门头沟一模数学Word格式.docx
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”是“θ=”
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
b-a=⇔4+1-2a⋅b=3⇔a⋅b=1⇔θ=
选C【利用向量几何运算更易】
⎧2x
7.已知函数f（x）=⎨
⎩lnx
数根，则实数a的取值范围
（x≤0）
（x>
0）
，且关于x的方程f（x）+x-a=0有且只有一个实
A.[0,+∞）
B.（1,+∞）
C.（0,+∞）
D.[-∞,1）
f（x）+x-a=0⇔f（x）=a-x作图可得：
B
p
8.若函数f（x）=sin2x的图象向右平移
个单位长度得到函数g（x）的图象，若函数
6
g（x）在区间[0,a]上单调递增，则a的最大值为
ππ5π
A.
B.C.
2312
7π
D.
12
g（x）=sin（2x-
），g（a）为最大值，a的最大值2a-=⇒a=，选C
33212
9.已知点M（2,0），点P在曲线y2=4x上运动，点F为抛物线的焦点，
则的最小值为
A.B.2（
-1）
C.4
D.4
设P（x,y）是抛物线上任一点，
（x-2）2+y2
x2+44
抛物线的焦点为F（1,0），
===x+≥4
xxx
10.一辆邮车从A地往B地运送邮件，沿途共有n地，依次记为A1,A2,An（A1为A地，
An为B地）。
从A1地出发时，装上发往后面n-1地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达
A1,A2,An各地装卸完毕后剩余的邮件数记为ak（k=1,2,,n）。
则ak的表达式为
A.k（n-k+1）
B.
k（n-k-1）
C.
n（n-k）
D.
k（n-k）
5
7
8
10
D
A
C
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.）
11.在二项式（x2+2）6的展开式中，x8的系数为。
60
Tr+1
=Cr（x2）6-r2r=
Crx12-2r2r⇒r=2,60
12.在∆ABC中，AB=
3,BC=1,∠C=2π，则AC=。
由余弦定理得：
AC=1
13.
在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制。
下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：
根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较，把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处。
①。
②。
开放性试题，如甲省比乙省的新增人数的平均数低；
甲省比乙省的方差要大；
从2月10日开始两个省的新增人数都在下降；
2月10日两个省的新增人数在一周内都达到了最大值；
等等。
至少有一个数据信息能涉及到平均数或方差，并且给出的两个数据信息都是正确，给满分5分；
若两个结论都没有涉及到平均数或方差，两个数据信息都正确
也要扣2分。
14.已知两点A（-1,0）,B（1,0），若直线x-y+a=0上存在点P（x,y）满足AP⋅BP=0
则实数a满足的取值范围是。
设P（x,y），则AP⋅BP=0⇔x2+y2=1，d=≤1⇒a∈[-
2,2]
15.集合A={（x,y）
x+y
=a,a>
0},B={（x,y）
xy+1=x+
y}，
若AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为②③
①a的值可以为2；
②a的值可以为；
③a的值可以为2+2；
本题给出的结论中，有多个符合要求，全部选对得5分，不选或有选错得0分，其它得3分。
（1）若0<
a≤1时，不可能构成正八边形；
（2）若1<
a<
2时，设正八边形边长为l，如图
l+lcos450=1⇒l=2-2⇒a=1+l=
22
（3）若a=2时，不合题意；
（4）若a>
2时，此时正八边形边长为2，故a=1++1=2+，如图2
11
13
14
15
甲省比乙省的新增人数的平均数低；
等
[-2,2]
②③
13.开放性试题，如甲省比乙省的新增人数的平均数低；
三、解答题：
（本大题共6小题，满分85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明）
16.（本小题满分为13分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω>
0,ϕ<
件中的2个条件：
①函数f（x）的周期为π；
②x=是函数f（x）的对称轴；
