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（4）
式（4）本是用来判断材料稳定性的,而并非是普遍的客观规律。
然而有人错误地认为德鲁克公设可依据热力学导出,即应力循环中弹性功为零,塑性功必为非负,因而式（4）成立。
按功的定义,应力循环中,外载所作的真实功应为
（5）
式（5）说明,应力循环中只存在塑性功,并按热力学定律必为非负。
由式（5）还可看出,真实功与起点应力
无关。
由此也说明附加应力功并非真实功,它只能理解为应力循环中外载所作的真实功与起点应力
所作的虚功之差（见下列图）。
（3）不考虑应力主轴旋转假设。
经典塑性力学中假设应变主轴与应力主轴始终重合,即不考虑应力主轴旋转在这种情况下,屈服方程可以写成三个应力量不变的函数。
只有在应力主轴旋转时，应力不变量不变，因此不会产生塑性变形。
“现代塑性力学〞的开展概况
塑性力学作为固体力学的一个重要分支，其开展的历史虽然可以追溯到18世纪的70年代，但真得到充分开展并日臻成熟的是在20世纪的40年代和50年代初。
特别是理想塑性理论，这时已到达成熟并开场在工程实践中得到应用的阶段。
塑性变形现象发现较早，然而对它进展力学研究，是从1773年库仑Coulomb土壤压力理论，提出土的屈服条件开场的。
H．Tresca于1864年对金属材料提出了最大剪应力屈服条件。
随后圣维南于1870年提出在平面情况下理想刚塑性的应力-应变关系，他假设最大剪应力方向和最大剪应变率方向一致，并解出柱体中发生局部塑性变形的扭转和弯曲问题以及厚壁筒受压的问题。
Levy于1871年将塑性应力-应变关系推广到三维情况。
1900年格斯特通过薄管的联合拉伸和压试验，初步证实最大剪应力屈服条件。
此后20年进展了许多类似实验，提出多种屈服条件，其中最有意义的是Mises于1913年从数学简化的要求出发提出的屈服条件（后称米泽斯条件）。
米泽斯还独立地提出和Levy一致的塑性应力-应变关系（后称为Levy-Mises本构关系）。
泰勒于1913年，Lode于1926年为探索应力-应变关系所作的实验都证明，莱维-米泽斯本构关系是真实情况的一级近似。
为更好地拟合实验结果，罗伊斯于1930年在普朗特的启示下，提出包括弹性应变局部的三维塑性应力-应变关系。
至此，塑性增量理论初步建立。
但当时增量理论用在解具体问题方面还有不少困难。
早在1924年亨奇就提出了塑性全量理论，由于便于应用，曾被纳戴等人，特别是伊柳辛等联学者用来解决大量实际问题。
虽然塑性全量理论在理论上不适用于复杂的应力变化历程，但是计算结果却与板的失稳实验结果很接近。
为此在1950年前后展开了塑性增量理论和塑性全量理论的辩论，促使从更根本的理论根底上对两种理论进展探讨。
另外，在强化规律的研究方面，除等向强化模型外，普拉格又提出随动强化等模型。
电子计算机的开展，为塑性力学的研究和应用开展了广阔的前景，特别是促进了有限单元法的应用。
1960年，Argyris提出初始荷载法可作为有限单元法解弹塑性问题的根底。
自此理想塑性的塑性力学已经到达定型的阶段，而具有加工硬化的塑性力学至今仍是在开展中研究课题。
20世纪60年代以后，有限元法的开展，提供恰当的本构关系已成为解决问题的关键。
所以70年代关于塑性本构关系的研究十分活泼，主要从宏观与微观的结合，从不可逆过程热力学以及从理性力学等方面进展研究。
在实验分析方面，也开场运用光塑性法、云纹法、散斑干预法等能测量大变形的手段。
