函数极值的探究与应用.docx

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函数极值的探究与应用

摘要

本文列举了不同元函数极值问题的求解方法。

在给出定义的前提下，讨论当是一元函数时给出判断其极值的第一、第二充分条件及对高阶函数的极值判定；当是二元函数时，讨论了一种最常用的判定极值的方法，即对的形式来判定函数的极值问题，在讨论的正负及其为零的情况下函数的极值不同的判定方法；最后讨论了当是三元函数时的情况，并推广到多元，并得出相对统一的判定方法：

一个是矩阵形式的判定，一个是通

过一阶导数法来判定多元函数的极值求解。

文中对不同形式还列举了一些应用，有助于掌握函数极值问题的求解，对初学函数极值问题的学生更是一种帮助。

关键字：

极值;连续;函数极值;导数;矩阵

ABSTRACT

Thisarticleliststhefunctionsofdifferentelementmethodforsolvingextremumproblems.Inthedefinitiongivenunderthepremiseofthediscussionwhenthefunctionisgivenadollartojudgeitsextremethefirst,secondandhigherorderfunctionssufficientconditionofextremum.Whentheisadualfunction,discussedoneofthemostcommonlyusedmethodofdeterminingextremevalue,namely,todeterminethefunctionoftheformextremalproblem,indiscussingthepositiveandnegativeandzerocaseoftheveryfunctionDeterminingthevalueofdifferent.Finallyaternaryfunctionwhenisthecase,andextendedtomultiple,andreachedarelativelyuniformdeterminationmethods:

oneisthematrixdeterminetheformofaderivativebyamethodtodeterminethefunctionofmultipleextremumSolution.paperalsoliststhedifferentformsofanumberofapplications,helptograspthefunctionextremumproblemsolving,functionextremumproblemforbeginnersistohelpstudentsmore.

Keywords:

Extreme;Maximum;Functionofcontinuous;Derivative;Matrix

0.引言............................................................1

1.函数极值的定义..................................................1

2.各元函数极值的判定...............................................1

2.1是一元函数...........................................1

2.2是二元函数...........................................3

2.3当是三元或者多元函数..................................5

2.3.1矩阵形式...............................................5

2.3.2一阶导数法.............................................7

3.总结..........................................................7

4.参考文献.......................................................8

5.致谢............................................................9

0引言

在日常生活、工程实践和生产技术中，常会碰到这样的问题：

在一定的条件下，怎样是用料最少而所生产的产品最多，或者成本最低等。

企业生产成本是影响企业利润的一个重要因素,因此企业经营者为了获得较高的利润,必须在企业经营中考虑如何最大限度地降低生产成本.通常这类问题最后都归结为一个数学问题,有些通过初等方法就能得到解决.例如,初等数学中的求极值方法在这类问题的解决中就有着极其广泛的应用。

这些都是数学中的极值问题。

同样，高等数学函数问题中，函数极值的求法与应用也是一个值得深思的问题。

那关于高等数学函数中的极值问题有哪些方面呢？

1函数极值的定义

我们先给出函数极值的定义：

设在内有定义，其中是实数集合（一般为一个区域或几个区间的并集），是内的任意一点，若存在的一个，且属于，使得内的任何点都有均成立，就说是函数的一个极大值；若内的任何点都有均成立，就说是函数的一个极小值。

如果存在中的数，使，而对于任意的,有，则称为在上的最小值,为在上的最大值,称为最小值点,称为最大值点,求最值的函数称为目标函数.

这里需要注意的是极值与最值之间的关系：

（1）极值一定是函数在某个区间内的最值.

（2）极值未必是最值.（3）如果函数的最值在某个区间内取得,该点一定是极值点。

2各元函数极值的判定

现在讨论一下当是一元，二元或者多元函数时的判断极值的情况，并给出对应的例题：

2.1是一元函数

定理：

设在的某去心领域内连续，且在内可导，则有：

（1）若当时，,当时，,则为的极大值点；

（2）若当时，，当时,则为的极小值点；

（3）若在的两侧同号，则不是极值点。

对于此问题可理解为在的左边和右边的增减关系判断其为何种极值，这也就是一元函数极值判定的第一充分条件。

另外，一元函数极值判定的第二充分条件为：

设函数在处具有连续的二阶导数，,,那么当函数在取得极大值；当函数在取得极小值；当函数在不能判断取得极值。

对于上述第二充分条件，应当注意的是如果,且,或者,但不存在,那么一元函数极值的第二充分条件就失效了,此时可以考虑运用一元函数极值的第一充分条件.当然也可以进一步判定，即对一元高阶函数的极值判定：

