等边三角形的性质习题精选附答案文档格式.docx

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A12B9C8D4

10．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、

n，则有（）

11．如图，AC=BC，AC⊥BC于C，AB=AD=B，DCD=CE=D．若EAB=，则BE=（）

121314

A1B2C3D4

12．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出

不同的直角三角形的个数是（）

A36B32C30D28

13．如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是

（）

A100B60C100D60

14．在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=B，则这个四边形中最大角的度数是（C）

A120°

B135°

C150°

D165°

二．填空题（共9小题）

15．（2007?

沈阳）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=12°

．以0D为顶点作

一个60°

角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为．

16．（2012?

南开区一模）如图，将边长为3+的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交

AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为．

17．如右图，以等边△OAB的高OC为边向逆时针方向作等边△OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作

等边△OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边△OGH，⋯，按此方法操作，最终得到△OM，此时N

ON在OA上．若AB=1，则ON=．

18．已知正△ABC的面积是1，P是△ABC内一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共

有个；

△PAB的面积是．

19．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边

长为．

20．如图所示，直线AB、CD相交于点O．若OM=ON=M，那么∠NAPQ+∠CQP=．

21．在正△ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与△BPC的面积相等，

那么∠BPE=．

22

22．如图，平行于BC的线段MN把等边△ABC分成一个三角形和一个四边形，已知△AMN和四边形MBCN的周长相

等，则BC与MN的长度之比是．

23．正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为．

三．解答题（共7小题）

24．阅读材料：

如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则

S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：

，∴r1+r2=h（定值）．

（1）类比与推理

如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一

点”，即：

已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h

（定值）．

（2）理解与应用

△ABC中，∠C=90°

，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？

（填

“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=．若不存在，请说明理由．

25．小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分线并且相交于点O，

然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：

“E、F就是BC边的三等分点．”你同意他的说法吗？

请说明你的理由．

26．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，

（1）请说明DB=DE的理由．

（2）若等边△ABC的边长为4cm，求△BDE的面积．

27．如图，设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC∠=COA=12°

，0P为任意一点（不是O）．求证：

PA+PB+P>

COA+OB+O．C

28．如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数．

29．阅读下列材料，解答相应问题：

已知△ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h1，到AC的距离PF=h2，

到BC的距离PH=h3．

如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：

h1=h，h2=h，因此得到：

h1+h2=h．

小明同学大胆猜想提出问题：

如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h1+h2=h还成立吗？

通过证明，他

得到了肯定的答案．证明如下：

证明：

如图3，连接AP．

∴S△ABC=S△ABP+S△APC．

设等边三角形的边长AB=BC=CA=．a

∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，

∴BC?

AD=AB?

PE+AC?

PF

∴a?

h=a?

h1+a?

h2．

∴h1+h2=h．

（1）进一步猜想：

当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？

若成立，请你证明；

若不成立，请猜想h1，h2与

h之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）

（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．

继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？

请在答题卡上借助图5画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结

论，不必证明．

30．如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的

位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？

并求出这个最值．

参考答案与试题解析

A．30B．40C．50D．60

考点：

等边三角形的性质．

专题：

压轴题；

规律型．

分析：

因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，

则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×

2，x+2×

2，x+3×

2．所以六边形周长是2x+2（x+2）

+2（x+2×

2）+（x+3×

2）=7x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求

得周长．

解答：

解：

设AB=x，

∴等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×

2，

∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×

2）=7x+18，

∵AF=2AB，即x+6=2x，

∴x=6cm，

∴周长为7x+18=60cm．

故选D

点评：

结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系．

A．B．C．D．

等边三角形的性质；

对顶角、邻补角；

三角形内角和定理；

等腰三角形的性质．

证明题．

根据等腰三角形的性质推出∠B=∠C，根据三角形的内角和定理求出∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，根据等边三角