另外，由于出现岩石类材料的塑性力学问题，所以塑性体积应变以及材料的各向异性、非均匀性、弹塑性耦合、应变弱化的非稳定材料等问题正在研究之中。
塑性力学的主要容
从学科建立过程来看，塑性力学是以实验为根底，从实验中找出受力物体超出弹性极限后的变形规律，据以提出合理的假设和简化模型，确定应力超过弹性极限后材料的本构关系，从而建立塑性力学的根本方程。
解出这些方程，便可得到不同塑性状态下物体中的应力和应变。
塑性力学的根本实验主要分两类：
单向拉伸实验和静水压力实验。
通过单向拉伸实验可以获得加载和卸载时的应力-应变曲线以及弹性极限和屈服极限的值；
在塑性状态下，应力和应变之间的关系是非线性的且没有单值对应关系。
由静水压力实验得出，静水压力只能引起金属材料的弹性变形且对材料的屈服极限影响很小。
塑性力学的根本假设
为简化计算，根据实验结果，塑性力学采用的根本假设有：
①材料是各向同性和连续的。
②平均法向应力不影响材料的屈服，它只与材料的体积应变有关，且体积应变是弹性的，即静水压力状态不影响塑性变形而只产生弹性的体积变化。
这个假定主要根据是著名的Brid-gman试验。
③材料的弹性性质不受塑性变形的影响。
这些假设一般适用于金属材料；
对于岩土材料那么应考虑平均法向应力对屈服的影响。
塑性力学的简化模型
塑性力学的应力-应变曲线通常有5种简化模型：
①理想弹塑性模型，用于低碳钢或强化性质不明显的材料。
②线性强化弹塑性模型，用于有显著强化性质的材料。
③理想刚塑性模型，用于弹性应变比塑性应变小得多且强化性质不明显的材料。
④线性强化刚塑性模型，用于弹性应变比塑性应变小得多且强化性质明显的材料。
⑤幂强化模型，为简化计算中的解析式，可将应力-应变关系的解析式写为σ=σy〔ε/εy〕n，式中σy为屈服应力，εy为与σy相对应的应变，n为材料常数。
屈服条件和本构关系在复杂应力状态下，判断物体屈服状态的准那么称为屈服条件。
屈服条件是各应力分量组合应满足的条件。
对于金属材料，最常用的屈服条件为最大剪应力屈服条件〔又称特雷斯卡屈服条件〕和弹性形变比能屈服条件〔又称米泽斯屈服条件〕。
对于岩土材料那么常用特雷斯卡屈服条件、德鲁克-普拉格屈服条件和莫尔-库伦屈服条件。
对于强化或软化材料，屈服条件将随塑性变形的增长而变化，改变后的屈服条件称为后继屈服条件。
当主应力的大小次序时，使用特雷斯卡屈服条件较为方便；
假设不知道主应力的大小次序，那么使用米泽斯屈服条件较为方便。
对于韧性较好的材料，米泽斯屈服条件与试验数据符合较好。
由于塑性变形与变形历史有关，因此反映塑性应力-应变关系的本构关系用应变增量形式给出比拟方便。
用应变增量形式表示塑性本构关系的理论称为塑性增量理论。
增量理论的本构关系在理论上是合理的，但应用比拟麻烦，因为要积分整个变形路径才能得到最后结果。
因此，又开展出塑性全量理论，即采用全量应力和全量应变表示塑性本构关系的理论。
在比例变形的条件下，可通过积分增量理论的本构关系获得全量理论的本构关系。
当偏离比例变形条件不多时，全量理论的计算结果和实险结果比拟接近。
求解塑性力学边值问题时，使用的平衡方程、几何方程〔即应变和位移的关系〕以及力和位移的边界条件都和弹性力学中使用的一样，只是物理关系不再用弹性力学中的胡克定律，而采用塑性增量或全量的本构关系。
经典弹塑性理论
在经典弹塑性理论中，应变增量可以被分为弹性局部和塑性局部：
弹性局部可按下式确定
其中，
塑性局部根据Drucker公设并关联流动法那么，可得
其中f是屈服条件
二、什么叫初始与后继屈服？
