中考数学旋转问题.docx

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中考数学旋转问题

中考数学:

聚焦“旋转问题”

旋转是新课标教材新增的内容，它是图形变换的重要手段之一,因此备受中考命题者的青睐。

图形的旋转问题已成为中考试题的一道美丽风景，很值得同学们关注、欣赏。

一. 旋转角

 例1． 如图１，在等腰Rt△ＡBＣ中，P是斜边ＢC的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB、AC交于点Ｅ、F，连接ＥF。

当∠EＰF绕顶点P旋转时（点E不与A、Ｂ重合）,△PEＦ也始终是等腰直角三角形,请你说明理由。

图1　　　　　　　　　　　　　　　

二． 旋转直线（线段）

  2． 如图3,平行四边形AＢCD中，AB⊥ＡC,AB=1,，对角线AC、BD交于O点,将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BＣ、AD于点E、Ｆ,

（１）证明：

当旋转角为9０°时，四边形ABEＦ是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中,线段ＡＦ与EC总保持相等;

（3）在旋转过程中,四边形ＢEDＦ可能是菱形吗？

如果不能，请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点Ｏ顺时针旋转的度数。

图3

图4

  ３. 如图4，直角梯形AＢCD中,AD//BC,AＢ⊥BC，ＡD=3,BＣ=5,将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE,连接AE,则△ADE的面积是（    ）

Ａ.1               B.2               Ｃ.３               D．4

三． 旋转三角（板）形

  4. 如图5，将△AＯＢ绕点O逆时针旋转90°，得到。

若点A的坐标为（a,b）,则点的坐标为___＿＿_＿__＿。

图5　　　　　　　

  5． 已知∠ＡOB=90°，在∠ＡOＢ的平分线ＯM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与Ｃ重合，它的两条直角边分别与OA、OＢ（或它们的反向延长线）相交于点Ｄ、E。

当三角板绕点C旋转到CＤ与ＯA垂直时［如图６

（1）],易证：

OD+OE=。

当三角板绕点C旋转到CＤ与OA不垂直时，在图6

（2）,图6（3）这两种情况下,上述结论是否还成立?

若成立,请给予证明;若不成立，线段OD、ＯE、OC之间又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明。

图６

四. 旋转矩形

  6. 如图7,在平面直角坐标系xOｙ中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转角,得到矩形ＣFED，设FC与AＢ交于点Ｈ，且A（０,4）、C（６，０）（如图7）。

图7　　　　　　　图8

（１）当时,△ＣBD的形状是__＿_____＿___＿______＿；

（2）当AH=HC时，求直线FC的解析式;

（3）当时（如图８）,请探究：

经过点D,且以点Ｂ为顶点的抛物线，是否经过矩形CFＥD的对称中心Ｍ,交说明理由。

 五． 旋转正方形

  7. 如图9,△ABC是等腰直角三角形,其中CA=CＢ,四边形CDEＦ是正方形,连接AF、BD。

图9

（1）观察图形，猜想AＦ与BD之间有怎样的关系,并证明你的猜想；

（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转,使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母，题（１）中猜想的结论是否仍然成立？

若成立,直接写出结论,不必证明;若不成立,请说明理由。

若ＣD边在△ABC的内部时,如图1０；或若CF边在△ABＣ的内部时，如图11。

六. 旋转半圆

  8. 如图12,半圆M的直径AB为20ｃm，现将半圆Ｍ绕着点Ａ顺时针旋转１80°。

（1）请你画出旋转后半圆Ｍ的图形；

（2）求出在整个旋转过程中,半圆M所扫过区域的面积（结果精确到）。

图1２

七. 旋转图案

  9 如图1４，将正方形图案绕中心Ｏ旋转180°后,得到的图案是（    ）

图１4

八. 旋转抛物线

10. 把二次函数的图象抛物线绕顶点P旋转180°，求旋转后的二次函数解析式。

中考数学:

聚焦“旋转问题”答案与解析

一. 旋转角

  1. 如图1,在等腰Rｔ△AＢC中,P是斜边BＣ的中点,以P为顶点的直角的两边分别与边ＡB、ＡC交于点E、F，连接EF。

当∠EＰＦ绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），△PＥＦ也始终是等腰直角三角形，请你说明理由。

图1

解析:

解答此题必须变“动”为“静”,如图２,连接ＰA,易知PＡ⊥ＰC,又AＢ⊥AC,

∴∠１=∠C=４5°

由∠EPＦ=∠ＡPＣ=90°,得∠2=∠3

而

∴△PAＥ≌△PＣF（AＳＡ）

∴PE=PＦ

故△PEF始终是等腰直角三角形

图２

二. 旋转直线（线段）

  2. 如图3，平行四边形AＢCD中,ＡB⊥ＡC，AB=1，,对角线AC、BＤ交于Ｏ点，将直线ＡC绕点O顺时针旋转,分别交ＢC、AD于点E、Ｆ，

（1）证明：

当旋转角为９0°时，四边形ＡＢEF是平行四边形;

（2）试说明在旋转过程中，线段AＦ与EC总保持相等;

（3）在旋转过程中，四边形BＥDF可能是菱形吗?

如果不能，请说明理由;如果能，说明理由并求出此时AC绕点Ｏ顺时针旋转的度数。

证明:

（1）当∠AOF=９0°时，AB//ＥF，

又AF／/BE,

∴四边形AＢEF为平行四边形

（２）相等。

∵四边形ABCＤ为平行四边形

∴ＡO=CＯ,∠ＦAO=∠ECO,∠AOF＝∠ＣOE，

∴△AOF≌△CＯE（ASA）

∴AF=EC

（3）四边形BEＤF可以是菱形,

理由:

如图３,连接BF、ＤE,由

（2）知△AOＦ≌△COE,得ＯE=OF，

∴EF与BD互相平分,当ＥＦ⊥BD时,四边形BEDＦ为菱形，

在Rt△ABC中，

∴OＡ=1=AB,

又AB⊥AC,

∴∠AOB=4５°,

∴∠ＡOＦ=45°,

故AC绕点O顺时针旋转４5°时,四边形BＥDF为菱形

图３

  3. 如图4，直角梯形ＡＢＣD中，AD/／BC，AB⊥BＣ,AD=3,BC=5,将腰DC绕点D逆时针方向旋转9０°至DE,连接ＡE，则△AＤE的面积是（    ）

A.　1               B.２               C.3               D．４

图４

解析：

此题关键是求出△ADＥ的高,于是作DH⊥BＣ于H，EF⊥AD的延长线于F，则CH=。

由旋转的性质易证△DHＣ≌△DFE。

则EF＝CH=2，

∴

故选C。

三. 旋转三角（板）形

  ４． 如图5,将△AOＢ绕点Ｏ逆时针旋转90°，得到。

若点A的坐标为（a，b）,则点的坐标为____＿_____。

图5

解析:

要求的坐标，就是求、。

由旋转知识得，,。

则

  5. 已知∠AOB=90°，在∠AＯＢ的平分线OＭ上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点Ｄ、Ｅ。

当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时［如图6（１）]，易证:

OD+OE=。

当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图6

（2）,图6（3）这两种情况下,上述结论是否还成立?

若成立，请给予证明；若不成立,线段ＯD、OＥ、ＯC之间又有怎样的数量关系?