）满足下列3个条
πππ
③f（）=0且在区间（,）上单调
462
（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0,]，求函数f（x）的值域。
2π
（Ⅰ）由①可得，ω=π⇒ω=2………1分
πωπππω
由②得：
+ϕ=kπ+⇒ϕ=kπ+-
6226
πωπω
k∈Z………2分
由③得，
+ϕ=mπ⇒ϕ=mπ-
44
m∈Z
………………4分
Tπππ2π2π
≥-=⇒≥⇒0<
ω≤3
=π,f（x）=sin（2x+π
πω=mπ-
2263ω3
若①②成立，则ω=2,ϕ
）5分
若①③成立，则ϕ=mπ-
，不合题意6分
p
若②③成立，则kπ+-=mπ-⇒ω=12（m-k）-6≥6,m,k∈Z
264
与③中的0<
ω≤3矛盾，所以②③不成立8分
所以，只有①②成立，f（x）=sin（2x+
）9分
πππ5π1
（Ⅱ）由题意得，0≤x≤⇒≤2x+≤⇒≤
36662
f（x）≤1……12分
所以，函数f（x）的值域为[,1]13分
17.（本题满分15分）在四棱锥P-ABCD的底面ABCD中，BC//AD,CD⊥AD，
PO⊥平面ABCD，O是AD的中点，且PO=AD=2BC=2CD=2
（Ⅰ）求证：
AB//平面POC；
（Ⅱ）求二面角O-PC-D的余弦值；
（Ⅲ）线段PC上是否存在点E，使得AB⊥DE，若存在指出点E的位置，若不存在，请说明理由。
解:
（Ⅰ）连结OC，BC=AO,BC//AD
则四边形ABCO为平行四边形1分
⎧AB//OC
⎨
⎪AB⊄平面POC⇒AB//平面POC…4分
⎩
⎪OC⊂平面POC
（Ⅱ）PO⊥平面ABCD，
⎧CD⊥AD
⇒四边形OBCD为正方形
⎩OD=BC=CD
所以，OB,OD,OP两两垂直，建立如图所示坐标系，6分
则C（1,1,0）,P（0,0,2）,D（0,1,0）,B（1,0,0），设平面PCD法向量
⎧
⎪n1⋅CD=0
为n1=（x,y,z），则⎨
⎪⎩n1⋅PD=0
⇒n1=（0,2,1），8分
连结BD，可得BD⊥OC,又BD⊥PO所以，BD⊥平面POC，
平面POC的法向量n2=BD=（-1,1,0）（其它方法求法向量也可）……10分
设二面角O-PC-D的平面角为θ，则cosθ=
n1⋅n2=
……11分
（Ⅲ）线段PC上存在点E使得AB⊥DE12分
方法一：
设E（x,y,z）,PE=λPC⇒（x,y,z-2）=λ（1,1,-2）⇒E（λ,λ,2-2λ）
DE=（λ,λ-1,2-2λ），AB=（1,1,0），AB⊥DE⇒AB⋅DE=0⇒λ=
所以，点E为线段PC的中点15分
方法二：
设E是线段PC的中点，BDOC=M，
EM//PO⇒EM⊥平面ABCD
⎧OC⊥BD⇒OC⊥平面BED⇒OC⊥ED
⎩OC⊥EM
AB//OC，所以AB⊥ED15分
2…14分
18.（本小题满分13分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准。
提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：
表1：
新农合门诊报销比例
医院类别
村卫生室
镇卫生院
二甲医院
三甲医院
门诊报销比例
60%
40%
30%
20%
根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：
表2：
李村一个结算年度门诊就诊情况统计表
一个结算年度内各门诊
就诊人次占李村总就诊人次的比例
70%
10%
15%
5%
如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元。
若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次。
（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？
（Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李
村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）X的分布列与期望。
（Ⅰ）去三甲医院门诊就诊的人次为100人次，其中60岁以上老人为80人次，设这2人次都是60岁以上老人这一事件为A…1分
C2
则P（A）=80
100
316
……………5分（没有设出事件，但有答也不扣分）
495
（Ⅱ）X可取20，60，140，400，………………9分分布列为
每人次门诊实付费用X
20
140
400
P
0.7
0.1
0.15
0.05
…………………11分
期望为EX=20⨯0.7+60⨯0.1+140⨯0.15+400⨯0.05=6113分