写出常用的各向同性和各向异性材料的初始屈服准那么的表达式，并说明其物理意义。
〔20分〕
初始屈服：
是指在外力的作用下，质点由弹性变形状态进入塑性变形状态开场产生塑性变形的屈服。
后继屈服：
材料进入塑性阶段后卸载，然后重新加载至继续发生新的塑性变形时材料的再度屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。
对于绝大多数金属材料而言，在实际变形过程中，因为存在加工硬化，后继屈服的屈服强度比初始屈服高。
对于各向同性材料，不管采用什么样的变形方式，在变形体某点发生屈服的条件仅是各应力分量的函数，f与应力的方向无关，故f和坐标轴的选择无关的应力不变量来表示，即
C是与材料性质有关的常数，可通过简单实验测得。
常用各项同性屈服准那么有：
Tresca屈服准那么与Mises屈服准那么。
Tresca屈服准那么：
，K是材料的剪切屈服应力。
假设那么
当以材料拉伸实验来确定剪切屈服应力时，有。
假设不知道主应力顺序，那么Tresca条件可写成
Tresca屈服准那么表示的物理意义是：
无论材料处于什么样的应力状态，只要最大剪应力到达某一极限值，材料就进入塑性变形状态。
Mises屈服准那么：
Mises屈服准那么表示的物理意义是：
无论材料处于什么样的应力状态，只要物体的等效应力到达某一定值时，材料就进入塑性变形状态。
对于各向异性材料，其各方向的材料特性不同，那么受力方向起决定性作用，其初始屈服准那么的表达式：
f〔σij,εij,t,T,S〕=0，
其中σij为应力量，εij为应变量，t为时间，T为变形温度，
S为变形材料的组织特性。
常用的两种各向异性屈服准那么：
三、简述塑性失稳的种类及各自的特点。
塑性失稳是指当材料所受载荷到达某一临界值时，即使载荷下降，塑性变形还会继续的现象。
即出现〔剪切带、颈缩、皱曲、墩粗等塑性变形〕现象的失效方式，可发生于墩粗、深冲、锻造和拉伸、压缩、过载等情况。
失稳主要分为压缩失稳和拉伸失稳两种。
其中，压缩失稳的主要影响因素是刚度参数，在塑性成形中表现为起皱和弯曲；
拉伸失稳的主要影响因素是强度参数，它主要表现为明显的非均匀伸长变形。
在拉伸过程中，颈缩和剪的形成是最主要的现象，而其本征原因就是缺少加工硬化能力，由于晶粒较小无法存储和容纳更多的位错，从而使得失稳较早的发生。
压缩失稳
薄板在压缩变形过程中，失去了保持其原来平面形状的能力而产生弯曲隆起的现象薄板成形中，压缩失稳的表现形式是在板料局部出现皱折，称为起皱。
起皱是一种成形缺陷，板料局部起皱会大大增加变形抗力，往往导致板料拉伸变形区域较早发生拉伸失稳，因此，压缩失稳也是阻碍薄板成形顺利进展的障碍之一。
薄板成形中研究压缩失稳的机理与规律的主要目的就是确定防止或消除板料起皱的方法和手段。
与拉伸失稳完全限于塑性变形围不同，压缩失稳在弹性变形和塑性变形中都会发生。
一般来说，成形后期的塑性压缩失稳所导致的起皱，波幅不大，比拟容易消除；
而成形早期的弹性压缩失稳导致的起皱，往往会形成后续变形过程中难以消除的死皱。
但薄板成形中，经常出现的是塑性压缩失稳。
压缩失稳是刚度问题，其主要影响因素是材料的刚度参数，如弹性模数、应变强化模数等。
成形板料的几何参数、变形方式及变形条件等对压缩失稳的发生、开展也有很大影响。
但凡有助于增强成形板料刚度的手段和方法，都能提高板料抵抗压缩失稳的能力。
压缩失稳的根本原因是压应力的存在和弯曲（有的伴随着扭转）的出现。
