相似矩阵及二次型习题全解.docx
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相似矩阵及二次型习题全解
第五章相似矩阵及二次型
1．试用施密特法把下列向量组正交化：
（1）
；
（2）
解
（1） 根据施密特正交化方法:
令
，
，
，
故正交化后得:
．
（2） 根据施密特正交化方法令
故正交化后得
2．下列矩阵是不是正交阵:
（1）
;
（2）
．
解
（1） 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．
（2） 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．
3．设
与
都是
阶正交阵，证明
也是正交阵．
证明因为
是
阶正交阵，故
，
故
也是正交阵．
4．求下列矩阵的特征值和特征向量:
（1）
;
（2）
;（3）
.
并问它们的特征向量是否两两正交?
解
（1） ①
故
的特征值为
．
② 当
时,解方程
由
得基础解系
所以
是对应于
的全部特征值向量．
当
时,解方程
由
得基础解系
所以
是对应于
的全部特征向量．
③
故
不正交．
（2） ①
故
的特征值为
．
② 当
时，解方程
，由
得基础解系
故
是对应于
的全部特征值向量.
当
时,解方程
，由
得基础解系
故
是对应于
的全部特征值向量
当
时，解方程
，由
得基础解系
故
是对应于
的全部特征值向量．
③
，
，
，
所以
两两正交．
（3）
=
当
时，
取
为自由未知量，并令
，设
.
故基础解系为
当
时，
可得基础解系
综上所述可知原矩阵的特征向量为
5．设方阵
与
相似，求
.
解方阵
与
相似，则
与
的特征多项式相同，即
．
6．设
都是
阶方阵，且
，证明
与
相似．
证明
则
可逆
则
与
相似．
7．设3阶方阵
的特征值为
；对应的特征向量依
次为
，
，
求
.
解根据特征向量的性质知
可逆,
得:
可得
得
8．设3阶对称矩阵
的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为
求
.
解设
由
，知①
3是
的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知
的秩为1，
故利用①可推出
秩为1.
则存在实的
使得②
成立．
由①②解得
．
得
．
9．试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:
（1）
;
（2）
．
解
（1）
故得特征值为
．
当
时，由
解得
单位特征向量可取:
当
时,由
解得
单位特征向量可取:
当
时,由
解得
．
单位特征向量可取:
得正交阵
（2）
，
故得特征值为
当
时，由
解得
此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量
单位化得
当
时,由
解得
单位化
:
得正交阵
．
10．
（1） 设
，求
；
（2） 设
求
．
解
（1）
是实对称矩阵.
故可找到正交相似变换矩阵
使得
从而
因此
．
（2） 同
（1）求得正交相似变换矩阵
使得
．
11．用矩阵记号表示下列二次型:
（1）
;
（2）
（3）
解
（1）
．
（2）
．
（3）
．
12．求一个正交变换将下列二次型化成标准形:
（1）
;
（2）
．
解
（1） 二次型的矩阵为
故
的特征值为
．
当
时,解方程
，由
得基础解系
.取
当
时，解方程
，由
得基础解系
取
．
当
时，解方程
，由
得基础解系
取
，
于是正交变换为
且有
．
（2）二次型矩阵为
，
故
的特征值为
当
时，可得单位特征向量
，
当
时，可得单位特征向量
，
当
时，可得单位特征向量
，
．
于是正交变换为
且有
．
13．证明：
二次型
在
时的最大值为矩阵
的最大特征
值.
证明
为实对称矩阵，则有一正交矩阵
，使得
成立．
其中
为
的特征值，不妨设
最大，
为正交矩阵，则
且
，故
则
．
其中
当
时，
即
即
．
故得证．
14．判别下列二次型的正定性：
（1）
;
（2）
解
（1）
，
，
，
故
为负定．
（2）
，
，
．
故
为正定．
15．设
为可逆矩阵,
证明
为正定二次型．
证明 设
，
，
．
若“
”成立，则
成立．
即对任意
使
成立．
则
线性相关,
的秩小于
，则
不可逆，与题意产生矛盾．
于是
成立．
故
为正定二次型．
16．设对称矩阵
为正定矩阵，证明：
存在可逆矩阵
，使
．
证明
正定，则矩阵
满秩，且其特征值全为正．
不妨设
为其特征值，
由定理8知，存在一正交矩阵
使
又因
为正交矩阵，则
可逆，
．
所以
．
令
，
可逆,则
.
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