中考数学复习二次函数与圆的问题解析版.docx
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中考数学复习二次函数与圆的问题解析版
二次函数与圆的问题
【典例1】如图,抛物线y=ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)与x轴的另一交点为点B,点M是直线BC上一动点,过点M作MP∥y轴,交抛物线于点P.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在一点Q,使得△QCO是等边三角形?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)以M为圆心,MP为半径作⊙M,当⊙M与坐标轴相切时,求出⊙M的半径.
【答案】
(1)y=﹣x2+x+3;
(2)不存在,理由见解析;(3)⊙M的半径为或
【解析】
【分析】
(1)已知抛物线y=ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3),利用待定系数法即可求得抛物线解析式;
(2)在抛物线上找到一点Q,使得△QCO是等边三角形,过点Q作OM⊥OB于点M,过点Q作QN⊥OC于点N,根据△QCO是等边三角形,求得Q点坐标,再验证Q点是否在抛物线上;
(3)分两种情况①当⊙M与y轴相切,如图所示,令M点横坐标为t,PM=t,将PM用t表示出来,列出关于t的一元二次方程,求得t,进而求得半径;②⊙M与x轴相切,过点M作MN⊥OB于N,如图所示,令M点横坐标为m,因为PN=2MN,列出关于m的一元二次方程,即可求出m,进而求得⊙M的半径.
【详解】
(1)∵抛物线y=ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)
∴
解得
∴该抛物线的解析式为:
y=﹣x2+x+3
故答案为:
y=﹣x2+x+3
(2)在抛物线上找到一点Q,使得△QCO是等边三角形,过点Q作OM⊥OB于点M,过点Q作QN⊥OC于点N
∵△QCO是等边三角形,OC=3
∴CN=
∴NQ=
即Q(,)
当x=时,y=﹣×()2+×+3=≠
∴Q(,)不在抛物线上
y=﹣x2+x+3
故答案为:
不存在,理由见解析
(3)①⊙M与y轴相切,如图所示
∵y=﹣x2+x+3
当y=0时,﹣x2+x+3=0
解得x1=-1,x2=4
∴B(4,0)
令直线BC的解析式为y=kx+b
解得
∴直线BC的解析式为
令M点横坐标为t
∵MP∥y轴,⊙M与y轴相切
∴t=﹣t2+t+3-
解得t=
⊙M的半径为
②⊙M与x轴相切,过点M作MN⊥OB于N,如图所示
令M点横坐标为m
∵PN=2MN
∴
解得m=1或m=4(舍去)
∴⊙M的半径为:
故答案为:
⊙M的半径为或
【典例2】将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线,再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线.
(1)直接写出抛物线,的解析式;
(2)如图
(1),点在抛物线对称轴右侧上,点在对称轴上,是以为斜边的等腰直角三角形,求点的坐标;
(3)如图
(2),直线(,为常数)与抛物线交于,两点,为线段的中点;直线与抛物线交于,两点,为线段的中点.求证:
直线经过一个定点.
【答案】
(1)抛物线的解析式为:
y=x2-4x-2;抛物线的解析式为:
y=x2-6;
(2)点的坐标为(5,3)或(4,-2);(3)直线经过定点(0,2)
【解析】
【分析】
(1)根据函数图象上下平移:
函数值上加下减;左右平移:
自变量左加右减写出函数解析式并化简即可;
(2)先判断出点A、B、O、D四点共圆,再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°,从而证出是等腰直角三角形.设点A的坐标为(x,x2-4x-2),把DC和AC用含x的代数式表示出来,利用DC=AC列方程求解即可,注意有两种情况;
(3)根据直线(,为常数)与抛物线交于,两点,联立两个解析式,得到关于x的一元二次方程,根据根与系数的关系求出点M的横坐标,进而求出纵坐标,同理求出点N的坐标,再用待定系数法求出直线MN的解析式,从而判断直线MN经过的定点即可.
【详解】
解:
(1)∵抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线,再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线,
∴抛物线的解析式为:
y=(x-2)2-6,即y=x2-4x-2,
抛物线的解析式为:
y=(x-2+2)2-6,即y=x2-6.