压缩失稳的特征，以无限制的继续弯曲（或加上扭转）来说明。
确定压缩失稳产生条件的分析方法是能量法。
（见变形力学问题的能量解法）评估板料抵抗压缩失稳能力的方法是吉田起皱试验。
拉伸失稳
在以拉伸为主要变形方式的薄板成形过程中，薄板丧失了稳定变形的能力而出现过度变薄（颈缩）或断裂的现象。
薄板的拉伸失稳具有两个不同的开展阶段：
分散性失稳和集中性失稳。
分散性失稳指板料的塑性变形到达一定程度后，变形开场集中在材料某些性能较弱的部位，载荷开场随变形程度增大而减小，由于加工硬化，这一性能较弱部位在一个较宽的变形区域交替转移，形成区域性颈缩，此时材料处于一种亚稳定的塑性流动状态。
集中性失稳指材料的塑性变形集中在变形区的某一狭窄条带，此时加工硬化缺乏以使材料性能较弱部位发生转移，形成集中性颈缩。
材料出现集中性颈缩之后很快就会断裂，故集中性颈缩外表呈粗糙颗粒状，肉眼可观察到，但分散性颈缩难以用肉眼观察到。
分散性失稳用作板料拉伸变形能否稳定进展的判断标准。
集中性失稳用作确定板料塑性拉伸变形发生断裂前极限变形程度的标准。
薄板成形以材料不发生拉伸失稳为前提。
材料部组织状况、力学性质、变形方式、变形条件等都对板料拉伸失稳的发生和开展产生影响，研究板料拉伸失稳问题的有效手段是将宏观、细观、微观研究相结合。
四、简述金属塑性成形问题主要求解方法的根本容及其应用围。
塑性成形理论是从宏观上计算分析材料在不同成形工步下的应力应变和温度分布，以及它们对各种工艺参数的影响关系，从而优化工艺过程，使生产出的锻件质量好，效益高。
塑性成形问题主要求解方法：
〔1〕主应力法〔又称初等解析法〕主应力法是以假设基元体上作用着均匀分布的主应力为根底，将应力平衡微分方程和屈服方程联立求解。
根本容如下：
1根据实际变形区的情况，将问题简化为轴对称问题或平面问题。
2切取基元体。
假定工具与金属接触面上的边界条件为：
正应力为主应力，切应力服从库伦摩擦条件
=μσn或常摩擦条件
=μS。
3忽略各坐标平面上的切应力和摩擦切应力对塑性屈服条件的影响，列出基元体的塑性条件，然后与简化的平衡微分方程联立求解，利用边界条件确定积分常数，得出接触面上的应力分布，进而求得变形力。
应用围：
可确定可能的最大变形量、最小可轧厚度、镦粗或轧制时的中性面位置等。
但是，由于上述根本假设的限制，采用主应力法无法分析变形体的应力分布。
〔2〕滑移线法它是针对具体的工艺和变形过程，建立对应的滑移线场，然后利用滑移线的某些特性来求解。
其实质是根据平面塑性应变状态的特点，可知其应力分量完全可用σm和K来表示。
而K为材料常数，故只要找到沿滑移线上的σm的变化规律，即可求得整个变形体的应力分布。
根本容：
设O-XY平面为塑性流动平面，那么该平面上任一点的最大切应力都位于该平面上。
在O-XY平面将无限接近的最大剪应力连接起来，可得二族正交曲线，曲线上任一点的切线方向即为该点处的最大切应力的方向。
这二族正交的曲线族称为滑移线，它们分布在塑性变形区，形成滑移线场。
常见滑移线的类型：
〔1〕二族正交直线，为均匀应力场。
〔2〕一组滑移线为直线，另一族为与直线正交的曲线，为简单应力场。
主要应用在求解刚塑性体的平面应变问题。
可用来计算变形力和变形体没的应力分布、分析变形、确定毛胚的合理外形与尺寸，甚至是扩展到模具型腔的最正确工作轮廓曲线的设计、金属流动规律的预测和塑性加工质量分析等。
可以确定接触面上的应力分布和变形力，而且可以确定塑性变形区部的应力分布和速度分布。
但是，滑移线场理论仅适用于处理理想刚塑性材料的平面应变问题。