形的性质和邻补角定义求出∠2﹣∠1=∠β﹣∠α，代入上式即可求出答案．

解：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠2+∠γ=∠1+∠α，

∴∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ，

∵等边△DEF，∴∠5=∠3=60°

，

∴∠2+∠α=∠1+∠β=120°

∴∠2﹣∠1=∠β﹣∠α，

∴∠α﹣∠γ=∠β﹣∠α，

∴2∠α=∠β+∠γ，

∴α=，

故选B．

本题主要考查对三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义等知识点的

理解和掌握，能推出∠2﹣∠1=∠α﹣∠γ和∠2﹣∠1=∠β﹣∠α是解此题的关键．

3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF

A．15°

B．°

C．30°

D．45°

轴对称-最短路线问题；

等边三角形的性质．

过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据

等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．

过E作EM∥BC，交AD于N，

∵AC=4，AE=2，

∴EC=2=A，E

∴AM=BM=，2

∴AM=A，E

∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，

∴AD⊥BC，

∵EM∥BC，

∴AD⊥EM，

∵AM=A，E

∴E和M关于AD对称，

连接CM交AD于F，连接EF，

则此时EF+CF的值最小，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=6°

，0AC=BC，

∵AM=B，M

∴∠ECF=∠ACB=3°

，0

故选C．

本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知

识点的应用．

4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC

的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）

A．Ll=L2B．L1>

L2C．L2>

L1D．无法确定

三角形三边关系．

计算题．

等边三角形各内角为60°

，故∠B=∠C=60°

，即可求得BP=2BD，CP=2CE，∴BD+CE=B，即可求得CL1=L2．

∵等边三角形各内角为60°

，∴∠B=∠C=60°

∵∠BPD=∠CPE=3°

∴在Rt△BDP和Rt△CEP中，

∴BP=2BD，CP=2CE，

∴BD+CE=B，C

∴AD+AE=AB+A﹣CBC=BC，

∴BD+CE+BC=，BC

L1=BC+DE，

L2=BC+DE，

即得L1=L2，

故选A．

本题考查了直角三角形中特殊角的正弦函数值，考查了等边三角形各边相等的性质，本题中求证L1=BC+DE，

L2=BC+DE是解题的关键．

5．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的

长是（）

A．B．C．20+10D．20﹣10

计算题．

根据ED⊥BC可得∠CED=3°

，0即可求得EC与ED的关系，设DE=x，则AE=x，根据DE即可计算CE，根据AE+CE=5

即可计算x的值，根据CE=AC﹣AE即可求CE的值．

∵ED⊥BC，∠C=60°

∴∠CED=3°

设DE=x，则AE=x，

且CE=x，

又∵AE+CE=，5

∴x+x=5，

解得x=10﹣15，

∴CE=5﹣（10﹣15）=20﹣10．

故选D．

本题考查了特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60°

的性质，本题中根据AE、CE求x的值是解题的关键．

6．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右

边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）

A．阴影部分面积B．空白部分面积C．一样大D．不确定

等边三角形的性质．

根据等边三角形的性质及三角形的中位线定理解答即可．

如图，∵D、E、F分别为三角形三边的中点，△ABC为等边三角形，

∴AD=BD=BF=CF=AE=EC=DE=E，F=DF

∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED，

∴阴影部分面积与空白部分面积一样大．

此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角形的中位线定理及等边三角形的性质．

如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则△ABC

的面积等于（）

A．190B．192C．194D．196

根据三角形面积的不同计算方法可以求得PQ+PS+PR=A，D根据AD的值即可求得BC的值，根据BC、AD的值即

可计算等边△ABC的面积．

连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，

等边三角形面积S=BC?

（PQ+PR+P）S=BC?

AD

故PQ+PR+PS=A，D

∴AD=6+8+10=2，4

∵∠ABC=60°

∴AB=24×

=16，

∴△ABC的面积S=BC?