(2)如下图,过点A作AC⊥x轴于点C,连接AD,
∵是等腰直角三角形,
∴∠BOA=45°,
又∵∠BDO=∠BAO=90°,
∴点A、B、O、D四点共圆,
∴∠BDA=∠BOA=45°,
∴∠ADC=90°-∠BDA=45°,
∴是等腰直角三角形,
∴DC=AC.
∵点在抛物线对称轴右侧上,点在对称轴上,
∴抛物线的对称轴为x=2,
设点A的坐标为(x,x2-4x-2),
∴DC=x-2,AC=x2-4x-2,
∴x-2=x2-4x-2,
解得:
x=5或x=0(舍去),
∴点A的坐标为(5,3);
同理,当点B、点A在x轴的下方时,
x-2=-(x2-4x-2),
x=4或x=-1(舍去),
∴点的坐标为(4,-2),
综上,点的坐标为(5,3)或(4,-2).
(3)∵直线(,为常数)与抛物线交于,两点,
∴,
∴x2-kx-6=0,
设点E的横坐标为xE,点F的横坐标为xF,
∴xE+xF=k,
∴中点M的横坐标xM==,
中点M的纵坐标yM=kx=,
∴点M的坐标为(,);
同理可得:
点N的坐标为(,),
设直线MN的解析式为y=ax+b(a≠0),
将M(,)、N(,)代入得:
,
解得:
,
∴直线MN的解析式为y=·x+2(),
不论k取何值时(),当x=0时,y=2,
∴直线经过定点(0,2).
【典例3】如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线过点B且与直线相交于另一点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上的一动点,当时,求点P的坐标;
(3)点在x轴的正半轴上,点是y轴正半轴上的一动点,且满足.
①求m与n之间的函数关系式;
②当m在什么范围时,符合条件的N点的个数有2个?
【答案】
(1);
(2)或(3,)或(-2,-3);(3)①;②0<m<
【解析】
【分析】
(1)利用一次函数求出A和B的坐标,结合点C坐标,求出二次函数表达式;
(2)当点P在x轴上方时,点P与点C重合,当点P在x轴下方时,AP与y轴交于点Q,求出AQ表达式,联立二次函数,可得交点坐标,即为点P;
(3)①过点C作CD⊥x轴于点D,证明△MNO∽△NCD,可得,整理可得结果;
②作以MC为直径的圆E,根据圆E与线段OD的交点个数来判断M的位置,即可得到m的取值范围.
【详解】
解:
(1)∵直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,
令x=0,则y=2,令y=0,则x=4,
∴A(4,0),B(0,2),
∵抛物线经过B(0,2),,
∴,解得:
,
∴抛物线的表达式为:
;
(2)当点P在x轴上方时,点P与点C重合,满足,
∵,
∴,
当点P在x轴下方时,如图,AP与y轴交于点Q,
∵,
∴B,Q关于x轴对称,
∴Q(0,-2),又A(4,0),
设直线AQ的表达式为y=px+q,代入,
,解得:
,
∴直线AQ的表达式为:
,联立得:
,解得:
x=3或-2,
∴点P的坐标为(3,)或(-2,-3),
综上,当时,点P的坐标为:
或(3,)或(-2,-3);
(3)①如图,∠MNC=90°,过点C作CD⊥x轴于点D,
∴∠MNO+∠CND=90°,
∵∠OMN+∠MNO=90°,
∴∠CND=∠OMN,又∠MON=∠CDN=90°,
∴△MNO∽△NCD,
∴,即,
整理得:
;
②如图,∵∠MNC=90°,
以MC为直径画圆E,
∵,
∴点N在线段OD上(不含O和D),即圆E与线段OD有两个交点(不含O和D),
∵点M在y轴正半轴,
当圆E与线段OD相切时,
有NE=MC,即NE2=MC2,
∵M(0,m),,
∴E(,),
∴=,
解得:
m=,
当点M与点O重合时,如图,
此时圆E与线段OD(不含O和D)有一个交点,
∴当0<m<时,圆E与线段OD有两个交点,
故m的取值范围是:
0<m<.