中考数学与圆的综合有关的压轴题附详细答案docWord文件下载.docx
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详解：
（1）连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°
．
∵AB＝AC，∴BD＝CD，
又∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF
即∠ODF＝90°
．∴DF为⊙O的切线；
（2）连接OE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°
，∴∠BAE＝60°
，∵∠BOE＝2∠BAE，∴∠BOE＝120，°
∴＝·
4＝ππ．
本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键．
3．如图，在VABC中，ACB90o，BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DEAD交AB于点E，以AE为直径作eO．
1求证：
BC是eO的切线；
2若AC3，BC4，求tanEDB的值．
（1）见解析；
（
2）tanEDB
1
2
【分析】
1连接OD，如图，先证明
OD//AC，再利用AC
BC得到OD
BC，然后根据切线
的判定定理得到结论；
2先利用勾股定理计算出
AB
5，设eO的半径为r，则OA
OD
r，OB
5r，
再证明VBDO∽VBCA，利用相似比得到r：
3
5
r
：
5，解得r
15
，接着利用勾
8
股定理计算BD
CD
tan
，然后证明
，则
，利用正切定理得
1EDB，从而得到tan
EDB的值．
【详解】
1证明：
连接OD，如图，
QAD平分BAC，
2，
QOA
OD，
3，
OD//AC，
QAC
BC，
BC是eO的切线；
2解：
在RtVACB中，AB
设eO的半径为r，则OAOD
QOD//AC，
VBDO∽VBCA，
OD：
ACBO：
BA，
32425，
即r：
5r：
5
，解得r
，
25
，OB
在RtVODB中，BD
OB2
OD2
CDBC
BD
在RtVACD中，tan
1，
AC
QAE为直径，
ADE
90o，
EDB
ADC
Q1
tanEDB．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质：
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
圆
的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
也考查了圆周角定理和解直角三角形．
4．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，
过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
AG2=AF·
AB；
（3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积.
（1）PA与⊙O相切，理由见解析；
（2）证明见解析；
（3）3.
试题分析：
（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°
，由圆周角定理，证得
∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．
（2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论.
（3）连接BD，由AG2=AF?
AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得
AE的
长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．
试题解析：
解：
（1）PA与⊙O相切．理由如下：
如答图1，连接CD，
∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90.°
∴∠D+∠CAD=90.°
∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D.
∴∠PAC+∠CAD=90，°
即DA⊥PA.
∵点A在圆上，
∴PA与⊙O相切．
如答图2，连接BG，
∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，∴?
?
.∴∠AGF=∠ABG.
ACAD
∵∠GAF=∠BAG，∴△AGF∽△ABG.
∴AG：
AB=AF：
AG.∴AG2=AF?
AB.
（3）如答图3，连接BD，
∵AD是直径，∴∠ABD=90.°
∵AG2=AF?
AB，AG=AC=25，AB=45，∴AF=5.
∵CG⊥AD，∴∠AEF=∠ABD=90.°
AE
AF
∵∠EAF=∠BAD，∴△AEF∽△ABD.∴
，即
4
，解得：
AE=2.
AD
10
∴EF
AF2
AE2
1.
∵EG
AG2
AE2
4，∴FG
EG
EF4
.
∴SAFG
1FG
132
3．
考点：
1.圆周角定理；
2.直角三角形两锐角的关系；
3.相切的判定；
4.垂径定理；
5.相似三角形的判定和性质；
6.勾股定理；
7.三角形的面积.
5．四边形ABCD的对角线交于点E，且AE＝EC，BE＝ED，以AD为直径的半圆过点E，圆
心为O．
（1）如图①，求证：
四边形ABCD为菱形；
（2）如图②，若BC的延长线与半圆相切于点F，且直径AD＝6，求弧AE的长．
（2）
π
（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出AC⊥BD即可得出结论；
（2）先判断出AD=DC且DE⊥AC，∠ADE=∠CDE，进而得出∠CDA=30°
，最后用弧长公式即可得出结论．
证明：
（1）∵四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，∴四边形
ABCD是平行四边形．∵以AD为直径的半圆过点E，∴∠AED=90°
，即有AC⊥BD，∴四边
形ABCD是菱形；
（2）由
（1）知，四边形ABCD是菱形，∴△ADC为等腰三角形，∴AD=DC且DE⊥AC，
∠ADE=∠CDE．如图2，过点C作CG⊥AD，垂足为G，连接FO．∵BF切圆O于点F，
∴OF⊥AD，且OF1AD3，易知，四边形CGOF为矩形，∴CG=OF=3．
在Rt△CDG中，CD=AD=6，sin∠ADC=CG=1，∴∠CDA=30°
，∴∠ADE=15°
?