19.（本小题满分15分）
x2y22
已知椭圆G:
+
a2b2
=1（a>
b>
0），上顶点为B（0,1），离心率为
，直线l:
y=kx-2
交y轴于C点，交椭圆于P,Q两点,直线BP,BQ分别交x轴于点M,N。
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求证：
S∆BOMS∆BCN为定值。
c
19解：
（Ⅰ）有条件可知：
b=1,
a
=⇒a=
2,c=12分
所求椭圆方程为：
x2+2
=14分
（Ⅱ）设P（x1,y1）,Q（x2,y2）为直线l与椭圆的交点，则
⎧∆>
0⇒k2>
3
⎪
⎧x22⎪
⎪+y
=1⇒（2k2+1）x2-8kx+6=0，可得：
⎪x+x=8k
……6分
⎪⎩y=kx-2
⎨12
2k2+1
6
⎩⎪x1x2
=2k2+1
直线BP:
y=y1-1x+1⇒M（x1,0）8分
x11-y1
同理得：
N（x2,0）9分
1-y2
-44-2k2
y1+y2=2k2+1,y1y2=2k2+111分
S∆MOB
⋅S∆BCN=
=3⨯
44-2k2
=14分
1+2k2+1+2k2+1
所以，S∆BOMS∆BCN为定值15分
20.（本小题满分15分）已知函数f（x）=sinx+lnx-1。
ππ
（Ⅰ）求f（x）在点（，f（））处的切线方程；
f（x）在（0,π）上存在唯一的极大值；
（Ⅲ）直接写出函数f（x）在（0,2π）
上的零点个数。
（Ⅰ）f（）=1+ln-1=ln
………………………………1分
222
f/（x）=cosx+1⇒
x
f/（）2
=π3分
所以，f（x）在点（，f（））处的切线方程
为y-lnπ=
2（x-
）⇒y=
2x+ln
π-15分
（Ⅱ）证明：
f/（x）=cosx+1，
设g（x）=f/（x）=cosx+1⇒g/（x）=-sinx-
1<
07分
xx2
f/（x）在（0,π）上递减，f/π
=2>
0,f/（π）=-1+1<
0
由零点存在定理可知，存在x∈ππ）使得f/（x）=010分
0（2,0
00
当x∈（0,x）,f/（x）>
0，f（x）递增；
当x∈（x,π）,f/（x）<
0，f（x）递减所以f（x）在（0,π）上存在唯一的极大值12分
（Ⅲ）函数f（x）在（0,2π）
【由（Ⅱ）可知，f（x）在
上有3个零点。
15分
上增，f
（1）=sin1-1<
=ln>
0，
（0,）
由零点存在定理有一个零点x1；
f（x）在
0,f（）
ππ）上先增后减，而f（π）=lnπ-1>
02
无零点；
f（x）在（π,3π
3π
上先减后增，且f（
=ln-2<
0，有一个零点x
））
2222
f（x）在（3π,2π）上增，且f（3π=ln3π-2<
0，f（2π）=ln（2π）-1>
有一个零点x3】
21.（本小题满分14分））已知q,n均为给定的大于1的自然数，
设集合M={1,2,3,,q},T={xx=x+xq++xqn-1,x∈M,i=1,2,n}
12ni
（Ⅰ）当q=2,n=2时，用列举法表示集合T
≠
（Ⅱ）当q=200时，A={a1,a2,,a100}⊂M，且集合A满足下列条件：
①对任意1≤i<
∑
j≤100,ai+aj≠201；
②ai=12020
i=1
证明：
（i）若∀ai∈A，则201-ai∈A
（集合A为集合A在集合M中的补集）
（ii）∑a为一个定值（不必求出上此定值）；
i
（Ⅲ）设s,t∈T,s=b+bq+bq2++bqn-1,t=c+cq++cqn-1，
123n12n
其中bi,ci∈M,i=1,2,,n，若bn<
cn，则s<
t
（Ⅰ）M={1,2},x=x1+2x2,x1,x2∈{1,2}，此时，T={3,4,5,6}…3分
（Ⅱ）（i）由题意可知，∀ai∈A，则1≤201-ai≤200⇒201-ai∈M…2分
若201-a∈A，不妨设201-a=a，则k≠i，否则，a=201∉N*矛盾，
iiki2
则ak+ai=201与条件①矛盾，所以，201-ai∈A6分
200100100100100
（ii）由题意可知，k2=a2+（201-a）2=2a2+2012⨯100-402a
k=1
a2=（1+22++2002）+201⨯12020-2012⨯50为一定值9分
（Ⅲ）由题意得：
bi-ci<
q-1,i=1,2,,n-1;
bn-cn≤-111分
s-t=（b-c）+（b-c）q++（b
-c）qn-2+（b-c）qn-1<
（q-1）+（q-1）q++（q-1）qn-2-qn-1
1122
n-1
n-1nn
=（q-1）（1-qn-1）-
1-q
=-1<
0⇒s<
t14分
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