不过目前该理论的应用围已逐渐扩大了。
例如在一定条件下，也可以将滑移线场理论推广到平面应力和轴对称问题以及硬化材料。
但是对于主应力为异号的平面应力问题，简单的轴对称问题以及有硬化的材料也可以作推广应用。
〔3〕上限法上限法是一种能比拟全面地求解金属塑性成形问题的近似方法，由它所确定的载荷是真实载荷的上界。
上限法的理论根底是虚功率原理。
塑性变形时，刚性块之间互相滑动，因而在边界产生速度连续。
这时，整个变形过程所消耗的功率为:
刚性块变形所消耗的功率、滑动面上所消耗的功率和工具与变形体之间的摩擦面上所消耗的功率之和。
上限法的根本方程为：
应用于工程之中保证塑性成形过程的顺利进展、选择设备和设计模具领域。
用上限法求解金属塑性成形问题，关键是要找出一个运动学容许的速度场。
运动学容许的速度场有两种模式：
1〕离散的速度场，即刚性块滑移模式；
2〕连续的或分块连续的速度场。
上限法采用外力功等于部耗散能以及构造的几何条件求塑性极限载荷，其值比完全解的塑性极限载荷大。
〔4〕变形功法〔功平衡法〕它是根据能量守恒定律求变形力的一种方法。
物体塑性变形时，外力沿其位移方向所作的功Wo等于物体塑性变形功Wp和接触摩擦切应力所消耗功Wf之和〔ΔWo=ΔWp+ΔWf〕。
变形均匀的塑性变形。
〔5〕板料成形理论
薄板的塑性成形问题常假设沿板的厚度方向很小近于零。
应力应变沿厚度方向不变，简
化成平面应力状态求解。
金属板料成形
〔6〕有限元法
有限元法是将求解未知场变量的连续体划分为有限个单元。
单元用节点连接，每个单元用插值函数作为场变量，插值函数由节点值确定，单元之间的作用由节点传递。
建立物理方程，并将全部单元的插值函数集合成整体场变量的方程组，然后进展数值计算，求出变形体的速度、应变、应力和温度场及力能参数。
由于现代化电子计算机效率高，功能全，塑性有限元法能计算出各种成形工步的各种工艺参数。
有限元法是求解工程科学中数学物理问题的一种通用数值方法。
近年来随着计算机技术的普及和计算机速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源、科学研究等各个领域的广泛使用，已使设计水平发生了质的飞跃。
五、简述韧性损伤理论的根本容及其在金属塑性成型分析中的应用。
〔20分〕
所谓损伤是指冶炼或加工工艺工程中由于载荷、温度、环境等因素的作用，使材料的微、细观构造发生变化，引起微缺陷成胚、孕育、扩展和集合，导致材料宏观力学性能的劣化，最终形成宏观开裂或材料破坏。
从细观的、物理学的观点来看，损伤是材料组分晶粒的位错、滑移、微孔洞、微裂纹等微缺陷形成和开展的结果；
从宏观的、连续介质力学的观点来看，损伤又可认为是材料部微细构造状态的一种不可逆的耗散过程。
实际使用的金属材料大多是多相材料，由于冶炼过程不能除尽杂质，材料多含有少量的夹杂物。
这些材料可以看成是基体与散布于基体的第二相粒子和夹杂结合而成的物质。
这些夹杂粒子和二相粒子不仅各自的成份和力学行为不同，和基体的结合程度也有很大的差异。
研究说明，在一定载荷或其它外界因素作用下，材料部构造会发生变化，产生微孔洞、微裂纹以及其它形式的微缺陷，使金属材料微观构造发生变化，这些微观或宏观的缺陷称为损伤，损伤累积会导致金属材料失效断裂。
损伤力学主要是以金属物理学、材料力学、连续介质力学等统一起来的观点进展研究的，这一学科不仅描述了损伤材料的性质，而且也研究直到出现宏观裂纹前的整个过程。
