北师大版数学七年级下册 第9讲 全等三角形提高班.docx

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北师大版数学七年级下册第9讲全等三角形提高班

第9讲全等三角形

知识点1全等三角形的判定与性质

全等三角形的判定方法：

（1）边角边定理（SAS）：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．

（2）角边角定理（ASA）：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

（3）边边边定理（SSS）：

三边对应相等的两个三角形全等．

（4）角角边定理（AAS）：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

（5）斜边、直角边定理（HL）：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的性质：

对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

全等三角形的应用：

运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．

【典例】

1.如图，已知AB=AC，EC=FB，BE与CF交于点D，则对于下列结论：

①△BCE△CBF；②△ABE△ACF；③△BDF△CDE；④D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（　　）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

【答案】D.

【解析】解：

∵AB=AC，

∴∠ECB=∠FBC，

在△BCE与△CBF中

，

∴△BCE△CBF（SAS），

故①正确，

如图，连接AD；

∵AB=AC，EC=FB，

∴AE=AF

在△ABE与△ACF中，

，

∴△ABE△ACF（SAS）

故②正确;

∴∠ABC=∠ACB；

∵AB=AC，AE=AF，

∴BF=CE；

在△CDE与△BDF中，

，

∴△CDE△BDF（AAS），

故③正确，；

∴DC=DB；

在△ADC与△ADB中，

，

∴△ADC△ADB（SAS），

∴∠CAD=∠BAD

∴D在∠BAC的平分线上

故④正确；

综上所述，①②③④均正确，故选：

D

【方法总结】

这道题中，证明△ABE△ACF，就可以得到∠ABC=∠ACB；再证明△CDE△BDF、△ADC△ADB，得到∠CAD=∠BAD，即可解决问题.该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握全等三角形的判定及其性质定理，这是灵活运用解题的基础．

2.如图，已知D为△ABC边BC的中点，DE⊥DF，则BE+CF（　　）

A.大于EFB.小于EFC.等于EFD.与EF的大小关系无法确定

【答案】A.

【解析】解：

延长ED到G使DG=ED，连接CG，FG，

∵BD=CD，∠BDE=∠CDG，ED=DG

∴△BED≌△CGD（SAS），

∴CG=BE，

∵FD=FD，∠FDE=∠FDG，DG=ED，

∴Rt△FDE≌Rt△FDG，

∴EF=FG

在△FCG中，CF+CG＞FG，

∴BE+CF＞EF．

故选：

A

【方法总结】

求证BE，CF，EF之间的关系，应利用全等，把它们整理到一个三角形中进行讨论．本题考查了全等三角形的判定及性质；出现中线问题暂时无法解决时，可延长成原来的2倍，利用SAS来构造全等三角形，这是一种很重要的解题方法，注意掌握．（在下节课中，我们会重点讲解这种方法）

3.如图

（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）如图

（2），将图

（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？

若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】

【解析】解：

（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，

又∠A=∠B=90°，

在△ACP和△BPQ中，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）．

∴∠ACP=∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．

∴∠CPQ=90°，

即线段PC与线段PQ垂直．

（2）①若△ACP≌△BPQ，

则AC=BP，AP=BQ，

即，

解得；

②若△ACP≌△BQP，

则AC=BQ，AP=BP，

即，

解得；

综上所述，存在或使得△ACP与△BPQ全等．

【方法总结】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用，对于

（1），可以利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；对于

（2），由△ACP与△BPQ全等，分两种情况：

①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可.

