直线平面垂直关系的判定与性质.docx

直线平面垂直关系的判定与性质.docx

《直线平面垂直关系的判定与性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线平面垂直关系的判定与性质.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

直线平面垂直关系的判定与性质

第5节直线、平面垂直关系的判定与性质

一、直线与平面垂直

1.直线与平面垂直的定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直.

2.直线与平面垂直的判定定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一条直线与一个平面内的

两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α

3.直线与平面垂直的性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b

练习

1.设l、m、n均为直线,其中m、n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（　A　）

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

解析:

l⊥α⇒l⊥m,l⊥n,反之因为m、n不一定相交,

故l⊥m且l⊥n不一定推出l⊥α.

故选A.

2.若m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则以下命题正确的是（　B　）

（A）若m⊥α,n⊥α,则m⊥n

（B）若m∥n,m⊥α,则n⊥α

（C）若m⊥β,α⊥β,则m⊥α

（D）若α∩β=m,m⊥n,则n⊥α

解析:

由m⊥α,n⊥α可得m∥n,故A错;

B.平行线中一条垂直平面,另一条必垂直平面,所以正确;

C中,由m⊥β,α⊥β,则有m∥α或m⊂α,故C错.

D选项n与α的关系不确定,

故选B.

3.命题“如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直”是真命题吗?

其逆命题呢?

（不是、是）

二、直线与平面所成的角

1.定义:

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.

如图,∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角.

2.线面角θ的范围:

质疑探究:

（1）直线与平面所成的角为α,与该平面内的直线所成的角为β,则α与β的关系如何?

（2）直线与平面平行（垂直）时所成角等于多少?

提示:

（1）α≤β.

（2）0.

三、二面角、平面与平面垂直

1.二面角

（1）二面角的定义:

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面.

如图,记作:

二面角αlβ或二面角αABβ或二面角PABQ.

（2）二面角的平面角

在二面角αlβ的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.

2.平面与平面垂直

（1）定义:

一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

（2）平面与平面垂直的判定定理.

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直

⇒α⊥β

（3）平面与平面垂直的性质定理.

文字语言

图形语言

符号语言

性质定理

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

⇒l⊥α

练习

1.如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,则图中互相垂直的平面共有（　B　）

（A）4对（B）3对（C）2对（D）1对

解析:

∵PA⊥平面ABC,

∴平面PAB⊥平面ABC,

平面PAC⊥平面ABC,

又AB是☉O的直径,

∴BC⊥AC,

又PA⊥BC,PA∩AC=A,

∴BC⊥平面PAC,

故平面PBC⊥平面PAC,共3对,

故选B.

2.如果一条直线和一个平面垂直,那么经过这条直线的所有平面都和这个平面垂直吗?

（垂直）

3.如果两个平面垂直,那么其中一个平面内的任何一条直线都和另一个平面垂直吗?

（不一定）

4.如果两个平面都和第三个平面垂直,那么这两个平面平行吗?

（不一定,可能平行也可能相交）

一．与垂直相关命题的判定

【例1】m、n表示两条不同的直线,α、β、γ表示三个不同的平面.下列命题中,

①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③若m⊥α,n⊥α,则m⊥n;④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则

m⊥γ.

正确的命题是（　　）

（A）①③（B）②③

（C）①④（D）②④

解析:

①显然正确;对于②,若α⊥γ,β⊥γ,则α与β也可能相交,故②错误;对于③,若m⊥α,n⊥α,则m∥n,故③错误;④显然正确.故选C.

变式训练11:

给出下列命题:

（1）在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行;

（2）设l,m是不同的直线,α是一个平面,若l⊥α,l∥m,则m⊥α;

（3）已知α,β表示两个不同平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件;

（4）a,b是两条异面直线,P为空间一点,过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一个平行.

其中正确命题的个数是（　　）

（A）0（B）1（C）2（D）3

解析:

（1）错,垂直于同一平面的两个平面可能平行,也可能相交.

（2）正确.（3）“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件,命题错误.（4）当异面直线a,b垂直时可以作出满足要求的平面;当异面直线a、b不垂直时,不能作出满足要求的平面,可用反证法思想说明,即假设存在满足要求的平面,则必有a⊥b,所以这时不存在,命题错误.故选B.

二．直线与平面垂直的判定及其性质

【例2】如图所示,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.

求证:

（1）BC⊥平面PAB;

（2）AE⊥平面PBC;

（3）PC⊥EF.

证明:

（1）∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,

∴PA⊥BC.

∵AB⊥BC,AB∩PA=A,

∴BC⊥平面PAB.

（2）∵BC⊥平面PAB,AE⊂平面PAB,

∴BC⊥AE.

∵PB⊥AE,BC∩PB=B,

∴AE⊥平面PBC.

（3）∵AE⊥平面PBC,PC⊂平面PBC,

∴AE⊥PC,

∵AF⊥PC,AE∩AF=A,

∴PC⊥平面AEF.

而EF⊂平面AEF,

∴PC⊥EF.

变式训练21:

如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分别为所在边的中点,O为面对角线A1C1的中点.求证:

（1）平面MNP∥平面A1C1B;

（2）MO⊥平面A1C1B.