请写出你的猜想，不需证明。

图6

析证：

本题是将三角板进行旋转,由特殊到一般,结论由不变到变,先提出结论，再由学生操作实验猜出结论,然后加以证明,图

（2）结论：

，过Ｃ分别作ＯＡ、OB的垂线,垂足分别为P、Q，如图6（２），易证△CＰD≌△ＣQＥ,

∴ＤP=EQ，ＯP=OＤ＋DＰ，DQ＝OE，又OP+OＱ=，

即，

∴

图（3）结论:

四. 旋转矩形

  6. 如图，在平面直角坐标系xＯｙ中,把矩形COAB绕点C顺时针旋转角，得到矩形ＣＦEＤ,设ＦC与AＢ交于点H,且A（0,4）、Ｃ（6,０）（如图７）。

图7

（1）当时,△CBD的形状是＿_____＿＿____＿___＿__＿；

（2）当AＨ＝ＨC时,求直线FC的解析式;

（3）当时（如图8）,请探究：

经过点D，且以点Ｂ为顶点的抛物线,是否经过矩形CFED的对称中心M,交说明理由。

图8

解析：

这是一道旋转问题的综合题,它把图形与旋转,图形与坐标,坐标与函数有机地结合起来。

（1）利用旋转的性质得BC=ＣD,易知∠BCＤ=6０°，

故△CBD为正三角形。

（2）设AH=x，则，

由题意得

在Ｒｔ△BHC中,

，

即，

解得

设,

把、C（6,0）代入，得

解得

（３）抛物线顶点为Ｂ（6，4）,

设,把点Ｄ（0,0）代入得

，

依题可得，点M坐标为（8，3）。

把代入，得y=3。

故此抛物线经过矩形ＣFＥD的对称中心M。

五. 旋转正方形

  7. 如图9,△ABC是等腰直角三角形,其中CA=CＢ,四边形ＣDＥF是正方形，连接AF、BD。

图9

（１）观察图形,猜想AF与ＢD之间有怎样的关系，并证明你的猜想;

（2）若将正方形CDEＦ绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABＣ的内部,请你画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母，题（１）中猜想的结论是否仍然成立?

若成立,直接写出结论,不必证明；若不成立，请说明理由。

析证：

本题是一道实验推理性题目,主要考查同学们的观察、动手操作、逻辑推理和探究等能力。

（１）猜想：

AF=BD且AＦ⊥ＢD。

理由：

设AF与DC交点为G。

∵∠BCD＝90°+∠ACD,∠ACＦ＝90°+∠ＡCD，

∴∠BCD＝∠ACF，

而FC=DＣ,AC=BC

∴△ＡCF≌△BＣD（ＳAS）

∴ＡＦ=BＤ,∠AFC=∠BDＣ

而∠AFC＋∠FGＣ＝９０°，∠FＧＣ＝∠DＧA，

∴∠BDC+∠ＤGA＝90°

∴AF⊥BD。

故AF=BD且AF⊥BD。

（2）结论：

ＡＦ＝ＢD且AＦ⊥BD。

若ＣD边在△AＢC的内部时，如图1０;或若CF边在△ABC的内部时，如图１1。

图1０

图1１

六. 旋转半圆

  8. 如图12,半圆M的直径AB为20cm，现将半圆M绕着点A顺时针旋转１80°。

（1）请你画出旋转后半圆M的图形;

（２）求出在整个旋转过程中,半圆M所扫过区域的面积（结果精确到）。

图12

解析：

半圆Ｍ所扫过的区域是由半圆M和以A点为圆心，AB长为半径的半圆两部分组成的，找出这样的区域是解题的关键。

（1）画图如图13,

（2）半圆M所扫过的面积

图1３

七． 旋转图案

  9． 如图1４，将正方形图案绕中心Ｏ旋转180°后,得到的图案是（    ）

解析：

将图形旋转180°后的图形与原图形关于旋转中心对称,图案中的两个三角形恰好是中心对称图形,圆图案绕中心O旋转１80°后,在它的中心对称位置,故 选D。

图14

八． 旋转抛物线

  1０. 把二次函数的图象抛物线绕顶点P旋转180°,求旋转后的二次函数解析式。

解析：

抛物线绕顶点旋转180°，实际上就是顶点不变开口反向。

，

所以旋转后的二次函数解析式是：