答案:
0.36
8.(2018·洛阳模拟)为向国际化大都市目标迈进,某市今年新建三大类重点工程,它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设,则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是________.
【解题指南】3名民工选择的项目所属类别互异的情况有种,且所选类别相互独立,用互斥及相互独立事件的概率公式求解.
【解析】记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai,Bi,Ci,i=1,2,3.由题意,事件Ai,Bi,Ci(i=1,2,3)相互独立,则P(Ai)==,
P(Bi)==,
P(Ci)==,i=1,2,3,
故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P=P(AiBiCi)=6×××=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①中的结果,求E(X).
附:
≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ【解析】
(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,
s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.
(2)①由
(1)知,Z~N(200,150),从而
P(187.8②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6827,依题意知X~B(100,0.6827),所以E(X)=100×0.6827=68.27.
所以质量指标值位于(187.8,212.2)的产品件数的平均值约为68.
10.(2018·临沂模拟)构建的“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.岳阳市旅游局顺潮流、乘东风,闻讯而动,决定利用旅游资源优势,撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况,以便制定相应的策略,在某月中随机抽取了甲、乙两个景点各10天的游客数,画出茎叶图如图:
(1)若景点甲中的数据的中位数是125,景点乙中的数据的平均数是124,求x,y的值.
(2)若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取4天,记其中游客数超过120人的天数为ξ,求概率P(ξ≤2).
(3)现从图中的共20天的数据中任取2天的数据(甲、乙两景点中各取1天),记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为η,求η的分布列和期望.
【解析】
(1)由题意知x=3,y=4.
(2)由题意知,因为景点甲的每一天的游客数超过120人的概率为=,任取4天,即是进行了4次独立重复试验,其中有ξ次发生,
故随机变量ξ服从二项分布,则P(ξ≤2)=
++=.
(3)从图中看出:
景点甲的数据中符合条件的只有1天,景点乙的数据中符合条件的有4天,所以在景点甲中被选出的概率为,在景点乙中被选出的概率为.
由题意知:
η的所有可能的取值为0,1,2,
则P(η=0)=×=,P(η=1)=×+×=,P(η=2)=×=,
所得分布列为:
η
0
1
2
P
E(η)=0×+1×+2×=.
1.(5分)(2018·兰州模拟)已知某批零件的长度误差(单位:
毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附:
若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈95.45%)
A.4.56%B.13.59%
C.27.18%D.31.74%
【解析】选B.由正态分布的概率公式知P(-3<ξ<3)≈68.27%,P(-6<ξ<6)≈95.45%,
故P(3<ξ<6)
=[P(-6<ξ<6)-P(-3<ξ<3)]
≈(95.45%-68.27%)=13.59%.
【变式备选】(2018·重庆模拟)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人数800【解析】由X~N(800,502),知μ=800,σ=50,
又P(700则P(800≈0.4773.
答案:
0.4773
2.(5分)(2018·大连模拟)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:
在10箱中各任意抽查一枚;方法二:
在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2.则( )
A.p1=p2
B.p1C.p1>p2
D.以上三种情况都有可能
【解析】选B.按方法一,在各箱任意抽查一枚,抽得劣币的概率为=0.01,所以p1=1-(1-0.01)10=1-,按方法二,在5箱中各任意抽查两枚,抽得劣币的概率为=0.02,所以p2=1-(1-0.02)5=1-,p1-p2=-=
==<0,所以p13.(5分)甲、乙、丙三人同解一道数学题,已知甲解出的概率为,乙、丙解出的概率都为,则该题恰有一人解出的概率为________.
【解析】设甲、乙、丙解出该题分别为事件A,B,C,则所求概率为P=P(A)+P(B)+P(C)=××+××+××
=++=.
答案:
4.(12分)乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.世
(1)求甲以4比1获胜的概率.
(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率.
(3)求比赛局数的分布列.
【解析】
(1)由已知,得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.
记“甲以4比1获胜”为事件A,
则P(A)=×=.
故甲以4比1获胜的概率为.
(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B,乙以4比2获胜的概率为P1=×=,
乙以4比3获胜的概率为P2=×=,
所以P(B)=P1+P2=.
即乙获胜且比赛局数多于5局的概率为.
(3)设比赛的局数为X,则X的可能取值为4,5,6,7,
P(X=4)=2=,
P(X=5)=2×=,
P(X=