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1、全国通用版版高考数学一轮复习第十章计数原理与概率随机变量及其分布课时分层作业七十一108二项分布正课时分层作业 七十一二项分布、正态分布及其应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018成都模拟)根据历年气象统计资料,某地三月份吹东风的概率为,下雨的概率为,既吹东风又下雨的概率为,则在吹东风的条件下下雨的概率为()A. B. C. D.【解析】选B.设事件A表示某地三月份吹东风,事件B表示某地三月份下雨,根据条件概率计算公式可得,在吹东风的条件下下雨的概率P(B|A)=.【变式备选】(2018汉中模拟)周老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,她估计做对第一道题的概率为0.80,做对两

2、道题的概率为0.60,则估计做对第二道题的概率为 ()A.0.80 B.0.75 C.0.60 D.0.48【解析】选B.记做对第一道题为事件A,做对第二道题为事件B,则P(A)=0.80, P(AB)=0.60,因为做对第一道、第二道题这两个事件是相互独立的,所以P(AB)= P(A)P(B),即P(B)=0.75.2.某人同时抛一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数为3的倍数”为事件B,则事件A,B至多有一件发生的概率为 ()A. B. C. D.【解析】选D.由古典概型的概率公式得P(A)=,P(B)=,事件A,B至多有一件发生包含:两件都不

3、发生;A发生,B不发生;B发生,A不发生.故所求概率P=P( )+P(A)+P(B)=+=+=.【一题多解】解答本题还可用如下方法求解.由对立事件的概率公式知,所求概率为P=1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-=.3.设随机变量XN(0,1),若P(X1)=p,则P(-1X0)=P(X1)=P(X-1)=p,所以P(-1X0)=P(X0)-P(X-1)=-p.4.(2018南昌模拟)某人参加第十二期“汉语桥”世界中学生文化赛的资格赛,4道题中答对3道即为通过资格赛,已知他答对每道题的正确率为0.5,则他通过资格赛的概率是 ()A. B.C. D.【解析】选C.由题意,他应答对3道或4道,

4、其概率为P=+=+=.【变式备选】在4次独立重复试验中,事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是 ()A.0.4,1) B.(0,0.4)C.(0,0.6 D.0.6,1)【解析】选A.根据题意,p(1-p)3p2(1-p)2,解得p0.4,又p1,所以0.4p1.5.某人抛硬币4次,恰好出现3次正面向上的概率为a;随机变量XN(100,2), P(X80)=,P(80X120)=b,则+= ()A. B. C.4 D.6【解析】选D.由题意,a=,b=P(80X120)=1-P(X80)-P(X120)=1-=,所以+=4+2=6.二、

5、填空题(每小题5分,共15分)6.把一枚质地均匀的硬币连续抛掷6次,则至多出现4次正面向上的概率为_.【解析】设出现正面向上的次数为X,则XB,P(X4)=1-P(X=5)-P(X=6)=1-=.答案:7.(2018唐山模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3,2),且P(X5)=0.8,则P(1X3)=_.【解析】由正态曲线的对称性可知,P(X3)=0.5,故P(X1)=P(X1)=0.2,P(1X3)=P(X3)-P(X1)=0.5-0.2=0.3.答案:0.3【变式备选】(2018厦门模拟)已知随机变量XN(2,2),若P (Xa)=0.32,则P(aX4-a)=_.【解析】由正态曲线的对

6、称性可得:P(aX4-a)=1-2P(Xa)=0.36.答案:0.368.(2018洛阳模拟)为向国际化大都市目标迈进,某市今年新建三大类重点工程,它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设,则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是_.【解题指南】3名民工选择的项目所属类别互异的情况有种,且所选类别相互独立,用互斥及相互独立事件的概率公式求解.【解析】记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai,Bi,Ci,i=1,2,3.由题意,事件Ai,Bi,Ci(i=1,2,3)相互独立,

7、则P(Ai)=,P(Bi)=,P(Ci)=,i=1,2,3,故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P=P(AiBiCi)=6=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数,2近似为样本方差s2.利用该正态分布,求P(187.8Z212.2);某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产

8、品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用中的结果,求E(X).附:12.2.若ZN(,2),则P(-Z+)0.682 7,P(-2 Z+2)0.954 5.【解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200,s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)由(1)知,ZN(200,150),从而P(187.8Z212.2)=P(200-12

9、.2Z200+12.2)0.682 7.由知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 7,依题意知XB(100,0.682 7),所以E(X)=1000.682 7=68.27.所以质量指标值位于(187.8,212.2)的产品件数的平均值约为68.10.(2018临沂模拟)构建的“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.岳阳市旅游局顺潮流、乘东风,闻讯而动,决定利用旅游资源优势,撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况,以便制定相应的策略,在某月中随机抽取了甲、乙两个景点各10天的游客数,画出茎叶图如图:(1)若景点甲中的数据的中位数是

10、125,景点乙中的数据的平均数是124,求x,y的值.(2)若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取4天,记其中游客数超过120人的天数为,求概率P(2).(3)现从图中的共20天的数据中任取2天的数据(甲、乙两景点中各取1天),记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为,求的分布列和期望.【解析】(1)由题意知x=3,y=4.(2)由题意知,因为景点甲的每一天的游客数超过120人的概率为=,任取4天,即是进行了4次独立重复试验,其中有次发生,故随机变量服从二项分布,则P(2)=+=.(3)从图中看出:景点甲的数据中符合条件的只有1天,景点乙的数据中符

11、合条件的有4天,所以在景点甲中被选出的概率为,在景点乙中被选出的概率为.由题意知:的所有可能的取值为0,1,2,则P(=0)=,P(=1)=+=,P(=2)=,所得分布列为:012PE()=0+1+2=.1.(5分)(2018兰州模拟)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 ()(附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)68.27%,P(-2+2)95.45%)A.4.56% B.13.59%C.27.18% D.31.74%【解析】选B.由正态分布的概率公式知P(-33)68.27%,P(-66)95.

12、45%,故P(36)=P(-66)-P(-33)(95.45%-68.27%)=13.59%.【变式备选】(2018重庆模拟)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人数800X900的概率为p0,则p0约为_.【解析】由XN(800,502),知=800,=50,又P(700X900)0.954 5,则P(800X900)0.954 50.477 3.答案:0.477 32.(5分)(2018大连模拟)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在10箱中各任意抽查一枚

13、;方法二:在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2.则 ()A.p1=p2B.p1p2D.以上三种情况都有可能【解析】选B.按方法一,在各箱任意抽查一枚,抽得劣币的概率为=0.01,所以p1=1-(1-0.01)10=1-,按方法二,在5箱中各任意抽查两枚,抽得劣币的概率为=0.02,所以p2=1-(1-0.02)5=1-,p1-p2=-=0,所以p1p2.3.(5分)甲、乙、丙三人同解一道数学题,已知甲解出的概率为,乙、丙解出的概率都为,则该题恰有一人解出的概率为_.【解析】设甲、乙、丙解出该题分别为事件A,B,C,则所求概率为P=P(A )+P(B

14、)+P( C)=+=+=.答案:4.(12分)乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. 世 (1)求甲以4比1获胜的概率.(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率.(3)求比赛局数的分布列.【解析】(1)由已知,得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.记“甲以4比1获胜”为事件A,则P(A)=.故甲以4比1获胜的概率为.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B,乙以4比2获胜的概率为P1=,乙以4比3获胜的概率为P2=,所以P(B)=P1+P2=.即乙获胜且比赛局数多于5局的概率为.(3)设比赛的局数为X,则X的可能取值为4,5,6,7,P(X=4)=2=,P(X=5)=2=,P(X=