证明:

（1）连接D1C,

易知MN为△DD1C的中位线,

所以MN∥D1C.

又因为D1C∥A1B,

所以MN∥A1B.

同理MP∥C1B.

而MN与MP相交,MN、MP⊂平面MNP,

A1B、BC1⊂平面A1C1B.

所以平面MNP∥平面A1C1B.

（2）法一　连接C1M和A1M,设正方体的棱长为a,

因为正方体ABCDA1B1C1D1,

所以C1M=A1M,

又因为O为A1C1的中点,

所以A1C1⊥MO.

连接BO和BM,

在三角形BMO中,

经计算知OB=a,MO=a,BM=a,

所以OB2+MO2=MB2,

即BO⊥MO.

而A1C1,BO⊂平面A1C1B,A1C1∩BO=O,

所以MO⊥平面A1C1B.

法二　连接AB1,B1D,B1D1,

则O是B1D1的中点,

因为AD⊥平面ABB1A1,

A1B⊂平面ABB1A1,

所以AD⊥A1B.

又A1B⊥AB1,AD和AB1是平面AB1D内两条相交直线,

所以A1B⊥平面AB1D,

又B1D⊂平面AB1D,

所以A1B⊥B1D.

同理,BC1⊥B1D.

又A1B和BC1是平面A1BC1内两条相交直线,

所以B1D⊥平面A1BC1.

又OM是△D1B1D的中位线,

所以OM∥B1D.

所以OM⊥平面A1BC1.

三．平面与平面垂直的判定及其性质

【例3】（高考新课标全国卷）如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直底面,

∠ACB=90°,AC=BC=AA1,

D是棱AA1的中点.

（1）证明:

平面BDC1⊥平面BDC;

（2）平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

（1）证明:

由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,

所以BC⊥平面ACC1A1,

又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.

由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,

所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.

又DC∩BC=C,

所以DC1⊥平面BDC,

又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.

（2）解:

设棱锥BDACC1的体积为V1,AC=1,

由题意得V1=××1×1=.

又三棱柱ABCA1B1C1的体积V=1,

变式训练31:

在如图所示的多面体中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,EC⊥AC,EF∥AC,AB=,EF=EC=1.

所以（V-V1）∶V1=1∶1.

故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积

（1）求证:

EC⊥BD;

（2）求证:

平面BEF⊥平面DEF.

证明:

（1）∵平面ACEF⊥平面ABCD,EC⊥AC,

平面ACEF∩平面ABCD=AC,

∴EC⊥平面ABCD.

∵BD⊂平面ABCD,

∴EC⊥BD.

（2）设BD与AC交于点O,连接FO.

正方形ABCD的边长为,

∴AC=BD=2.

在直角梯形ACEF中,

XX文库-让每个人平等地提升自我EF=EC=1,O为AC中点,

易得FO∥EC,且FO=1.

易求得DF=BF=,DE=BE=,

由勾股定理知DF⊥EF,

由BF=DF=,BD=2可知DF⊥BF.

∵EF∩BF=F,

∴DF⊥平面BEF.

∴平面BEF⊥平面DEF.

【例题】如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是CD、A1D1的中点.

（1）求证:

AB1⊥BF;

（2）求证:

AE⊥BF;

（3）棱CC1上是否存在点P,使BF⊥平面AEP?

若存在,确定点P的位置,若不存在,说明理由.

（1）证明:

连接A1B,

则AB1⊥A1B,

又AB1⊥A1F,

且A1B∩A1F=A1,

∴AB1⊥平面A1BF,

而BF⊂平面A1BF,

∴AB1⊥BF.

（2）证明:

取AD中点G,

连接FG、BG,

则FG⊥AE,

∵易知△BAG≌△ADE,

∴∠ABG=∠DAE.

∴AE⊥BG.

又∵BG∩FG=G,

∴AE⊥平面BFG.

而BF⊂平面BFG,

∴AE⊥BF.

（3）解:

存在.取CC1中点P,即为所求.

连接EP、AP、C1D,

∵EP∥C1D,C1D∥AB1,

∴EP∥AB1.

由

（1）知AB1⊥BF,

∴BF⊥EP.

又由

（2）知AE⊥BF,

且AE∩EP=E,

∴BF⊥平面AEP.

1..（高考福建卷）如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB.

（1）求证:

CE⊥平面PAD;

（2）若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=45°,求四棱锥PABCD的体积.

（1）证明:

因为PA⊥平面ABCD,CE⊂平面ABCD,

所以PA⊥CE.

因为AB⊥AD,CE∥AB,

所以CE⊥AD.

又PA∩AD=A,所以CE⊥平面PAD.

（2）由

（1）可知CE⊥AD.

在Rt△ECD中,DE=CD·cos45°=1,

CE=CD·sin45°=1.

又因为AB=CE=1,AB∥CE,

所以四边形ABCE为矩形.

所以S四边形ABCD=S矩形ABCE+S△ECD

=AB·AE+CE·DE

=1×2+×1×1=,又PA⊥平面ABCD,PA=1,

所以

=S四边形ABCD·PA=××1=.

练习

1．若m、n是两条不同的直线，α、