【随堂练习】

1．（2018•恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：

AD与BE互相平分．

【解答】证明：

如图，连接BD，AE，

∵FB=CE，

∴BC=EF，

又∵AB∥ED，AC∥FD，

∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA），

∴AB=DE，

又∵AB∥DE，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AD与BE互相平分．

2．（2018•温州）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED=∠B．

（1）求证：

△AED≌△EBC．

（2）当AB=6时，求CD的长．

【解答】

（1）证明：

∵AD∥EC，

∴∠A=∠BEC，

∵E是AB中点，

∴AE=EB，

∵∠AED=∠B，

∴△AED≌△EBC．

（2）解：

∵△AED≌△EBC，

∴AD=EC，

∵AD∥EC，

∴四边形AECD是平行四边形，

∴CD=AE，

∵AB=6，

∴CD=AB=3．

3．（2018•通辽）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．

（1）求证：

△AEF≌△DEB；

（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

【解答】证明：

（1）∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，

∴△AEF≌△DEB（AAS）；

（2）连接DF，

∵AF∥CD，AF=CD，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵△AEF≌△DEB，

∴BE=FE，

∵AE=DE，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴DF=AB，

∵AB=AC，

∴DF=AC，

∴四边形ADCF是矩形．

知识点2角平分线与全等三角形

角平分线的两个性质：

⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；

⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

角平分线是对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：

1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，

2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，

3．，这种对称的图形应用得也较为普遍，

【典例】

1.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠AED+∠AFD=180°，求证：

DE=DF．

【解析】证明：

如图，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴DM=DN，

∵∠AED+∠AFD=180°，

∠DFN+∠AFD=180°（平角定义），

∴∠AED=∠DFN，

在△DEM和△DFN中，，

∴△DEM≌△DFN（AAS），

∴DE=DF．

【方法总结】

本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

对于这道题，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=DN，再求出∠AED=∠DFN，然后利用“角角边”证明△DEM和△DFN全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF．

【随堂练习】

1．（2018春•沙坪坝区校级期中）如图直线EF∥GH，点A、点B分别在EF、GH上，连接AB，∠FAB的角平分线AD交GH于D，过点D作DC⊥AB交AB延长线于点C，若∠CAD=36°，求∠BDC的度数．

【解答】解：

∵∠FAB的角平分线AD，∠CAD=36°，

∴∠DAF=∠CAD=36°，

∵DC⊥AB，

∴∠ACD=90°，

∴∠ADC=90°﹣36°=54°，

∵EF∥GH，

∴∠ADB=∠DAF=36°，

∴∠BDC=∠ADC﹣∠ADB=54°﹣36°=18°．

2．（2017春•景泰县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠ABC，BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD=4cm，求AB的长．

【解答】解：

∵∠C=90°，∠A=∠ABC，

∴∠A=30°，∠ABC=60°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBE=30°，

∴∠A=∠DBE，

∴BD=AD，

∵DE⊥AB，CD=4cm，

∴DE=CD=4cm，

∴AE=BE=DE=4，

∴AB=8，

故答案为：

8．

综合运用

1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，则以下命题不正确的个数是①BC+AD=AB；②E为CD中点；③∠AEB=90°；④S△ABE=S四边形ABCD；（　　）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A.

【解析】解：

∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，

∴∠BAE=∠BAD，∠ABE=∠ABC，

∴∠BAE+∠ABE=（∠BAD+∠ABC）=90°，

∴∠AEB=180°﹣（∠BAE+∠ABE）=180°﹣90°=90°，

故③小题正确；

延长AE交BC延长线于F，

∵∠AEB=90°，

∴BE⊥AF，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠FBE，

在△ABE与△FBE中，，

∴△ABE≌△FBE（ASA），

∴AB=BF，AE=FE，

∵AD∥BC，

∴∠EAD=∠F，

在△ADE与△FCE中，，

∴△ADE≌△FCE（ASA），

∴AD=CF，

∴AB=BC+CF=BC+AD，故①小题正确；

∵△ADE≌△FCE，

∴CE=DE，即点E为CD的中点，故②小题正确；

∵△ADE≌△FCE，

∴S△ADE=S△FCE，

∴S四边形ABCD=S△ABF，

∵S△ABE=S△ABF，

∴S△ABE=S四边形ABCD，故④小题正确；

综上所述，不正确的有0个．故选：

A

2.如图，在△ABC中AD是∠A的外角平分线，P是AD上一动点且不与点A，D重合，记PB+PC=a，AB+AC=b，则a，b的大小关系是（　　）

A.a＞bB.a=bC.a＜bD.不能确定

【答案】A.

【解析】解：

如图，在BA的延长线上取一点E，使AE=AC，连接EP．

由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠CAP=∠EAP，

在△ACP和△AEP中，

∴△ACP≌△AEP（SAS）

∴PC=PE，

在△BPE中，PB+PE＞BE，

而BE=AB+AE=AB+AC，

故PB+PE＞AB+AC，

所以PB+PC＞AB+AC，

∵PB+PC=a，AB+AC=b，

∴a＞b．