2）（2017·全国Ⅲ卷）已知函数f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1）有唯一零点，则a＝（　　）

A.－B.C.D.1

解析　

（1）当x>0时，由f（x）＝lnx＝0，得x＝1.

因为函数f（x）有两个不同的零点，

则当x≤0时，函数f（x）＝2x－a有一个零点，

令f（x）＝0得a＝2x，

因为0<2x≤20＝1，所以0

所以实数a的取值范围是（0，1].

（2）f（x）＝（x－1）2＋a（ex－1＋e1－x）－1，

令t＝x－1，则g（t）＝f（t＋1）＝t2＋a（et＋e－t）－1.

∵g（－t）＝（－t）2＋a（e－t＋et）－1＝g（t），

∴函数g（t）为偶函数.

∵f（x）有唯一零点，∴g（t）也有唯一零点.

又g（t）为偶函数，由偶函数的性质知g（0）＝0，

∴2a－1＝0，解得a＝.

答案　

（1）（0，1]　

（2）C

考点三　函数的实际应用（易错警示）

【例3】

（1）（2016·四川卷）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：

lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）（　　）

A.2018年B.2019年

C.2020年D.2021年

解析　设2015年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元，则y＝130（1＋12%）n.

依题意130（1＋12%）