=×

24×

16=192，

故选B．

本题考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形高线与边的关系，本题中求证PQ+PR+PS=A是解题的D

关键．

8．在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取

的点至少应有（）

A．4个B．5个C．6个D．7个

计算题；

开放型．

把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，则可把三角形分成分成n2个边长为的小三角形，则比三角形

的个数多1可以保证至少有两个点落在同一小三角形内，即可解题．

把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，

2

可以把三角形分成n个边长为的小三角形，

n2+1个点可以保证至少有两个点落在同一个小三角形内，

所以那两个点的距离是不超过的，

∴取得点至少为n2+1，

当根据题意n=2，

∴n+1=5．

本题考查了等边三角形各边长相等的性质，学生探究发现规律的能力，本题中构建n2个三角形是解题的关

键．

9．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满

足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）

A．12B．9C．8D．4

根据等边三角形的面积即可计算（h3+h2﹣h1）是等边三角形ABC的高，根据等边三角形的高即可求得BC的值，

即可求得△ABC的面积，即可解题．

设等边△ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，

则S△PAB+S△PAC﹣S△PBC=S△ABC，

从而ah3+ah2﹣ah1=a，

即a（h3+h2﹣h1）=a，

∵（h3+h2﹣h1）=6，

∴a=4，

∴S△ABC=a=12．

本题考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长的关系，本题中根据等边三角形的高计算等边

三角形的面积是解题的关键．

10．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，

则有（）

设BM=x，CN=y，用x、y分别表示m、n的值，化简m、n的表达式，可得四边形AMPN，△ABC的周长的比值，

可以解题．

设BM=x，CN=y

则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=y

AM+AN=2B﹣（CBM+C）N=3（x+y），

故=

=≈．

本题考查了等边三角形各内角为60°

的性质，等边三角形周长的计算，本题中用x、y表示m、n的值是解题

的关键．

A．1B．2C．3D．4

根据等边三角形边长相等的性质，可以证明△ACD≌△BED，故AC=BE，已知AB，根据勾股定理即可求AC

的长，即可解题．

∵∠ADC+∠CDB=6°

，∠0CDB+∠BDE=6°

∴∠ADC=∠BDE，

在△ACD和△BED中，

∴△ACD≌△BED，

∴AC=BE，

∵AC=BC，AB=，

∴AC=BC=，1

∴BE=1．

本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，本题中

求证△ACD≌△BED是解题的关键．

12．如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不

同的直角三角形的个数是（）

A．36B．32C．30D．28

证明题．

根据等边三角形的“三线合一”的性质来找直角三角形．

①∵DE，EF，FD为等边△ABC三条中位线，

∴AB=AC=B，C

∴EFAB，EDAC，

∴四边形CEDF是菱形，

∴EF⊥CD，

∴在菱形CEDF中有6个不同的直角三角形：

Rt△CEG、Rt△CFG、Rt△DGE、Rt△DFG、Rt△EOG、Rt△FOG；

同理，在菱形ADEF、菱形BEFD中各有6个不同的直角三角形；

②∵D为等边三角形ABC三边中点，

∴CD⊥AB，

∴△ADC、△BDC、AOD、△BOD是直角三角形；

同理，以BF、AE为直角边的三角形各有4个；

综上所述，图中能数出的直角三角形由6×

3+4×

3=30（个）；

本题考查了等边三角形的性质．解题时，充分利用了三角形中位线定理、等边三角形的“三线合一”的性质．

A．100B．60C．100D．60

根据三角形面积公式和中位线定理求解．

设小三角形的边长为a．

∴小三角形的面积为a2sin60°

=25，解得a=10

∵正三角形的三条中位线构成一个小的正三角形

∴大三角形的边长为小三角形边长的2倍，为2a

∴大的正三角形的周长为2a×

3=6a=6×

10=60．

考查了学生对三角形面积公式和中位线定理的掌握和理解．

A．120°

B．135°

C．150°

D．165°

等腰三角形的性质；

设∠CD