在此根底上可以把材料的损伤破坏和裂纹扩展的机理统一起来，这就绕过了经典断裂力学和弹塑性力学的鸿沟，为解决有裂纹体和无裂纹体的统一问题提供了一条有效途径。
就研究方法而言，损伤力学可分为三大类：
第一类是宏观损伤力学。
这是一种典型的场论方法，其理论根底是宏观的连续介质力学和连续介质热力学，因此又称为连续介质的损伤力学。
它认为损伤是材料部微细构造状态的一种不可逆的耗散过程。
连续介质损伤力学在物体部引进连续变化的损伤变量来表征各类损伤，利用热力学的公式和定理以及变量理论，唯象地确定材料的本构方程和损伤演化规律。
它虽然需要微观模型的启发，但并不需要从微观机制导出理论关系式，而只要求所得出的结论与现今对韧性破坏的理解是一致的。
第二类是微观损伤力学。
微观损伤力学更侧重于物理机制的探索，它和物理学的联系非常严密。
由于采用的分析方法相比照拟复杂，计算上需要处理多点阵交互作用，因此微观损伤力学在处理复杂问题方面遇到许多实际困难，往往只用于对复杂问题进展定性分析。
第三类是细观损伤力学。
细观损伤力学分析方法是宏、微观相结合的方法，这种方法是材料学与连续介质力学相互渗透的产物，构成所谓细观损伤力学理论。
它一方面略去了具体考察微构造变化的物理过程细节，免去了统计物理学的冗长计算；
另一方面又为损伤造成的宏观有效场赋予了较为真实的几何形象和物理过程。
从细观的观点看，损伤是材料组分晶粒的位错、滑移、微孔洞、微裂纹等微缺陷形成和开展的结果。
这种方法在试验根底上建立反映损伤物理本质的细观模型，将非均质的微观材料进展简化过渡到均质的宏观材料，使损伤变量能够反映比拟真实的几何图像，其损伤演化过程不再只是抽象的方程而具有清晰的物理涵。
细观模型可以考虑各种类型的损伤形态和分布，研究它们之间的相互作用，预测它们的形成、开展和导致材料破坏的过程。
细观损伤模型具有几何上的直观性，逻辑上的合理性和数学上的可解性。
损伤力学或连续介质损伤力学〔ContinuumDamageMechanics-CDM〕主要研究材料部微观缺陷的产生和开展引起的宏观力学效应及最终导致材料破坏的过程和规律。
它通过引入“损伤变量〞这一部变量来描述含微观缺陷材料的力学效应，即受损材料的力学行为，以便更好地预测材料的变形、破坏和使用寿命等。
连续介质损伤力学的分析过程如下列图所示，
图5连续介质损伤力学的分析过程
韧性损伤理论在金属塑性成型分析中的应用：
细观损伤力学是在实验的根底上建立反映损伤物理本质的细观模型，将非均质的微观材料进展简化过渡到均质的宏观材料，直接从材料损伤的原因出发，将本构关系建立在对材料细观分析的根底上。
在金属塑性加工中，如板料的拉深、弯曲、胀形，以及金属剪切、体积成形、超塑性成形等，不可防止地会因为大变形而产生损伤。
对大局部塑性成形加工而言，应抑制损伤的产生与开展，提高材料的变形能力；
而对别离工序，如金属剪切，那么应创造适宜的断裂条件，以保证获得良好的断面质量。
因此，从细观损伤力学出发，描述金属材料在塑性加工过程中的损伤现象如微裂纹形成及扩展过程等，分析材料损伤断裂原因，预测受损材料寿命对金属塑性加工具有十分重要的意义。
在金属塑性加工中，对大局部塑性成形工序，应抑制损伤的产生与开展，以提高材料的变形能力；
对别离工序，应创造适宜的断裂条件，以保证获得良好的断面质量。
细观损伤力学在金属塑性成形中的应用广泛，利用细观损伤力学理论分析了材料细观裂纹的形成过程以及材料损伤断裂的原因，解决实际工程问题。
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