30
连接OE，则∠AOE=2×
∠ADE=30°
，∴AE
180
本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性
质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．
6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．
∠AEC=90°
；
（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；
（3）若DC=2，求DH的长．
（1）证明见解析；
（2）四边形AOCD为菱形；
（3）DH=2．
（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°
，由题意得
，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°
，从而得出
∠AEC=90；
°
（2）四边形AOCD为菱形．由
（1）得
平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形
，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是
AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边
形是菱形）；
（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°
，再由
DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．
（1）连接OC，
∵EC与⊙O切点C，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE=90，°
∵点CD是半圆O的三等分点，
∴，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）
∴∠AEC+∠OCE=180，°
∴∠AEC=90；
（2）四边形AOCD为菱形．理由是：
∵，
∴∠DCA=∠CAB，
∴CD∥OA，
又∵AE∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（3）连接OD．
∵四边形AOCD为菱形，
∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，
∴OA=OD=AD=2，
∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60，°
∵DH⊥AB于点F，AB为直径，
∴DH=2DF，
在Rt△OFD中，sin∠AOD=，
∴DF=ODsin∠AOD=2sin60=°
∴DH=2DF=2．
1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．
7．如图，△ABC内接于⊙O，且AB作⊙O的切线PD交CA的延长线于点
F．
为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点DP，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点
DP∥AB；
（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．【答案】详见解析
（1）连接OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠ACB=90°
∠ACD=∠BCD=45，°
则∠DAB=∠ABD=45，°
所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB．
（2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到
52；
由△ACE为等腰直角三角形，得到
CE
6
DE=42，则
32，在Rt△AED中利用勾股定理计算出
CD=7
2，易证得∴△PDA∽△PCD，得到PD
PA
，所以PA=
PD，
PC
PD
7
PC=PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD．
如图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90．°
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD=45．°
∴∠DAB=∠ABD=45．°
∴△DAB为等腰直角三角形．∴DO⊥AB．
∵PD为⊙O的切线，∴OD⊥PD．
∴DP∥AB．
（2）在Rt△ACB中，，
∵△DAB为等腰直角三角形，∴．
∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形．∴
在Rt△AED中，
∴．
∵AB∥PD，∴∠PDA=∠DAB=45．°
∴∠PAD=∠PCD．
又∵∠DPA=∠CPD，∴△PDA∽△PCD．∴
75
∴PA=PD，PC=PD．
又∵PC=PA+AC，∴7
PD+6=
PD，解得PD=．
8．如图，已知在△ABC中，∠A=90°
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）若∠B=60°
，AB=3，求⊙P的面积．
（1）作图见解析；
（2）3π
（1）与AB、BC两边都相切．根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置．
（2）根据角平分线的性质和30°
角的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积．【详解】
（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．
（2）∵∠ABC=60°
，BP平分∠ABC，∴∠ABP=30，°
∵∠A=90，°
∴BP=2AP
Rt△ABP中,AB=3，
由勾股定理可得：
AP=3，∴S⊙P=3π
9．如图，在Rt△ABC中，C90，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．
BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2cm，E是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
（1）证明见解析
（2）2
（1）连接OD，只要证明OD∥AC即可解决问题；
（2）连接OE，OE交AD于K．只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题．【详解】
（1）连接OD．
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．
∵∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°
，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．
（2）连接OE，OE交AD于K．
∵?
，∴OE⊥AD．
AEDE
∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90，°
∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE
602
22
是等边三角形，∴∠AOE=60°
，∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE
360
本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．如图1，已知⊙O是ADB的外接圆，∠ADB的平分线DC交AB于点M，交⊙O于点
C，连接AC，BC．
AC=BC；
（2）如图2，在图1的基础上做⊙O的直径CF交AB于点E，连接AF，过点线AH，若AH//BC，求∠ACF的度数；
（3）在
（2）的条件下，若
ABD的面积为6
ABD与
ABC的面积比为
的长.
A作⊙O的切
2：
9，求CD
（2）30°
（3）233
（1）运用“在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解；
（2）连接AO并延长交BC于I交⊙O于J,由AH是⊙O的切线且AH∥BC得AI⊥BC，易证
∠IAC=30，°
故可得∠ABC=60=°
∠F=∠ACB，由CF是直径可得∠ACF的度数；
（3）过点D作DG⊥AB，连接AO，知ABC为等边三角形，求出AB、AE的长，在RtAEO
中，求出AO的长，得CF的长，再求DG的长，运用勾股定理易求CD的长.
（1）∵DC平分∠ADB，∴∠ADC=∠BDC，∴AC=BC．
（2）如图，连接AO并延长交BC于I交⊙O于J
∵AH是⊙O的切线且AH∥BC，
∴AI⊥BC，
∴BI=IC，∵AC=BC，
∴IC=AC，
∴∠IAC=30，°
∴∠ABC=60=°
∠F=∠ACB．
∵FC是直径，∴∠FAC=90，°
∴∠ACF=180-90°
-°
60=30°
．°
（3）过点D作DGAB，连接AO
由
（1）
（2）知ABC为等边三角形
∵∠ACF=30，°
∴ABCF，
∴AE=BE，
∴SABC
3AB2
273，
∴AB=63，
∴AE33．
在RtAEO中，设EO=x，则AO=2x，
∴AO2
OE2，
33
∴2x
x2，
∴x=6，⊙O的半径为6，
∴CF=12．
∵SABD
ABDG
63DG
63，
∴DG=2．
如图，过点D作DG
CF,连接OD．
∵AB
CF,DG
AB，
∴CF//DG，
∴四边形G′DGE为矩形，
∴GE2，
CG
GECE63
211，
在Rt
OGD中，OG
5,OD6，
∴DG11，
∴CD
DG
CG2
11112
233
本题是一道圆的综合题
.考查了圆的基本概念，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等
相关知识.比较复杂，熟记相关概念是解题关键.
11．如图，点B在数轴上对应的数是﹣2，以原点O为原心、OB的长为半径作优弧AB，
使点A在原点的左上方，且tan∠AOB＝3，点C为OB的中点，点D在数轴上对应的数
为4．
（1）S扇形AOB＝（大于半圆的扇形）；
（2）点P是优弧AB上任意一点，则∠PDB的最大值为°
（3）在
（2）的条件下，当∠PDB最大，且∠AOP＜180°
时，固定△OPD的形状和大小，以原点O为旋转中心，将△OPD顺时针旋转α（0°
≤α≤）360°
①连接CP，AD．在旋转过程中，CP与AD有何数量关系，并说明
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