设函数在点及其附件具有直到阶的连续函数，若而（或者），则：

1）为偶数时，在点处有极小值（或极大值），2）为奇数时，在点处无极值而是拐点。

求一元函数极值的步骤如下：

求函数的定义域，并求导数；②求驻点和不可导的点；③利用以上的定理确定函数数的极值点；④求出各极值点的函数值，得到函数的极值。

例如下面这个例子：

求的极值点。

解：

原函数的定义域为，

令，得驻点，，，

则，

所以是的极小值点，是的极大值点，

又，无法利用一元函数极值判定的第二充分条件经行判断，这里先用一元函数极值的第一充分条件判断：

当足够小时，在内

是，在内是，故可以判断在处不能取得极值，即无极值点。

也可以用一元高阶函数的极值判定来作进一步的分析：

又，

为奇数，所以在处无极值点。

2．2是二元函数

这里讨论一种最常用到的方法，的形式判定：

定理：

设函数在点的某领域连续且有二阶连续偏导数，又点是函数的稳定点，令,,:

若，，则在取得小值;若，，则在取得极大值；

若,则在处无极值点；

若时，无法判定在处是否为极值点。

证明：

已知是函数的稳定点,有,,且函数在点在平面上任意射线的方向导数都存在,

其中,是射线的方向余弦.则

由于任意射线与轴和轴的夹角和不能同时为,和不全为0,不妨设（当时,则,提取,可类似讨论）,则

令，，

则的符号与关于的二次函数的符号相同.

下面讨论二次函数,其判别式，令

（1）若判别式,则与恒正或恒负,此时函数表示的曲面与过点与任意射线的平面相交成的交线严凸或严凹,点处的函数值比附近的函数值都小或都大,即是函数的极值点.（或）,则,说明函数表示的曲面与过点与任意射线的平面相交成的交线严凸,点处的函数值比附近的函数值都小,则是函数的极小点.（或）,则,说明函数表示的曲面与过点与任意射线的平面相交成的交线严凹,点处的函数值比附近的函数值都大,则是函数的极大点.

（2）若,方程有两个根,不是恒正（或负）,其符号不确定.此时不能判定的符号,则点P处的函数值与附近的函数值的大小关系不能确定,即不是函数的极值点.

例1，如2009年数学1的一道考研题：

求二元函数的极值。

解：

先求出函数的极值点,

令,解方程组和

得到唯一的驻点，由于

，，，

于是

且，故为的极小值点，其极小值为

例2　求的极值。

解:

,,,

解：

与

联立的方程组解得　或

于是得驻点及,关于驻点有,,,所以,

由上面的定理知,在点取得极大值。

关于驻点有,,,所以。

因此在点不取得极值。

通过上面的讨论,对于一元函数及二元函数的极值问题已经非常清楚了。

函数的极值在实际工作中应用也非常广泛。

这边我们再初步了解一下当的情况。

引理：

1）如果，则在点有极值的必要条件是，当时，一元函数在处必取极小值，而当时，必为极大值;

2）如果，则在点有极值的必要条件是，当时，一元函数在处必取极小值,而当时，必为极大值;

3）如果（这时也为），而且在点的某个邻域内存在三阶连续偏导数，则在点有极值的必要条件是在点的一切三阶偏导数的值全为零.

2.3当是三元或者多元函数

2.3.1矩阵形式

上面讨论了对于二元函数时用到的

是一种矩阵形式。

三元函数的极值判定，常用的也是借助于矩阵形式。

引理：

三元函数极值判定的充分条件：

设在包含点的区域内是连续偏导函数，为的驻点，即,记，，，，，，则

则

（1）当矩阵为正定时，为的极小值点；

（2）当矩阵为负定时，为的极大值点；

（3）当矩阵不定时，不是的极值点。

此矩阵是一个3元的Hesse矩阵，如下例：

求的极值点。

解：

由得到稳定点，

又在点处，，，，所以Hesse矩阵为

，

其各阶顺序主子式,,,所以在点处取得极小值

在处，的各阶顺序主子式不全大于零。

此时当，，，，而当都大于零时，。

因此符号不定，故在点处无极值。

当此三元函数推广到元函数时，,,点为的驻点，且在点有连续的偏导数，,具有Hesse矩阵,

则

（1）若为正定或者半正定时，在点取得极小值；

（2）若为负定或者半负定时，在点取得极大值；

（3）若为非定号矩阵，则在点不取极值。

2.3.2一阶导数法

对于多元函数的极值求法，这边再介绍一种一阶导数法.

设是一个实值函数，它在中以为中心的一个邻域上是连续的，而且在上是可微的（是种一个驻点），则

（1）如果对}内的一切有，为极大值，

（2）如果对内的一切有，为极小值.

（3）如果在内，变号（即有正有负）,则点不是的极值点。

（注意，其中为在点处